Сборник рациональных приёмов вычислений

Сборник

рациональных вычислений

по математике

Подготовила:

учитель начальных классов МБОУ Гимназия № 21

Жарова Ольга Васильевна

Батайск, 2017

Введение

Одна из основных задач обучения математике – проблема формирования у учащихся вычислительных умений. От того, насколько учащиеся проявляют интерес к выполнению вычислений, зависит формирование у них прочных умений, которые составляют основу математического образования.

Учащиеся активны и любознательны, проявляют интерес, если им показать красоту и изящество устных и письменных вычислений, используя не совсем обычные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления. Во все времена прогрессивные педагоги уделяли внимание специальным, творческим приёмам быстрого счета.

Приёмы быстрого счёта помогают успешно овладеть основами математики, развивать интеллектуально-волевые качества. Использование приёмов быстрого счёта возможно на всех уроках математики.

1. Приёмы быстрого счёта для сложения и вычитания

1.1. Как быстро к числу прибавить 9

Нужно количество десятков увеличить на 1, а количество единиц уменьшить на 1.

26+9=35 73+9=82

1.2. Как быстро из числа вычесть 9

Нужно количество десятков уменьшить на 1, а количество единиц увеличить на 1.

47-9=38 93-9=84 18645-9=18636

1.3. Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда

А) Чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда
( чисел нечётное количество) , надо слагаемое, стоящее посередине, умножить на число слагаемых:

4 + 5 + 6 + 7 +8=6*5=30

14 + 15 +16 + 17 + 18=16*5=80

24 + 25 + 26 + 27 + 28=26*5=130

Б) Чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда (чисел чётное количество), надо взять два стоящих посередине слагаемых и их сумму умножить на половину числа слагаемых:

4 + 5 + 6+ 7 + 8+ 9 + 10 + 11= (7+8)* =15*4=60

16 + 17 + 18 + 19 + 20 +21 +22 +23=(19+20)* =39*4=156

1.4. Нахождение суммы последовательных чётных чисел

2416 2418 2420 2422 2424 2426 2428 2430 2432 2434

Для нахождения суммы этих чисел, надо сложить два равноудалённых от концов числа их этих десяти и умножить сумму этих двух чисел на количество пар ( в данном случае 5) .

Так слагаемые этого столбца увеличиваются на 2, то сумма чисел одинаково удалённых от концов столбца постоянная и равна сумме крайних чисел.

2416+2434=4850, а так как таких пар чисел здесь 5, то для нахождения суммы этих 10 слагаемых надо 4850*5=24250.

1.5. Сложение суммы и разности двух чисел

Приём: Умножить большее число на 2.

(375+289)+(375-289)=375*2=750

(509+364)+(509-364)=509*2=1018

1.6. Разность суммы и разности двух чисел

Приём: Умножить меньшее число на 2

(375+289)-(375-289)=289*2=578

(735+364)-(735-364)=364*2=728

1.7. Разность двух чисел

Принцип: Разность не изменяется от увеличения или уменьшения уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число.

689-495=694-500=194

8649-898=8651=900=7751

1.8. Приёмы сложения многозначных чисел

Сумма цифр каждого разряда записана отдельно.

1.9. Вычитание с помощью дополнения

В приведённых примерах все вычитаемые близки к круглым числам, т.е. к числам оканчивающимся нулями. Дополнив их до круглых чисел, получим:

1) 338-297=341-300=41 2)5243-2995=5248-3000=2248

Эти же примеры легко решить ещё и так:

1) 338-297=338-300+3=41 2) 5243-2995=5243-3000+5=2248

2. Приёмы быстрого счёта для умножения и деления

2.1. Как быстро умножить на 9

А) Умножение однозначного числа на 9 при помощи пальцев.

Чтобы умножить однозначное число на 9, надо положить перед собой обе руки, затем, считая слева на право, загнуть палец, обозначающий по счёту первый множитель. Тогда пальцы, находящиеся слева от загнутого, составят число десятков, а стоящие справа-число единиц.

Б) 26*9=25*(10-1)+9=250-25+9=225+9=234

2.2. Умножение двузначных, трёхзначных, многозначных чисел на 5

А) Умножение чётного числа на 5.

18648*5=93240

Приём:18648:2=9324 и справа приписать 0.

Результат – 93240

54*5=54*2=27 и приписать 0.

Результат – 270.

Б) Умножение нечётных чисел на 5.

При делении на 2 в остатке может получится только 1, а если 1 умножить на 5, будет 5. Значит, вместо нуля на конце надо поставить 5.

18649*5 18649:2=93245(ост.1) вместо 0 пишу 5.

