Принцип Дирихле

Старцева Татьяна Александровна

муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа № 26

г. Волгограда, учитель математики и информатики.

Внеклассное занятие по теме: «Принцип Дирихле» для учащихся 6-7классов

В комбинаторике при́нцип Дирихле́ — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.

В английском и некоторых других языках утверждение известно как «принцип голубей и ящиков» (англ. Pigeonholeprinciple), когда объектами являются голуби, а контейнерами — ящики. В немецком оно называется «принцип ящиков» (нем. Schubfachprinzip).

Принцип Дирихле нередко применяется при доказательстве теорем, особенно в дискретной математике; в частности, в теории диофантовых приближений при анализе систем линейных неравенств при решении олимпиадных задач.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели - не более 500000 иголок. Доказать, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Решение. Предположим противное, то есть, предположим, что в этом лесу не существуют две ели с одинаковым числом иголок. Тогда существует не более одной ели (одна ель или ни одной), имеющей одну иголку. Аналогичным образом, существует не более одной ели с двумя иголками и т.д., не более одной ели с 499999 иголками, не более одной ели с 500000 иголками. Таким образом, не более 500000 елей обладают числом иголок от 1 до 500000. Поскольку всего растут 800000 елей, и каждая ель имеет не долее 500000 иголок, следует, что найдутся хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Замечание. Легко заметить, что решение в сути не зависит от конкретных чисел 800000 (количество елей) и 500000 (наибольшее число иголок). Принципиально был использован тот факт, что число 800000 строго больше 500000. В доказательстве предполагалось, что нет ни одной ели без иголок, хотя задача и доказательство справедливы и в этом случае.

Теперь сформулируем принцип Дирихле.

Пусть в n коробок помещены k предметов. Если количество предметов больше количества коробок (k > n), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета.

Примечание. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значение, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами (два или более).

В литературе этот принцип также встречается под названиями: "принцип кроликов и клеток", "принцип ящиков и объектов".

Вернемся к задаче 1. Решим эту задачу, используя принцип Дирихле. Пусть имеются 500000 коробок, соответственно пронумерованных 1,2,3,...,500000. Помещаем (мысленно) в эти коробки 800000 елей следующим образом: в ящик с номером s помещаем ели, на которых ровно s иголок. Поскольку елей, то есть "предметов", больше, чем коробок, следует, что по крайней мере одна коробка будет содержать не менее двух предметов, то есть, не менее двух елей. Так как в одной и той же коробке находятся ели с одинаковым числом иголок, приходим к выводу, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Конечно, задача 1, как мы убедились, очевидна, и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Поэтому, естественно, возникает вопрос: "Для чего тогда нужен принцип Дирихле?" В дальнейшем мы увидим, что некоторые задачи не так очевидны при непосредственном решении, но в то же время достаточно просто решаются при помощи принципа Дирихле. Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны "коробки" и "предметы". То есть, при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что (кто) будет "коробкой", а что (кто) - "предметом".

В дальнейшем, для закрепления материала, приведем решения ряда задач.

Задача 2. Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5.

Решение. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответствии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5. Поскольку чисел ("предметов") больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют (по крайней мере) два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5.

Задача 3. Доказать, что для любого натурального числа n ≥ 1, существует натуральное число, состоящее из цифр 0 и 5, делящееся на n.

Решение. Рассмотрим натуральные числа

и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1,...,n-1 (цифрами, представляющими собой остатки от деления на n). В коробку s помещаем число a_k, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" (то есть, одно число), тогда задача решена. В противном случаеn "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно принципу Дирихле, существуют два "предмета" (числа), находящиеся в одной и той же коробке. То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5.

Задача 4. В зале находятся n человек (n ≥ 2). Доказать, что среди них найдутся два человека с одинаковым числом знакомых (предполагается, что если человек A является знакомым человека B, то и B является знакомым A; никто не считается своим собственным знакомым).

Решение. Обозначим через m количество человек, которые имеют хотя бы одно знакомство в зале (это и будут "предметы"). Каждый из этих m человек может иметь 1,2,...,m-1 знакомых ("коробки" - число знакомых).

