Исследовательский проект «Треугольник Паскаля»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №3

г. Ногинск Московская область

Исследовательский проект

«Треугольник Паскаля»

Выполнили:

ученики 7 класса

МБОУ СОШ №3 г. Ногинск МО

Руководитель проекта:

Кирина О. В. – учитель математики

МБОУ СОШ №3 г. Ногинск МО

2018 год

Исследовательский проект:«Треугольник Паскаля»

«Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным»

Б. Паскаль
 

Цель исследования:
- ознакомиться с треугольником Паскаля и его применением как разновидностью треугольников;
Гипотеза:
Если числа треугольника Паскаля обладают особыми свойствами, то его можно считать уникальным для решения различных задач
Задачи:
- определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;
- изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;
- выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;
- сформулировать вывод и итоги исследования;
Объект исследования: треугольник как геометрическая фигура
Предмет исследования: свойства треугольника Паскаля
Методы исследования:
- аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;
- поиск информации в интернет - ресурсах.

Всвоейработе я хочу доказатьгипотезу,чточисла треугольника Паскаляобладаютособымисвойствами;приведупримерызадач с ихрешением;построютреугольник Паскаляи расскажу о свойствахчиселвходящихв егосостав.

Блез Паскаль родился 19 июня 1623 г. в г. Клермон-Ферран, Франция — 19 августа 1662, Париж, Франция) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Его отец славился своим интересом к наукам, в том числе и математике, что и сыграло важную роль в жизни мальчика.

Природа наделила Паскаля необычайными способностями, но обделила здоровьем. Заметив сильный интерес сына к геометрии, отец запретил ему заниматься ей, так как мальчик не раз бывал на грани жизни и смерти. Однако, после того, как он сам доказал, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, отец сдался и не стал ему ничего запрещать.

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями. Одним из них является Блез Паскаль. Все научные достижения этого великого ученого трудно перечесть. К их числу относится одно из самых элегантных изобретений в мире математики — треугольник Паскаля.

Блез Паскаль по современным меркам умер рано, в возрасте 39 лет. Однако за свою короткую жизнь он проявил себя как выдающийся физик, математик, философ и писатель. Благодарные потомки назвали в его честь единицу давления и популярный язык программирования Pascal. Он уже почти 60 лет используется для обучения написания различных кодов. Например, с его помощью каждый школьник может написать программу для вычисления площади треугольника на «Паскале», а также исследовать свойства схемы, о которой речь пойдет ниже

Как уже было сказано, этот великий французский ученый внес огромный вклад в математическую науку. Одним из его безусловных научных шедевров является «Трактат об арифметическом треугольнике», который состоит из биномиальных коэффициентов, расставленных в определенном порядке. Свойства этой схемы поражают своим разнообразием, а сама она подтверждает пословицу «Все гениальное — просто!».

Прежде чем исследовать интереснейшие свойства треугольника Паскаля, прекрасного в своем совершенстве и простоте, стоит узнать, что он из себя представляет. Говоря научным языком, эта числовая схема - бесконечная таблица треугольной формы, образованная из биномиальных коэффициентов, расположенных в определенном порядке. В его вершине и по бокам находятся цифры 1. Остальные позиции занимают числа, равные сумме двух чисел, расположенных над ними рядом выше. При этом все строки треугольника Паскаля симметричны относительно его вертикальной оси.

(Приложение 1 рис.№1)

Рис.1

СвойствачиселтреугольникаПаскаля.

Свойство№1(основное).Каждоечислоравносуммедвухрасположенныхнад нимчисел .Треугольникможно продолжатьнеограниченно.(Приложение 1.рис №2)

1

1

1

11

2

1

1

10000000

344

3

Р

4

1

4

6

1

Свойство№2.Вдольдиагоналей, параллельныхсторонам треугольника(Приложение №1нарис.3отмечены зеленымилиниями)выстроены треугольныечисла.Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть.(Приложение № 2Рис.4).

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

16 1520 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 35 84 126 126 84 35 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Рис.3

первое и последнее числа — 1; второе и предпоследнее - n

Т₁=1 Т₂ =3 Т₃ = 6

Т_n=

Т₄= 10 Т₅= 15

Рис.4

Перваядиагональтреугольника Паскаля(первая зеленаялинияРис.3) –это натуральные числа,идущиепопорядку.

Свойство№3.Суммачиселn-йдиагонали - естьn-ечисло Фибоначчи.

ЧислаФибоначчи,треугольникПаскаляисвязьмежду ними.

Паскаль,наверное,незнал,чточислаФибоначчискрыты в еготреугольнике. ЭтообстоятельствобылообнаруженотольковXIX веке ( Число Фибоначчи - элементы числовойпоследовательности1,1,2,3,5,8,13, 21, 34,55, 89, 144, 233,…вкоторой каждое последующее числоравносуммедвухпредыдущихчисел).

КраснымцветомвыделенычислаФибоначчи

(Приложение № 2 Рис.5).

Рис.5

Если сложить числа ряда по диагонали, мы получим число Фибоначчи

Т.е. 1+9+28+35+15+1=89

1+8+21+20+5 = 55

1+7+15+10+1 = 34и т.д.

Свойство№4.Числа,стоящие нагоризонтальныхстрокахтреугольника Паскаля, -этобиномиальные коэффициенты,тоестькоэффициентыразложения(xy)ⁿпостепеням

n

n

Рис.6

(а+в)¹=1а+1в

(а+в)²=1а²+2ав+1в²

(а+в)³=1а³+3а²в+3ав²+1в³

(4+3)³=1 4³+3 4²3+3·4·3²+1·3³=1·64+3·16·3+3·4·9+1·27=

=64+144+108+27=343 проверка (4+3)³=7³=7·7·7=343.