2.3. Умножение двузначного числа на 11

Приём:
А) Между цифрами первого множителя записываем сумму этих цифр. 45*11=495. Между цифрами 4 и 5 вписываем сумму этих цифр 4+5=9.

Б) Если же сумма цифр больше десяти 87*11=957, то количество единиц пишем между цифрами, а десяток прибавляем к первой цифре.

В) 45*11= 45*(10+1)=450+45=495

37*11=37*(10+1)=370+37=407

2.4. Умножение трёхзначного числа на 11

1) Переносим цифру сотен на 1-го множителя в произведение в качестве цифры тысяч;

2) Складываем цифру десятков первого множителя с цифрой его сотен (3+4) и берем эту сумму в качестве цифры сотен произведения;

3) Складываем цифру единиц с цифрой десятков первого множителя (5+4) и ставим эту сумму (9) на месте десятков произведения;

4) Берём в качестве единиц произведения единицы первого множителя (5).

345*11=3795 1) 1, 2)1+7+8 3)7+8=15 4)1958

178*11=1958

2.5. Умножение многозначного числа на 11

Приём: 3524*11=38764

Первая (справа) цифра в произведении та же, что в первом множителе (4), вторая получается от сложения первой и второй (4+2=6), третья – от сложения второй и третьей (5+2=7), четвёртая – от сложения третьей и четвертой (5+3=8), а последняя цифра 3 – та же, что и в первом множителе.

Множитель 3+5+2+4

Произведение 3 8 7 6 4

26371*11=290081

Множитель 2+6+3+7+1

Произведение 2 9 0 0 8 1

2.6. Умножение на пальцах, больше 5

Загнём на левой руке столько пальцев, на сколько первый множитель превышает 5, на правой – на сколько второй множитель превышает 5.

В данном примере 4 и 2 пальца. Если сложить количество загнутых пальцев и перемножить количество незагнутых (1*3) то получится соответствующее число десятков и единиц.

6*8=48 9*7=63

2.7. Быстрое умножение двузначных чисел, оканчивающихся на 5, самих на себя ( возведение в квадрат)

Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее целое число и к произведению приписать 25.

35*35=1225 65*65=4225

2.8. Умножение чисел меньше 20 и больше 10

17*13

1) 7*3=21 – сначала перемножить единицы множителей.

2) 17+3=20 – к одному из чисел прибавить единицы второго

13+7=20

3) 20*10=200 Полученную сумму умножить на 10

4) 200+21=221 Полученные числа №3 и №1 сложить

2.9. Приём умножения на 15

А) Как умножить чётное число на 15.

18*15=18*10+9*10=(18+9)*10=27*10=270

Чтобы умножить чётное число на 15, надо к нему прибавить его половину и результат умножить на 10.

14*15=(14+7)*10=21*10=210

Б) 23*15=(22+1)*15=22*15+15=330+15=345

2.10. Умножение числа на 14

Число 14 заменим разностью (15-1). Применяем свойство умножения числа на разность.

66*14=66*(15-1)=66*15-66*1=990-66=924

2.11. Умножение числа на 16

Число 16 заменим суммой (15+1), затем применяем свойство умножения числа на сумму:

62*16=62*(15+1)=62*15+62*1=930+62=992

2.12. Умножение числа на 150

Результат умножения числа на 150 можно получить, проведя последовательно умножение на 15 и 10.

46*150=(46*15)*10=690*10=6900

2.13. Умножение на 25

Если число разделить на 4, а затем умножить на 100, так оно умножиться на 25.

А) Если первый множитель делится на 4:

64(25=(64:4)*100=16*100=160

Б) Если первый множитель не делится на 4, то в остатке может получится 1, иди 2, или 3.

Если в остатке получается 1, то вместо двух нудей ставим 25, если в остатке 2, то 50, если 3, то 75.

65*25 65:4=16 (ост. 1) значит 65*25=1625

66:25=1650, 67*27=1675

2.14. Умножение 125

А) 72*125=(72:8)*1000=9000

Если число разделить на 8, а умножить на 1000, то оно умножится на 125, так как в 1000 число 8 содержится 125 раз.

Б) Если первый множитель не делится на 8, то в остатке могут получится числа от 1 до 7, и тогда в случае остатка 1 вместо трёх нулей в произведении поставим 125, если в остатке 2, то 250; если 3 то 375; если 4, то 500; если 5, то 625, если 6, то 750; если 7, то 875.

73*125 Так как 73:8=9 (ост.1), значит 73*125=9125

14*125 74:8=9( ост.2) 74*125=9250

2.15. Умножение двузначного числа на 101

Приём: К произведению первого множителя и 100 прибавить первый множитель.

