Исследовательский проект «Золотая спираль»

Исследовательский проект на тему

«Золотая спираль»

Авторы работы:

Пальчун Полина

Кабанова Кристина

ученицы 9 «Б» класса

МБУ СОШ № 70

г.о. Тольятти Самарской области

Научный руководитель:

Саттарова Реиде Адельзяновна

учитель математики

первой категории

МБУ СОШ № 70

г.о. Тольятти Самарской области

Тольятти

2016

Содержание:

Актуальность………………………………………………………………………... 3

Цель и задачи проекта…………………………………………………………........ 4

Введение………..………………………………………………………………........ 5

Понятие о золотом сечении………………………………………………………... 5

Последовательность Фибоначчи…………………………………………… …...... 6

«Золотая» спираль или «Секрет розы» ……………………………………….…... 7

Золотое сечение в живописи………………………………………………………8

Тело человека и золотое сечение…………………………………………………9

Золотое сечение в природе……………………………………………………… 11

Практическая работа №1.

Построение «золотого» прямоугольника ……………………….……………..... 11

Практическая работа №2.

Золотое сечение в архитектуре Самарской области ……………………………12

Исследование №1.

Наличие «золотой» пропорции в человеческом теле……………………...……13

Исследование №2

«Золотой» прямоугольник человеческим взглядом ……......................................13

Заключение………………………………………………………………….……. .13

Список литературы…………………………………………………………….….14

Актуальность темы.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Тем самым, мы имеем богатую и увлекательную историю исследуемого материала.

Перед тем как начать работу по теме «Золотое сечение», мы провели опрос учащихся 8-го класса. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое «золотая пропорция» или «золотое сечение»?

Результаты опроса показали, что большое количество человек даже не знают понятия о «Золотом сечении». Эта тема была изучена очень давно, но используют её и в наше время, поэтому изучение этой темы будет очень полезно для развития кругозора.

Цель и задачи проекта:

Цель:

Исследовать «золотое сечение» в современном окружающем нас мире.

Задачи:

Познание математического представления о «золотом сечении» как гармонии окружающего мира.

Найти связь между последовательностью Фибоначчи и значением Ф.

Проведение практической работы на нахождение золотого сечения с помощью «золотого» циркуля.

Узнать «Секрет розы» в природе.

Исследовать подтверждение наличия золотого сечения в архитектуре Самарской области.

Провести исследовательские работы, доказывающие, что предметы, соответствующие формуле красоты, будут приятны нашему взгляду.

Введение

Тема «Золотого сечения» привлекает человечество с давних пор, этот термин встречается во многих сферах человеческой деятельности, а также в окружаемом нас мире. Интерес и споры вокруг этого понятия не исчезли и по сегодняшний день. Многие люди стремятся найти золотое сечение во всём, есть и те, кто считают, что золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных.

С давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» - как сказал А.С. Пушкин.

Тема «Золотое сечение» актуальна в современном развивающемся мире, так например, в архитектуре, живописи правило «золотого сечения» встречается очень часто.

Понятие о золотом сечении

Золотое сечение - иррациональное число, которое мы будем обозначать греческой буквой Ф (фи).

Золотое сечение – это деление целого на две неравные части, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Более наглядно это определение можно проследить на примере следующего отрезка.

Выясним, каким числом выражается золотое сечение. Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. Разобьем этот отрезок на две неравные части, и большую из них обозначим через x. Тогда меньшая часть равна 1-x. По определению золотого отношения должно выполняться равенство(1-x) :x = x: 1.Мы получили уравнение относительно x,которое легкосвести к квадратномуx²+x– 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен x= 1,618... Это непериодическое иррациональное десятичное число и равно значению «Фи». Более точное вычисление числа Ф не имеет смысла, потому что оно особенно важно в геометрическом виде, а не в числовом.

Последовательность Фибоначчи.

Известная работа Фибоначчи является последовательность. Последовательность Фибоначчи - это элементы числовой последовательности в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Получил свою последовательность Фибоначчи, решив задачу с зайцами. Для решения этой задачи Фибоначчи составил таблицу. В ней он записал рост популяции кроликов и посчитал в столбике «Итого» число пар в конце каждого месяца. Беглый взгляд на этот столбец показывает странную закономерность в последовательности: каждое число является суммой двух предыдущих. Числа в столбце «Итого» образуют так называемую последовательность Фибоначчи.

«Золотая» спираль или «Секрет розы»

Для начала мы последовательно будем вписывать в «золотой» прямоугольник квадраты, стороны которых равны ширине нашего прямоугольника.

Затем в каждом получившемся квадрате проведём дугу, как показано на рисунке ниже. Радиус каждой дуги равен длине стороны соответствующего квадрата. В результате мы получим «золотую» спираль.

Таким образом, у нас получилась так называемаялогарифмическая спираль, построенная с помощью золотого прямоугольника.

Золотое сечение в живописи

В эпоху Возрождения использование перспективы и поиск идеальных пропорций свели художников и учёных вместе. Подобно тому, как математики изучали соотношения перспективы, художники использовали проективную геометрию, чтобы изображать реалистичные трёхмерные сцены.

В 1435 г. появился «Трактат о живописи» Леона Баттисты Альберти, его важнейшая работа о перспективе, где он изложил методы изображения реальных объектов. Леонардо да Винчи продолжил изучения перспективы; эта тема при его жизни была очень популярна.