Согласно принципу Дирихле, существуют два человека с одинаковым числом знакомых.

При решении некоторых задач полезно применять обобщенный принцип Дирихле.

Еслиpn+1 предметов поместить в n коробок, тогда хотя бы одна коробка будет содержать по крайней мере p+1 предметов.

Задача 5. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.

Решение. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения. Так как число месяцев, то есть, коробок, равно 12, а число учеников, то есть, предметов 40 = 12·3+4, согласно принципу Дирихле существует коробка (месяц) с по крайней мере 3+1=4 предметами (учениками).

Задача 6. Пусть M - множество, состоящее из n целых чисел. Доказать, что существует подмножество M₁ множества M такое, что сумма элементов множестваM₁ делилась бы на n.

Решение. Пусть M = {a₁,a₂,...,a_n}. Рассмотрим следующие суммы

Если одно из чисел S_k (k = 1,...,n) не делится на n, тогда остатки от деления на n будут 1,2,...,n - 1. Так как имеются n сумм и n - 1 остатков, то по крайней мере две суммы дадут одинаковый остаток от деления наn. Пусть S_k и S_m (1 ≤ k < m ≤ n) - две из них. Тогда S_m - S_k делится на n, и искомое множество есть {a_k+1, ... ,a_m}.

Задача 7. Доказать, что из n+1 различных натуральных чисел, меньших 2n, можно выбрать 3 числа так, чтобы одно число было равно сумме двух других.

Решение. Пусть a₁ < a₂ < ... < a_n+1 - данные числа. Рассмотрим разности

Эти числа различны, положительны и меньшие, чем 2n. Согласно принципу Дирихле, хотя бы два числа совпадают. Более того, одно из этих чисел принадлежит множеству {a₂ - a₁, ... ,a_n+1 - a₁}. Пусть это будут числа a_k и a_m - a₁. Отсюда a_k = a_m - a₁, и, следовательно, a_m = a_k + a₁.

Задача 8. Пусть a₁,a₂, ... ,a_n - перестановка чисел 1,2,3,...,n. Доказать, что произведение (a₁ - 1)(a₂ - 2)...(a_n - n) будет четным, если n - нечетно.

Решение. Пусть n = 2k + 1. Во множестве рассмотренных чисел k + 1 чисел будут нечетными. В исходном произведении среди уменьшаемых и вычитаемых будут (k + 1) + (k + 1) = 2(k + 1) = n + 1 нечетных чисел. Поскольку произведение состоит из n сомножителей, один (по крайней мере) из них будет содержать только нечетные числа (и уменьшаемое и вычитаемое будут нечетными). Таким образом, этот множитель будет четным, и произведение также будет четным.

Задача 9. В 500 коробках лежат яблоки. Известно, что в каждой коробке находятся не более 240 яблок. Доказать, что существуют хотя бы 3 коробки, которые содержат одинаковое количество яблок.

Решение. Пусть в первых 240 коробках находится различное количество яблок (1,2,...,240) , в следующих 240 коробках - аналогично (то есть, анализируется экстремальный случай; более подробно об этом методе рассказывается в теме "принцип крайнего"). Таким образом, остались 500 - 2·240 = 20 коробок, в которые необходимо поместить яблоки от 1 до 240.

Задача 10. В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было не менее 4 карандашей одного цвета.

Решение. Пусть вынули 13 карандашей. Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "предметами", а цвета - "коробками"), по крайней мере 4 карандаша будут одинакового цвета.

Докажем, что n = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.

Задача 11. В международном симпозиуме участвуют 17 человек. Каждый знает не более трех языков и любые два участника могут общаться между собой. Доказать, что хотя бы три участника, знают один и тот же язык.

Решение. Пусть A - один из участников. Он может общаться с каждым из 16 участников на не более одном из трех известных ему языков. Тогда существует язык, на который A говорит с не менее чем шестью участниками. Пусть B - любой из них. Ясно, что среди остальных 5 участников есть 3, с которыми B может общаться на одном языке (назовем его "второй язык"). Если среди этих троих участников хотя бы два, скажем C и D, могут говорить на "втором языке", то B,C и D и есть те три человека, говорящие на одном языке.

