Мастер-класс: эффективные методы решения тригонометрических уравнений

Старцева Татьяна Александровна

муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа № 26

г. Волгограда, учитель математики и информатики.

Урок в 10 классе по теме: « Методы решений тригонометрических уравнений»

Цели:

1) способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений.

2) содействовать развитию математического мышления учащихся.

3) побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Ход урока.

Вводная беседа учителя:

Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом с помощью ключевых задач.

Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений.

(на прошлом уроке разбиралось решение ключевых задач и плакат с их решением висит на доске)

Ключевые задачи: «Решение тригонометрических уравнений»

sin x =a, y = (-1)ⁿarсsin a + n, n Z

cos x = a, x =  arсcos a + 2n, n Z

tg x = a, x = arctg a + n, nz

Найти корни уравнения 6sin²x + 5cosx – 2 = 0. (метод сведения к квадратному уравнению)

Заменяя sin²x = 1 – cos²x, получили квадратное уравнение относительноcos²x.

6(1 – cos²x) + 5cos x – 2 = 0 6 – 6cos²x + 5cos x – 2 = 0

6cos²x - 5cos x – 4 = 0

обозначим cos x = t, тогда 6t² – 5t – 4 = 0

t = - или t = 1 ;сosx= -,cosx = 1;x =  + 2k, нет решений, так как 1 1

Ответ:  + 2k,k z.

cos 6x + cos 2x = 0 (метод разложения на множители)

Поформуле cos + cos = 2cos cos 2cos 4x cos 2x = 0

cos 4x = 0или cos 2x = 0

Ответ: x = + , k Zили x = + , n Z

3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0 (однородное 2 степени)

если cosx = 0, то 3sin²x = 0, но sinx и cosx не могут быть одновременно равны нулю. Значит cosx 0, поэтому обе части уравнения можно разделить на cos²x

3tg²x – 4tgx + 1 = 0, откуда tgx = 1 или tgx =

Ответ: x = +kx = arctg + n,n Z

4sin2x+5cos2x=5 (метод универсальной подстановки)

-2tg²x=0

tgx=0

x=πn, nZ.

Ответ:πn,nZ

У каждого ученика на столе список уравнений:

2 cos²x+2sinx=2,5

sin2x=-cos2x

2cosx-1=0

sin2x=2sin²x

sin3x-sinx=0

sinx+cosx=2

sin(x - )=

2sin²x-2cosx=

sin2x+cosx=0

3sin (x - )+3cos(x - )=0

2sin²x - 3sin2x=0

sin2x – cosx=0

3sinx – cosx=2

²x+5cosx+1=0

² - sin² =

+cosx=1

Обсуждение проводится в быстром темпе и выясняется, какая ключевая задача поможет решить данное уравнение. Разногласия возникают при обсуждении уравнения 16. Предлагаются разные варианты: разложение на множители, универсальная подстановка, сведение к однородному. Данный спор учитель предлагает решить таким образом: 3 ученика идут к доске и решают это уравнение каждый своим способом, в это время весь класс выполняет задание по тестам.

Тест

Найти область определения функции f(x)=

(-) б) (- в)

Найти множество значений функции y=cosx+2

а) б) в)

3) Найдите наименьший положительный периодy=2cosx

a) 2 б) 6 в) 3

4) Укажите номер нечетной функции

а) х³+3 б) х³+х в) х³+х²

5) Укажите точку минимума функции y=(x+2)²

а) 2 б) -2 в) 0

Ученики сдают учителю выполненные тесты. Ученики, которые решали на доске одно уравнение разными методами, комментируют свое решение. Какое решение можно назвать оптимальным? Назвать ключевые задачи, к решению которых сводится это уравнение.

Класс делится на группы и приступает к решению задач из предложенного списка. В группе консультант распределяет уравнения, помогает в решении.

Подведение итогов. Каждая группа отчитывается о выполненной работе. Учитель выставляет оценки с учетом результатов теста, устной работы на уроке, работы в группе. Работу в группе оценивает консультант.

Домашнее задание: решить 5 уравнений из списка по каждой ключевой задаче (обязательно), составить задание, при выполнении которого использовались 2 конкретные ключевые задачи (необязательно)

Литература.

1.Математика базовый уровень ЕГЭ-2016. Типовые тестовые задания. Под редакцией И.В.Ященко. Издательство «Экзамен», Москва 2016.

2.М.И.Сканави. Полный сборник решения задач для поступающих в ВУЗЫ. Москва «Альянс-8».2000.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/239667-reshenie-trigonometricheskih-uravnenij