Свойство № 5.Суммачиселn-йстрокитреугольника Паскаляравна 2ⁿ.

Пример : Берем 5 строку в треугольнике n =5

1+5+10+10+5+1=32

2⁵= 32.

Свойство №6.Суммачисел,стоящихначетныхместаx,равнасуммечисел,стоящихна нечетныхместахикаждая изнихсоставляет 2^n-1.

Пример : n= 6

6+20+6=32;

1+15+15+1= 32

2^6-1=32.

Приложение №1 рис.1

Свойство №7. Сумма чисел.

Чтобынайтисуммучисел,стоящихналюбойдиагоналиотначаладоинтересующегонасместа,достаточновзглянутьначисло, расположенноеснизуислеваотпоследнего слагаемого (слевадля правойдиагонали,длялевойдиагоналибудетсправа,авообще-ближек середине треугольника). Пусть,например, мыхотимвычислитьсуммучисел натуральногоряда от1 до9."Спустившись"подиагоналидочисла9,мыувидимслеваснизуотнегочисло45(Приложение № 3 Рис.7)Онотоидает искомую сумму.

Рис.7

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

1+4+10+20+35+56+84=120

1+6+21+56+126 = 210.

Примеры задач, которые можно решать с его помощью, достаточно разнообразны. Рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них .

Задача № 1.

В магазине «Школьник » продается 9 различных наборов карточек -подсказок по «Математике». Сколькими способами можно выбрать из них 5 наборов?

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать m элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересеченииm-ой диагонали и n-ой строки. Найду диагональ девятую сверху и отсчитываю пять чисел по горизонтали. Получу число 126.

Согласно формуле C^m_n= n! / (m! (n - m)!) (где ! - факториал - произведение всех натуральных целых чисел от 1 до искомого, например, 4!=1*2*3*4).

C⁵₉=9!/(9!*(5-9)!) = 9!/4!*5!= (5*6*7*8*9)/(1*2*3*4*5)=15120/120 = 126

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 1520 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 35 84 126 126 84 35 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Ответ : 126 способов.

Задача №2.

В сумке 7 мячей, пронумерованных от 1 до 7. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 7 имеющихся можно 21способами. Вероятность нашего события 2 из 21

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 1520 15 6 1

1 721 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 935 84 126 126 84 35 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Ответ: 2 из 21.

Задача №3.

Из пункта A по сети дорог идет группа из 2⁵ человек.
На первом перекрестке основная дорога расходится на две. То же происходит и на любом другом . Сколько человек придет в пункты В, С, D,F,I… соответственно?

Ее ответом является вся 5 строка треугольника Паскаля

1 - 5 -10 - 10 - 5 -1

Проверим

2⁵= 32 ( человека вышло из пункта А)

1+5+10+10+5+1=32 .

Ответ: B-1 человек, C – 5 человек, D – 10 человек , F – 10 человек., I – 5чел, K – 1человек.

Задача №4

На плоскости выбраны 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

С³₇=7!/7!●(3-7)!= 7!/7! ●4!=4●5●6●7/1●2●3●4=870/24=35(треугольников)

Проверяем по рисунку №7 в приложение 3. Число 35, что соответствует нашему решению.

Задача №5.

В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:

способов

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

Задача №6

Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача №7

В магазин доставили 6 компьютеров, их необходимо расставить по 3 в ряд. Сколькими способами можно это сделать?

Решение 1:

Эту задачу можно решить с помощью бинома Ньютона. Или с помощью треугольника Паскаля. Для этого нам нужно найти шестую строку и третью диагональ (номер строки определяется общим количеством компьютеров, а номер диагонали тем количеством компьютеров, сколько их должно стоять в ряду).

На их пересечении будет ответ.

Примечание: если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 6 с 3 строкой, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться.

Решение 2:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Получу число 20.

Задача №8

Найдите

Решение:

Для вычисления этой задачи нам необходимо найти ряд в треугольнике, номер которого будет соответствовать степени, в которую нам необходимо возвести 11.

Если степень меньше пяти, то необходимо просто переписать числа в ряду по порядку.

Третий ряд записывается так: 1 3 3 1.

Поэтому 11 =1331

Треугольник Паскаля — простая таблица, которая таит в себе огромное количество математических тайн. Члены рядов связаны с биноминальными коэффициентами, совершенными числами, числами Фибоначчи, тетраэдрическими и треугольными числами.

В ходе изучения свойств треугольника Паскаля я убедился, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно на уроках алгебры . Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности и комбинаторики, решать олимпиадные задачи.

Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

Практическая значимость данной работы заключается в следующем: я, изучив много литературы по данному вопросу, получил дополнительные знания в области математики, укрепил свой интерес к этой науке, открыл для себя имя одного из выдающихся людей науки Блеза Паскаля.

Используемые ресурсы:

http://fb.ru/article/340690/treugolnik-paskalya-svoystva-treugolnika-paskalya#image6

https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Паскаля#История

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F

http://citaty.su/kratkaya-biografiya-bleza-paskalya

https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-matematike-na-temu-treugolnik-paskalya-klass-1318442.html

Приложение №1.

Рис.1

1

1

1

11

2

1

1

10000000

344

3

Р

4

1

4

6

1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

16 1520 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 35 84 126 126 84 35 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 Рис.3

Приложение №2

Т₁=1 Т₂ =3 Т₃ = 6

Т_n=

Т₄= 10 Т₅= 15

Рис.4

Рис.5

Приложение №3

Рис.6

Рис.7

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/304075-issledovatelskij-proekt-treugolnik-paskalja