Консультация для учащихся: «Аркфункции в уравнениях и неравенствах»

ФИО: Карпенко Светлана Викторовна

Место работы: МБОУ «Лицей № 10» г. Белгород

Должность: Учитель математики

Название материала:«Консультация для учащихся: Аркфункции в уравнениях и неравенствах»

Основные свойства обратных тригонометрических функций.

1 Функция y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [– 1; 1];

arcsin (– x) = – arcsin x (x [– 1; 1]);

2 Функция y = arccos x определена и монотонно убывает на отрезке [– 1; 1];

arccos (–  x) =  – arccos x (x [– 1; 1]);
E(arccos) = [0; ].

3 Функция y = arctg x определена и монотонно возрастает наR;

arctg (– x) = – arctg x (xR);

4 Функция y = arcctg x определена и монотонно убывает на R;

arcctg (– x) =  – arcctg x (xR);
E(arcctg) = (0; ).

5

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Перейдем к рассмотрению методов решения этих уравнений и неравенств.

I. Решение уравнений и неравенств,  левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.

Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

1.

2.

3.

а) arctg f(x) = arctg g(x) f(x) = g(x);
б) acrtg f(x)  arctg g(x)  f(x) g(x).

4.

а) arcctg f(x) = arcctg g(x)  f(x) = g(x);
б) arcctg f(x)  arcctg g(x)  f(x) g(x).

Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а) и 2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) |  1 (тогда используем первую систему), или  | g(x) |  1 (в этом случае используем вторую систему).

Пример 1. Решить уравнение arcsin (3x² – 4x – 1) = arcsin (x + 1).

Решение. Уравнение равносильно системе

Замечание 2. Решать неравенство, входящее в систему, вообще говоря, не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения, как это и было сделано при решении примера 1.

Пример 2. Решить неравенство arcctg (8x² – 6x – 1)  arcctg (4x² – x + 8).

Решение. Неравенство равносильно следующему:

Пример 3. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1.

Решение.

Пример 4. Решить неравенство arccos (x² – 3)  arccos (x + 3).

Решение.

arccos (x² – 3)  arccos (x + 3)

Ответ: {– 2}.

Пример 5. Решить уравнение arccos (4x² – 3x – 2) + arccos (3x² – 8x – 4) = .

Решение. Так как  – arccos t = arccos (– t), то имеет место следующая цепочка

равносильных преобразований:

arccos (4x² – 3x – 2) =  – arccos (3x² – 8x – 4) 
arccos (4x² – 3x – 2) = arccos (– 3x² + 8x + 4) 

Аналогичные равносильные преобразования используются и при решении задач с параметрами.

Пример 7. Решить уравнение с параметром a:

arcsin (ax² – ax + 1) + arcsin x = 0.

Решение. Уравнение равносильно уравнению

arcsin (ax² – ax +1) = – arcsin x 
arcsin (ax² – ax + 1)= arcsin (– x) 

Рассмотрим два случая:

1) a = 0. В этом случае система примет вид:

2) a  0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:
Так как | x |  1, то . Если a = – 1, то x₂ = x₁ = 1. Если a  (– ; – 1)  [1; ), то уравнение имеет два корня.

Ответ: при приa = – 1 и a = 0,x = 1; при прочих a решений нет.

Пример 8. Решить неравенство с параметром a: arccos (3ax + 1)  arccos (2x + 3a -– 1).

Р ешение. Неравенство равносильно системе

Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что при a >первое неравенство системы равносильно неравенству x  1, при a < – неравенству x  1, при a =решением первого неравенства является любое действительное число. Множество всех точек (x;a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.

Ответ: при | a | >решений нет; при a = –   x = 1;

II. Решение уравнений и неравенств,  левая и правая части которых являются  разноименными обратными тригонометрическими функциями

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Эта группа задач является чуть более сложной по сравнению с предыдущей. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x₀ – решение этого уравнения.

Обозначим arcsin f(x₀) = arccos g(x₀) через a. Тогда sin a = f(x₀), cos a = g(x₀), откуда f²(x₀) + g²(x₀) = 1. Итак, arcsin f(x) = arccos g(x)f²(x) + g²(x) = 1.   (1)

Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:

Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число x₀, для которого f(x₀)  0 и g(x₀)  0. В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 9. Решить уравнение

Решение.

Корень является посторонним.

Ответ: {1}.

Пример 10. Решить уравнение

Решение.

Корень x = – 2 является посторонним.

Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).

Решение.

Корни вида являются посторонними.

Ответ:

При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.

Пример 12. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию

и решим неравенствоf(x)  0 методом интервалов.

1) Найдем D(f). Для этого решим систему

2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение

Корень x = – 2 является посторонним.

3) Решим неравенствоf(x)  0 методом интервалов.

Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравненияможно было не обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что функция является монотонно возрастающей, а функциямонотонно убывающей на отрезке . Поэтому решением исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать, что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.

При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,

Пример 13. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Графиком квадратного трехчлена f(x) = 2x² – 5ax + 2a2 – 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 < 0, то при любом a уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a. Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a. Это корень

Ответ: при любом a

III. Решение методом замены переменной.

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Обозначим После преобразований получим уравнение

Поскольку 

откуда

Ответ:

Пример 15. Решить неравенство arccos² x – 3arccos x + 2  2.

Решение. Пусть arccos x = t, 0 t  . Тогда

Поскольку  откуда 

Ответ: [– 1; cos 2]  [cos 1; 1].

Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующему:

Пусть arcsin x = t, где

Тогда

IV. Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если   то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно
системе

Пример 17. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.

Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.

Ответ: {0,5}.

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Пусть x² + x = t. Тогда уравнение примет вид

Функции являются монотонно возрастающими. Поэтому функциятакже является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому x² + x = 0

Ответ: {– 1; 0}.

Пример 19. Решить неравенство

Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезкефункциюУравнениев силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что – корень этого уравнения. Поэтому решением неравенства является отрезок

Ответ:

Пример 20. Решить уравнение arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = . Решение. Поскольку arcsin то левая часть уравнения не превосходитЗнак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно . Таким образом, уравнение равносильно системе:

Решение последней системы не представляет труда.

V. Решение уравнений и неравенств, используя « прямые» тригонометрические функции от обеих частей.

Пример 21. Решить уравнениеarccos

Решение. Перепишем это уравнение в виде arccos и возьмем

косинусы от обеих частей, т.е. x.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат ( от этого могут появиться

посторонние корни, но нам все равно нужно делать проверку – ведь мы брали косинусы от обеих частей! ) : 3х²= 1-х². Отсюда 4х²= 1, т.е. х=±

Сделаем проверку. Для х= имеем, и

следовательно, х= - корень данного уравнения.

Для х= - имеем , т. е. х= является лишним корнем.

Использованная литература.

1. С. Шестаков, М. Галицкий. Уравнения и неравенства, содержащие обратные

тригонометрические функции. Учебно-методическая газета «Математика», №14, 2000 г., изд. Дом «Первое сентября»

2 . Г. В. Дорофеев, М.К.Потапов, Н. Х.Розов. Пособие для поступающих в вузы.

М.,1968

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/262101-konsultacija-dlja-uchaschihsja-arkfunkcii-v-u