Задача 12. Точки на плоскости раскрашены двумя цветами. Показать, что существуют две точки одинакового цвета, расположенные на расстоянии 1м.

Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1м. Вершины треугольника будут "предметами", а цвета - "коробками". Так как число "предметов" больше числа "коробок", следует, что существуют две вершины одного цвета. Поскольку треугольник равносторонний, расстояние между вершинами составляет 1м.

Отметим, что эта задача может быть решена и другим методом - от противного. Пусть A - одна из точек плоскости, и предложим, что все точки плоскости, расположенные на расстоянии 1м от A, окрашены в цвет, отличный от цвета точкиA. Тогда получаем окружность радиуса 1 из точек одинакового цвета. Очевидно, что в этой окружности существует хорда длиной 1м. Следовательно, концами хорды будут точки одного цвета, расположенные на расстоянии 1м.

Задача 13. На плоскости даны n различных точек. Пара точек определяет отрезок. Доказать, что существуют две точки, из которых выходит одинаковое число отрезков.

Решение. Из одной точки может выходить максимумn - 1 отрезков и минимум 1 отрезок. Поскольку имеются n точек, то найдутся две такие, из которых выходит одинаковое число отрезков.

Задача 14. На плоскости даны 25 точек таким образом, что две точки из любых трех расположены на расстоянии меньше 1. Доказать, что существует круг радиуса 1, содержащий не менее 13 из данных точек.

Решение. Пусть A - одна из данных точек. Если остальные точки находятся внутри круга S₁ радиуса 1 с центром в точке A, тогда задача решена. Пусть B - одна из точек, лежащих вне круга S₁. Рассмотрим круг S₂ радиуса 1 с центром в точке B. Среди точек A, B, C, где C - произвольная из данных точек, существуют две, расстояние между которыми меньше 1. Более того, этими точками не могут быть A и B.

Таким образом, круги S₁ и S₂ содержат все исходные точки. То есть, один из этих кругов содержит не менее 13 точек.

Задача 15. На бесконечную сетку помещена фигура, площадь которой меньше площади квадратика сетки. Доказать, что эта фигура может быть размещена на сетке так, чтобы она не покрывала узлы сетки.

Решение. Размещаем данную фигуру на сетке произвольным образом и разрезаем сетку вдоль сторон. Складываем все квадратики сетки один на другой, образуя стопку, при этом совершая только параллельные перемещения (без поворотов). Проецируем фигуру на один квадратик. Проекции фигуры не могут покрывать весь квадратик, так как его площадь больше площади фигуры. Возвращаемся к исходному положению фигуры и переносим сетку параллельно, таким образом, чтобы проекции вершин располагались внутри фигуры. В результате мы получим искомое положение фигуры.

Самостоятельная работа

Доказать, что из 11 цифр можно выбрать две одинаковые.

Карлсон хочет дать 10 малышам конфеты так, чтобы никакие два не получили конфет поровну. Сможет ли он это сделать, если у него 40 конфет?

Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них мужчины. Докажите, что найдутся двое мужчин, сидящих друг напротив друга (по диаметру).

Докажите, что в бригаде из 7 пожарных с суммарным возрастом 332 года найдутся трое с суммарным возрастом не менее 142 лет. (Возраст каждого – целое число).

Девять друзей послали друг другу поздравительные открытки, причём каждый послал 5 открыток. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.

В строку выписано 1000 целых чисел. Докажите, что всегда найдутся несколько идущих подряд чисел (возможно одно), сумма которых делится на 1000.

Показать, что из трех чисел, отличных от нуля, два числа будут одного знака.

Доказать, что в школе, где учатся 400 учеников, найдутся двое, дни рождения которых совпадают.

Доказать, что существует число вида 19991999... 1999 00... 00, делящееся на 1999.

Показать, что среди любых трех простых чисел, больших 3, можно выбрать два числа, сумма либо разность которых делится на 12.

Доказать, что для любого натурального числа существует кратное этого числа, записанное только цифрами 0 и 1.

Литература:

1.Принцип Дирихле (комбинаторика).Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/239669-princip-dirihle