Статья: «Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений»

Статья: «Применение метода Гаусса для решения систем линейных уравнений в случаях с определенной и неопределенной системой линейных уравнений».

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными , ,…, :

Где числаназывается коэффициентами системы, а числа ,…, - свободными членами. Решением системы называется такой набор чисел , что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество. Напомним следующие вводные определения. Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: .

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы - выяснить, определенна она или нет. При этом возможны три варианта:

Если, то система несовместна.

Если(где – число неизвестных), то система совместна и определенна.

Если, то система совместна и неопределенна.

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений я буду в данной статье использовать метод Гаусса, который заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований над строками матрицы привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Далее определить ранг матрицы, который позволит понять определенная (неопределенная) и совместная (несовместная) система уравнений. Тогда в случае, если система определенная и совместная, то найдем ее единственное решение, в противном случае, если система неопределенная и совместная, то найдем общее решение системы. Если же система несовместная, то решений у системы не будет.

Пример 1: Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение системы уравнений представим подробно. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: .

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: Значит, система совместна, количество неизвестных также равно 2. Следовательно, система определена, т.е. имеет единственное решение. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Из второго уравнения подставляя это значение в первое уравнение, получим Итак, общее решение (оно же единственное частное): .

Ответ: Система совместна и определена; общее решение , частное решение .

Пример 2: Решить систему уравнений (с тремя неизвестными) методом Гаусса.

Решение системы уравнений представим подробно. Приведу к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Т.к. т.е система совместная и неопределенна (т.е. имеет бесконечно много решений). Количество главных переменных равно, количество свободных переменных равно Возьмем минор 2-ого порядка, например, . Его столбцы 1-ый и 2-ой соответствуют переменнымэто будут главные переменные, а свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Подставляя выражение для в первое уравнение, получим Обозначая свободную переменную через, получим общее решение системы: Частное решение системы получим, например, при

Ответ: система совместна и неопределенна; общее решение ; частное решение

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/301793-statja-metod-gaussa-dlja-reshenija-sistem-lin