Математические и логические основы информатики

Математические и логические основы информатики

1. Основные понятия математической логики

2. Основные законы алгебры логики

3. Задания для самостоятельного решения

1. Основные понятия математической логики

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними [4].

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно [4].

Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.

Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1):

Таблица 1. Примеры логических выражений

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с помощью логических связок – называют составными высказываниями. Высказывания, не являющиеся составными, называют элементарными.

Для обозначения логических высказываний, им назначают имена. Например, если А – высказывание «В четверг был дождь», В – высказывание «В пятницу было солнечно», то составное высказывание «В четверг был дождь, а в пятницу было солнечно», можно записать в виде:

А и В.

Здесь А,В – логические высказывания (могут быть либо истинными, либо ложными), и – логическая связка.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2):

Таблица 2. Логические связки

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Вычисление значения логического выражения производится слева направо в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций можно менять, используя круглые скобки.

Таблица 3. Таблица истинности

Таблица 4. Приоритет выполнения логических операций

2.Основные законы алгебры логики

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений (см. Таблицу5.)

Таблица 5. Основные законы алгебры логики

Задание 1.

Для какого имени истинно высказывание:

¬(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)

Решение.

Введем обозначения для высказываний:

тогда наше высказывание примет вид: ¬(A → B). Чтобы преобразовать высказывание, воспользуемся тождествами (1), (6), (12):

¬(A → B) = ¬((¬A)B) = ¬(¬A)  (¬B) = A  (¬B)

Используя обозначения (13), (14), получим, что исходное высказывание равносильно следующему:

Первая буква гласная  ¬(Четвертая буква имени согласная), 

Первая буква гласная  Четвертая буква имени гласная.

Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН (вариант ответа №3).

Ответ: 3

Задание 2.

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬(A ¬B)

Решение.

Чтобы преобразовать высказывание, воспользуемся законами (6), (12):

_{(6) (12)}

¬(A ¬B) = ¬A ¬(¬B) = ¬AB, что соответствует ответу №4.

Ответ: 4

Задание 3.

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов:X,Y,Z. Дан фрагмент таблицы истинности выраженияF:

Какое выражение соответствует F?

Решение.

Способ 1. Наличие двух единиц в столбце F позволяет предположить использование дизъюнкции в логическом выражении. F принимает значение, равное 0, при X=0,Y=0,Z=1, что соответствует логической суммеXY¬Z. При проверке этой формулы при значениях первой и третьей строки, получаем верные значения F.

Способ 2. Проверим предложенные ответы:

F=¬X¬YZ=0 при X=0,Y=0,Z=0, что не соответствует первой строке таблицы.

F=¬X¬YZ=1 при X=0,Y=0,Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Выражение XY¬Z соответствует F при всех предложенных комбинацияхX,Y,Z.

F=XYZ=1 при X=0,Y=0,Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Таким образом, верный вариант ответа №3.

Ответ: 3

Задание 4.

Для какого числаX истинно высказывание

Решение.

Заменим импликацию, входящую в исходное выражение, воспользовавшись тождеством (1):

₍₁₎

(X>5)→(X<3) = ¬ (X<5)  (X<3)

Подставим получившееся выражение в (15):

Найдем значение выражения (16) при заданных значениях X (=1; 2; 3; 4)

X=1: (1>1) ((1>=5)  (1<3)) = 0(11) = 01=0

X=2: (2>1) ((2>=5)  (2<3)) = 1(01) = 11=1

X=3: (3>1) ((3>=5)  (3<3)) = 1(00) = 10=0

X=4: (4>1) ((4>=5)  (4<3)) = 1(00) = 10=0

Верный вариант ответа №2.

Ответ: 2.

Задание 5.

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬(¬AB)

Решение.

Воспользуемся равенствами (6) и (12):

_{(6) (12)}

¬(¬AB) = ¬(¬A)¬B = A¬B

Верный вариант ответа №1.

Ответ: 1.

Задание 6.

Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух бит, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

Решение.

Заметим, что строка 0110100011000 может начинаться только с двух букв: 01(В) или 011(Е). При этом, если первая буква В, то для второй буквы имеется две возможности: 10(D) и 101(-) – нет соответствующей буквы (см.Схему 1) и т.д.

