Урок алгебры в 11 классе по теме «Производная показательной функции. Число е»

Орг. момент.

Я хотела бы начать урок со слов великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского «Нет ни одной области математики, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира».

Мы начинаем изучение нового раздела, ключевое слово которого зашифровано в ребусе. (производная)

Сегодня на уроке мы изучаем новую тему « Производная показательной функции. Число е».

Наша цель – познакомиться с таинственным для нас числом е, с новым понятие «натуральный логарифм», с формулами дифференцируемости показательной функции.

Актуализация опорных знаний.

Вспомним определение производной и правила дифференцирования.

В чем состоит геометрический смысл производной?

Сейчас мы проверим, какие правила вычисления производных вы знаете. Вам предлагается найти пару.

Если вы правильно установите соответствия, у вас получится пока еще новое математическое понятие.

«Найди пары»

Проверяем (экспонента).

Прежде чем ввести данное понятие, дайте определение показательной функции и перечислите ее свойства.

ИНМ

Графики показательных функций изображаются в виде гладких линий, к которым в каждой точке можно провести касательную.

График показательной функции у = а^х проходит через точку (0;1).

Пусть α – величина угла, образованного касательной к графику функции у = а^х в точке (0;1) с положительным направлением оси абсцисс.

Величина этого угла зависит от значения основанияа.

Например, вычислено, что при а = 2, величина угла α приближенно равна 34⁰, а при а = 3 α ≈ 47⁰.

Если основание а показательной функции у = а^х возрастает от 2 до 3, величина угла α возрастает и принимает значения от 34⁰ до 47⁰.

Математиков больше всего заинтересовал угол в 45⁰.

Логично предположить, что существует основаниеа, для которого соответствующий угол равен 45⁰.

Между какими числами лежит основание а? (2 и 3).

Доказано в математике, что интересующее нас основание существует. Это число иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь, примерное равное 2,7. Его принято обозначать буквой е.

Более точное значение вы видите на экране. С помощью ЭВМ найдено до двух тысяч десятичных знаков после запятой. На практике полагают, что е = 2,7.

Сообщение ученика

«Способ помнить е простой: два, семь, дважды Лев Толстой». Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к  числу e не имеет, тем не менее, в записи числа е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рождения Л.Н. Толстого.

Сообщение ученика

Число появилось сравнительно недавно. Его иногда называют «неперовым» числом в честь изобретателя логарифмов шотландского учёного Непера (1550 – 1617), однако необоснованно, так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление. Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа.

Показательная функция с основанием е называется экспонентой.

Сформулируем теорему о производной функции у = е^х

Определение натурального логарифма.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е:

(е^х)′=е^х (а^х)′=а^хlnа

(е^u)′=e^u∙u′ (а^u)′=a^uu′lna

Примеры: (е^5х)´=е^5х(5х)´=5е^5х

(е^sinх)´=е^sinx(sinx)´=cosхе^sinx

(2^5x)´=2^5x∙ln2(5x)´=5∙2^5xln2

(2^sinx)´=2^sinx∙ln2(sinx)´=cosx∙2^sinxln2

Закрепление изученного.

Решитe задания из учебника: №538(а,б), 539(а,б), №543(а).

Вычислите производные функций:

Физкультминутка

Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным. Экспоненциальный рост часто встречается в природе и технике.

Сообщение ученика

Высыхание почвы после дождя (закон изменения влажности) – это спадающая экспонента.

Нарастание численности особей биологического вида происходит по нарастающей экспоненте.

Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов - все эти процессы подчиняются одному закону: N = N₀ e^kt. По этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.

Числое играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):

Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой) Закон охлаждения тел;

Закон охлаждения тел;

Колебания маятника в воздухе;

Формула Циолковского для скорости ракеты;

Рост клеток и популяций животных.

Часто нам приходилось слышать следующие выражения: «Численность бактерий растет по экспоненте», «Сила тока затухает по экспоненте», «Его успехи растут по экспоненте». Теперь мы понимаем смысл этих выражений.

Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Ответ: 4.

Задание 2А:

Найдите, если

1) 2) 3) 4)

Ответ: 2.

Мини – тест.

I вариант

1. Производная функции f(х) = е^3х равна:

1) 3х; 2) 3е^х; 3) 3∙е^3x .

2. Производная функции f(х) = 6^2х равна:

1) 6^2x∙ln6; 2) 2∙6^2x∙ln6; 3) 2∙ln6.

3. Производная функции f(х) = 7е^х +5^х равна:

1) 7е^x+5^x∙ln5; 2) 7е^x+5^x; 3) 7х+5^x∙ln5.

II вариант

1. Производная функции f(х) = е^-2х равна:

1) -2е^-2х ; 2) е^-2х; 3) -2х.

2. Производная функции f(х) = 2^3х равна:

1) 3∙ln2; 2) 3∙2^3x∙ln2; 3) 2^3x∙ln2.

3. Производная функции f(х) = 9е^х +4^х равна:

1) 9е^x+4^x; 2) 9х+4^x∙ln4; 3) 9е^x+4^x∙ln4.

Проверка. I вариант: 321

II вариант: 123

Домашнее задание.

п. 41 ; № 539(б,г); 540(в); 542(б;в); 544(б)*

Итог урока.

Что нового вы узнали на уроке?

Какие моменты урока для вас были наиболее интересными?

Кто доволен своей работой на уроке?

Рефлексия

«Лесенка достижений»

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25