73*101=73*100+73=7300+73=7373

86*101=3600+86=8686

2.16. Умножение трёхзначного числа на 101

134*101=13534 726*101=73326

Приём: Увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя:

1) 134+1=135 1)13534

2)726+7=735 2) 73326

2.17. Приём умножения на 1001

749*1001=749*1000+749=749749

824*1001=824*1001+824=824000+824=824824

2.18. Умножение на 111 двузначного числа

А) 45*111

(4+5=9). Раздвигая цифры первого множителя, дважды пишем сумму цифр данного двузначного числа:

45*111=4995 26*111=2886

Б) Если сумма цифр двузначного числа более 10, то между двумя цифрами первого множителя вписываем из полученной суммы тольуо цифру единиц, а цифра десятков увеличивается на 1.

38*111 3+8=11 3+1=4 38*111=4218

78*111 7+8=15 7+1=8 78*111=8658

2.19. Как быстро умножить двузначные числа 62*23 («Способ молнии»)

Приём: Разложим числа так: 6-2 6 2

2-3 2 3

Заполним последовательно действия

1) 2*3=6. Перемножим единицы обоих множителей. Полученное произведение будет последней цифрой результата.

2) 6 2 2*2=4

2 3 6*3=18

3) 4+18=22. Складываем полученные произведения. 2 – предпоследняя цифра результата, а 2 запоминаем.

4) Перемножим десятки множителей 6*2=12

12*2=24

К этому числу прибавим то, что запомнили. 14 - первые цифры результата.

Итак, 62*23=1426

2.20.Умножение чисел, имеющих равное число десятков

61*69=6*(6+1)*100+1*9=4200+9=4209

83*87=8*(8+1)*100+3*7=8*9*100+21=7221

Если два числа имеют равное число десятков, а сумма числа порядковых единиц равна 10, то произведение находя так: к произведению числа десятков одного из них и на единицу большего числа, умноженного на 100, прибавляют произведение единиц.

343*247=24*25*100+3*7=60000+21=60021

2.21. Как быстро умножить числа, близкие к 100 (меньше 100), (больше 100)

1) Нужно определить, сколько не хватает у этих чисел до 100:

У 98 – 2

У 94 – 6 – это дополнения.

2) Нужно от первого числа отнять дополнения второго числа 98-6=92 или от второго – дополнение первого 94-2=92. Результаты получаются одинаковые. Это и является началом произведения.

3) Перемножив дополнения 2*6=12 мы получим последние цифры произведения . Ответ – 9212

2.22. Приём умножения на 99

82*99=82*(100-1)=8200-82=8112

2.23. Приём умножения на 999

34*999=34*(1000-1)=34000-34=33966

2.24. Признаки делимости

Признак делимости на 2. Число, делящиеся на 2, называется чётным, не делящееся – нечётным. Число делится на два, если его последняя цифра чётная или нуль. В остальных случаях – не делится .

Например, число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8 – чётная; 7691 не делится на 2, так как 1 – цифра нечётная; 5160 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.

Примеры. 31700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями; 215634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 3, не делящееся на 4; 16608 делится на 4, так как две последние цифры 08дают число 8, делящееся на 4.

Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.

Признак делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9.

Примеры. Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1+7+8+3+5=24 делится на 3 и не делится на 9. Число 106449 не делится на , ни на 9. Число 52632 делится на 9 и на 3 , так как сумма его цифр (18) делится на 9 и на 3.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае - не делится.

Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.

Пример. 240 делится на 5 (последняя цифра 0); 554 не делится на 5 (последняя цифра 4).

Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 ( т.е. число, оканчивающееся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.

Пример. 7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.

Признак делимости на 10,100 и на 1000. На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 – только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры. 8200 делится на 10 и на 100; 542000 делится на 10, 100, 1000.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бурлыга А.Я. Интересные приёмы устного счёта [Текст] / А.Я. Бурлыга // Начальная школа.-2016.№5.- с.52

2. Белошистая, А.В. Задания для развития логического мышления. 3 класс. [Текст] / А.В. Белошистая.- М.: Дрофа,2013.-64с.

3. Депман, И.Я. История арифметики [Текст] / И.Я. Депман.-М.: Просвещение, 2016.-59 с.

4. Сухорукова В.М. Интересные приёмы устных вычислений [Текст] / В.М. Сухорукова // Начальная школа.-2016.-№6.-с.34

5. Чилингирова Л. Система формирования вычислительных умений [Текст] / Л. Чилингирова // Воспитание и обучение.-2014.-№9.-с.55.
6. Шихалиев, Х.Ш. Больше внимания устным вычислениям [Текст] / Х. Ш. Шихалиев // Начальная школа.- 2015.-№8.-с.38.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/302491-sbornik-racionalnyh-prijomov-vychislenij