При этом результативным является только одна ветвь дерева (наСхеме 1 она выделена двойной рамкой) – BDCEA, что соответствует варианту ответа №3.

Верный вариант ответа №3.

Ответ: 3.

Задание 7.

Д ля составления цепочек используются бусины, помеченные буквами: A,B,C,D,E. На первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, С, Е. На втором – любая гласная, если первая буква согласная, и любая согласная, если первая гласная. На третьем месте – одна из бусин С, D,E, не стоящая в цепочке на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по правилу?

Решение.

Введем обозначения для условий:

Условие 1 = «На первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, С, Е».

Условие 2 = «На втором – любая гласная, если первая буква согласная, и любая согласная, если первая гласная».

Условие 3 = «На третьем месте – одна из бусин С, D,E, не стоящая в цепочке на первом месте».

Рассмотрим выполнимость Условий 1-3 для вариантов ответов 1) - 4). Поставим символ «1», если соответствующее условие выполнено, «0» - если условие не выполнено (см. Таблицу 6).

Таблица 6. Выполнимость условий 1-3 для вариантов ответов Задания 7.

Из таблицы 6 видно, что все три условия выполнены только для варианта ответа №2.

Ответ: 2.

Задание 8.

Сколько различных решений имеет уравнение

(KLM) (¬L¬MN)=1

где K,L,M,N – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы K,L,M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Решение.

Заметим, что поскольку исходное уравнение представляет собой объединение двух логических выражений, то оно равносильно совокупности (объединению) уравнений, состоящих из этих выражений:

При этом уравнение (17) представляет собой пересечение трех логических выражений, и потому оно принимает значение, равное 1, тогда и только тогда, когда каждое из них истинно, т.е. К=L=M=1. На выражение N условий не накладывается, поэтому возможны два варианта решений: 1) К=L=M=1,N=1; 2) К=L=M=1,N=0.

Уравнение (18) также представляет собой пересечение трех логических выражений, и потому оно принимает значение, равное 1, тогда и только тогда, когда ¬L=¬M=N=1. Откуда: L=M=0,N=1. На выражение K условий не накладывается, поэтому у уравнения (18) – также два решения: 1) К=M=0,N=1,K=1; 2)К=M=0,N=1,k=0.

Таким образом, уравнение (17) имеет 2 решения и уравнение (18) имеет два решения. Поскольку исходное уравнение представляет собой объединение этих двух уравнений, то количество его решений равно сумме решений уравнений (17) и (18), т.е. равно 4.

Ответ: 4.

Задание 9.

Укажите значения переменных K,L,M,N, при которых логическое выражение

(¬KM) → (¬LMN)

ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K,L,M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1,L=1,M=0,N=1.

Решение.

Преобразуем данное выражение, используя равенства (1), (6), (12):

_{(1) (6), (12)}

(¬K M) → (¬LMN) = ¬ (¬K M)  (¬LMN) = (K ¬M)  (¬LMN) = 0

Поскольку получившееся выражение представляет собой логическое сложение двух выражений (K  ¬M) и (¬LMN), то оно равно тогда и только тогда, когда

Из (20) следует, что ¬L=M=N =0, значит L=1,M=0,N=0.

Подставим M=0 в уравнение (19):

K 1 =0, откуда K=0.

В итоге получим: K=0,L=1,M=0,N=0.

Ответ: 0100.

Задание 10.

Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

‑ Кто это сделал? ‑ спросила мама.

‑ Коля не бил по мячу, ‑ сказал Саша. ‑ Это сделал Ваня.

Ваня ответил: ‑ Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.
‑ Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, ‑ рассердилась мама. ‑ Ну, а ты что скажешь? ‑ спросила она Колю.

‑ Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, ‑ сказал Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду.

Кто разбил вазу?

Решение.

