Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ:

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА

Зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла изучались и ранее:

Курс алгебра 9 класса тема: Тригонометрия.

Курс геометрии 9 класса тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. §1.Синус, косинус и тангенс угла

Теоретический и задачный материал данной темы не нов для учащихся.

Потому, считаем возможным, организовать урок семинарского типа по данной теме.

Домашнее задание к уроку:

Разобрать §25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Уметь самостоятельно проводить представленные доказательства.

Уметь проводить доказательство формул:

и

МОТИВАЦИОННО-ОРИЕНТИРОВАЧНЫЙ ЭТАП

Один из возможных приемов мотивации

Нам известно определение тангенса угла:

Какому типу математических объектов относиться?

Равенство.

Какое это равенство? Охарактеризуйте его.

Это равенство верно для всех допустимых значений переменной х.

А как мы называли равенства такого типа?

Тождествами.

Какие действия мы выполняли над тождествами? (типы упражнений)

Доказывали тождества, упрощали выражения на основе известных тождеств.

Какое название носит «упрощение» такого характера?

Тождественные преобразования.

Какие способы доказательства тождеств вам известны?

Преобразование левой части тождества к правой;

Преобразование правой части к левой;

Преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению;

Установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю.

Над какими объектами мы умеем выполнять тождественные преобразования?

Над числами, одночленами, многочленами, алгебраическими дробями.

А какие объекты мы рассматриваем теперь?

Тригонометрические выражения.

Как вы думаете имеет ли место понятие тождества и тождественных преобразований для тригонометрических выражений?

Да, имеет.

Определение тангенса выражается связь между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Очевидно, что существует связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Тогда посвятим наш урок установлению этих связей. Заметим, что они нам известны из 9 класса.

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

Так как же связанны синус и косинус одного и того же угла? Основным тригонометрическим тождеством:

Сегодня мы уже отмечали необходимость доказательства тождества. Проведем доказательство основного тригонометрического тождества.

Один из учащихся проводит доказательство у доски.

Приведем доказательство:

Пусть точка единичной окружности получена поворотом точки на угол .

Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению окружности:

,

где - координаты центра окружности, а R – радиус окружности.

Нам дана окружность с центром в точке и радиуса . То ее уравнение можно записать:

.

С другой стороны абсцисса и ордината точки М (точки полученной поворотом точки на угол ) равны соответственно и .

Тогда уравнение окружности примет вид: .

Что и требовалось доказать.

Итак, мы обосновали основное тригонометрическое тождество. А так же отметили, что это равенство, содержащее связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Далее необходимо поднять вопрос о том, какие значения одновременно могут принимать синус и косинус одного и того же угла.

Выразите из основного тригонометрического тождества и .

;

Каким образом в этих формулах определяется знак пред корнем?

Он определяется знаком выражения стоящего в левой части. А для определения этого знака, что для этого требуется знать?

Какой координатной четверти принадлежит угол ?

Далее учащиеся представляют решение задачи 1 из параграфа учебника:

ЗАДАЧА 1. Вычислить, если и

Далее учитель предлагает еще одну задачу:

Дано: и .

Найти: ;; .

Затем предлагаем задачу:

Дано: и . Найти:

Таким образом, появляется необходимость установить связь между тангенсом и котангенсом. Снова просим кого-либо из учащихся провести доказательство тождества: .

Считаем целесообразным уже в этой теме говорить о том, что доказываем мы тождества.

Решаем еще одну задачу:

Дано: и . Найти:

Далее предлагаем учащимся найти , если и .

С этой задаче учащиеся должны справиться, так как дома уже установили соответствующие зависимости.

При записи решения, когда столкнемся с формулой , попросим учащихся провести доказательство этого тождества.

В домашней работе вы доказывали еще одно тождество аналогичное данному. Какое?

Проведите его доказательство.

(Кто-то из учащихся на доске остальные в тетради)

РЕФЛЕКСИВНО-ОЦЕНОЧНЫЙ ЭТАП

Истинность, каких равенств мы показали? Как мы называем такие равенства?

Было бы хорошо после проведения доказательства выделить метод, который использовался.

Урок можно закончить самостоятельно работой:

1. Могут ли синус и косинус одновременно принимать значения: ;?

2. Дано: и . Найти: ;; .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/233964-zavisimost-mezhdu-sinusom-kosinusom-i-tangens