Так например в картине «Тайной Вечере» «золотые» прямоугольники определяют как размеры картины, так и положения Христа и Его учеников. Также можно заметить, что стены комнаты и окна на заднем плане следуют правилу золотого сечения.

Даже портрет Моны Лизы построен на золотом сечении.

Другими словами, художники Ренессанса пусть неосознанно, но находились под влиянием золотого сечения, используя в своих композициях «золотые» прямоугольники.

Тело человека и золотое сечение

В се кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618. Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618. Расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618.
Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618.
Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора. Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618. Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней л инии бровей до макушки равно 1:1.618.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.

Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

К роме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотое сечение в природе

Золотое сечение можно встретить во всём живом. Взяв нашу элегантную кривую - логарифмическую спираль, фактически не являющуюся математическим курьёзом, мы можем наблюдать её очень часто в физическом мире. К примеру, распустившийся цветок розы, в её лепестках и заключается наша замечательная линия. Даже изображение Галактики соответствует ей.

Практическая работа №1

Построение «золотого» прямоугольника

1способ:

1. Возьмём два одинаковых прямоугольника со сторонами, например, 3,1см и 5см. Заметим, что не каждое число подойдёт под эти значения. Чтобы подобрать нужные расстояние сторон прямоугольника мы проделали несколько опытов над подбиранием нужных чисел построения нашей золотой фигуры.

2. Один поставим горизонтально другой вертикально

3. Проведём прямую от угла F к углу B. Если эта прямая пересекает вершину G, как показана на рисунке, то этот прямоугольник золотой (приложение 1).

4. При делении длины на ширину прямоугольника, мы должны получить хотя бы приближённое число Ф. У нас это число равно 1,613см.

2способ:

Во втором способе доказательства нам потребуется «золотой» циркуль. Но для начала посмотрим, как можно самим построить такой циркуль, и что в нём особенного:

Возьмём две заострённые на концах полоски картона шириной 2см и длиной 34см.

Дальше, проделаем в них отверстия на расстоянии 13см от одного из концов (приложение 2).

Соединим обе полоски через эти отверстия так, чтобы они могли поворачиваться.

Раздвинув полоски, мы получим два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами 2см и 13см соответственно.

*Важно заметить, что все использованные числа являются числами из последовательности Фибоначчи, что является самым главным характеристикой золотого циркуля.

Чтобы убедиться, что два отрезка находятся в «золотой» пропорции, нужно раздвинуть короткие ножки циркуля на расстояние равное ширине прямоугольника (длине меньшего отрезка).

Не меняя положение циркуля, измерить длинными ножками длину прямоугольника (длину большего отрезка).

Если его длина равно расстоянию между длинными ножками циркуля, то такой прямоугольник (или два отрезка) является «золотым».

Практическая работа №2

Золотое сечение в архитектуре Самарской области.

В книгах о золотом сеченииможно найти замечание о том, что в архитектуре всё зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими золотое сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. Золотое сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

К подтверждению тому, что пропорции золотого сечения применяются и в современном веке в различных архитектурных зданиях, мы нашли в нашей области пару таких зданий, с которыми сами встречаемся неоднократно.

Первым из них является - театр «Пилигрим», находящийся в городе Тольятти. Только собственные опыты показали особенность этого здания, что только с флагом, находящийся на крыше здания, можно точно сказать, что фасад театра гармонично пропорционален (приложение 3).

Также можно проследить пропорциональность золотого сечения в главной части здания «Театра оперы и балета» города Самары (приложение 4).

Исследование №1.

Наличие «золотой» пропорции в человеческом теле

Мы сняли мерки ушей учащихся 8-го класса. Измерили высоту и ширину уха. Нашли отношение высоты к ширине. Данные все внесли в таблицу (приложение 5). По формуле нахождения «золотой» пропорции отношение должно приближаться к значению Ф (Ф=1,618…)

Вывод: из данного исследования мы наблюдаем наличие «золотого» отношения в человеческом теле.

Исследование №2.

«Золотой» прямоугольник человеческим взглядом

Чтобы доказать, что действительно, предметы, соответствующие «золотым» пропорциям приятны нашему глазу, мы нарисовали три прямоугольника и предоставили их на выбор ученикам 8-го класса, чтобы они выбрали именно тот, который им больше понравится. (Приложение 6)

Вывод: исследование показало, что большинство выбрало именно «золотой» прямоугольник, а значит, теория доказана.

Заключение:

Золотое сечение входит в мир фракталов, который очень глубок и сложен, мы лишь едва коснулись его. Но самое интересное то, что древнее и прославлённое число Ф, появившееся в математике более 20 веков назад, до сих пор встречается в новых областях современно науки и имеет большое применение в нашей жизни.

Золотое сечение присутствует в искусстве и в природе, но его связь с красотой – вопрос не только человеческого восприятия. Познав свойства золотого сечения, можно предположить, что сама природа выделила это значение Ф.

Творения, несущие в себя конфигурацию золотого сечения, представляются согласованными и соразмерными, всегда приятны взгляду, ведь золотое сечение лежит в основе гармонии, красоты и мироздания.

Источники:

1. Фернандо Корбалан «Мир Математики». Москва-2013

2. shedevrs.ru

3. images.yandex.ru

4. Я.И.Перельман «Занимательная геометрия». Екатеринбург-1994

5.file:///C:/School/Ряд%20Фибоначчи.tm

6.file:///C:/School/Фибоначчи.htm

Приложения:

П риложение 1.

П риложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4.

Приложение 5.

Приложение 6.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/260756-issledovatelskij-proekt-zolotaja-spiral