Введем обозначения для высказываний:

А = «Коля не бил по мячу» = «¬Коля» = ¬C;

В = «Это сделал Ваня»= «Ваня»;

С = «Разбил Коля» = «Коля»;

D = «Саша не играл в футбол дома» = «¬Саша»;

E = «Ваня не мог этого сделать» = «¬Ваня» = ¬B;

F = «Я сегодня еще не сделал уроки» - не имеет отношения к вопросу «Кто разбил вазу?».

Из условия задачи известно, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду.

Предположим, что солгал первый мальчик, тогда:

A=0B=0C=1D=1E=1F=1.

Поскольку A= ¬C и E=¬B, имеем:

¬C=0, B=0,C=1,D=1, ¬B=1,F=1, – противоречий не получили, этот вариант является решением задачи: ¬B=1,C=1,F=1, осталось лишь вспомнить обозначения:

В= «Ваня», значит: ¬B = не «Ваня»;

C=«Коля»;

F=1 – не имеет отношения к вопросу. Значит, вазу разбил Коля.

На всякий случай рассмотрим два других варианта (когда солгал второй или третий мальчики).

Если солгал второй мальчик, то:

С=0 D=0A=1B=1E=1F=1.

Поскольку A= ¬C и E=¬B, имеем:

C=0,D=0, ¬C=1,B=1,¬B=1,F=1 – получили противоречие: B=1 и ¬B=1, значит, этот вариант нам не подойдет.

Если солгал третий мальчик, то:

E=0F=0A=1B=1C=1D=1.

Заменим: A= ¬C и E=¬B, тогда:

E=0,F=0,¬C=1,B=1,C=1,D=1– получили противоречие: C=1 и ¬C=1, значит, этот вариант нам не подойдет.

Ответ: Коля.

Задание 11.Решение.

Решение задачи сводится с тому, чтобы расположить множества, состоящие из результатов поиска А-Г в порядке возрастания количества элементов. Воспользуемся тем, что логическое умножение для двух множеств равносильно их пересечению, а логическое сложение – их объединению. При этом при пересечении несовпадающих множеств в результате всегда получается множество, меньшее, чем исходные множества, а при объединении – большие, чем исходные (см. Рис. 1 – Рис. 2).

Введем обозначения для множеств и запросов.

Из обозначений запросов видно, что самым маленьким по количеству элементов будет множествоГ (состоит из пересечений четырех множеств K,L,M,N). Самым большим множеством является множество В, т.к. оно состоит из объединений трех множеств K,L и M. Значит, ответ на Задание 11 будет выглядеть так: Г**В. Осталось определить, какие множества (из А и Б) будут стоять на 2 и 3 местах.

Заметим, что множество Бсостоит из пересечений двух множеств K и M, поэтому оно является множеством, меньшим К). Множество А состоит из объединения множества К с пересечением множеств L и M, поэтому А - множество, большее К. Значит, при расположении их в порядке возрастания, получим, что на втором месте в ответе будет стоять Б, а на третьем – А.

Ответ:ГБАВ.

Для какого имени истинно высказывание:

Первая буква имени согласная  (¬Вторая буква имени согласная → Четвертая буква имени гласная):

Какое логическое выражение равносильно ¬(¬X ¬Y)?

Какое логическое выражение равносильно (¬XY) X?

Какое логическое выражение F(A,B) соответствует таблице истинности:

В понедельник в одном из классов должно быть проведено 4 урока – по математике, физике, информатике и биологии. Учителя высказывали свои пожелания для составления расписания. Учитель математики хотел бы проводить первый или второй урок, учитель физики – второй или третий, учитель информатики не второй и не третий, учитель биологии – третий и четвертый. Какой вариант расписания устроит всех учителей? (Обозначения: М – математика, Ф – физика, И – информатика, Б – биология)

X,Y,Z – целые числа, для которых истинно высказывание

(Z<XZ<Y)  (¬Z+1<X)  ¬(Z+1<Y)

Чему равно Z, если X=20,Y=10?

Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на синем «Рено». Джон сказал, что нарушитель ехал на черной «Тойоте», а Сэм сказал, что машина была точно не синяя, и, по всей видимости, это был «Форд». Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Машина какой марки и какого цвета была у нарушителя?

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ |, а для логической операции “И” - &.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/31813-matematicheskie-i-logicheskie-osnovy-informat