О проверке условия равновесия твердого тела относительно различных осей

О проверке условия равновесия твердого тела относительно различных осей

Стандартная формулировка условий равновесия твердого тела, доказывающаяся в школьных учебниках, выглядит следующим образом [1].

Первое условие равновесия. Сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Второе условие равновесия. Сумма моментов всех сил, действующих на тело, взятая относительно произвольной оси, равна нулю.

Если в системе отсутствует жестко закрепленная ось, вокруг которой может вращаться тело, проверка второго условия равновесия в такой формулировке проблематична, поскольку ее требуется произвести для бесконечно большого количества возможных осей. Ниже доказаны два результата, позволяющих обойти эту трудность.

Для формулировки и обоснования дальнейших результатов нам потребуется понятие векторного произведения.

Векторное произведение векторов и – это вектор , определенный следующими условиями:

1), где α – угол между векторами и (отложенными от одной точки);

2);

3) тройка векторов , , является правой (то есть ориентирована в пространстве так же, как оси координатOX,OY,OZ – если отложить их из одной точки и смотреть их конца вектора , поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими простейшими свойствами.

Антикоммутативность: (при перестановке векторов местами меняется направление перехода от к в условии 3, поэтому нужно изменить и направление вектора , из конца которого мы смотрим на этот переход).

Вынесение скалярного множителя: для (это тривиально следует из определения).

Умножение на ноль: (это тривиально следует из определения).

Дистрибутивность: и аналогично для раскрытия скобок справа (разумное доказательство этого свойства требует применения координатного подхода [2] и выходит за рамки данной статьи).

Векторный момент силы относительно заданной точки О определяется следующим образом: , где – радиус-вектор, проведенный из О в точку приложения силы. Отметим, что такое определение не противоречит стандартному для школьного курса определению (скалярного) момента, как произведения силы на плечо, взятого с определенным знаком. Действительно, если α – угол между векторами и , то плечо силы относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой отложены и , как легко видеть, равно , и поэтому , а знак момента положителен в том случае, если тройка , , является правой, и отрицателен в противоположном случае. Моменты относительно других осей мы обсудим ниже.

Предложение 1. Если для тела выполняется первое условие равновесия ( , где – действующие на него внешние силы), то суммарный (скалярный) момент действующих на него внешних сил относительно какой либо оси не меняется от параллельного переноса оси.

Доказательство. Пусть ось параллельно перенесена на вектор . Тогда радиус-векторы точек приложения сил превращаются из в . Вычислим в соответствии с этим новый суммарный векторный момент и преобразуем выражение, пользуясь дистрибутивностью векторного произведения:

(последнее равенство следует из первого условия равновесия). Раз векторный момент при параллельном переносе оси сохраняется, то и скалярный тоже.

Следствие. Если для тела выполняется первое условие равновесия, и суммарные моменты внешних сил относительно любой оси, проходящей через некоторую точку, равны нулю, они равны нулю для любой оси – то есть выполняется и второе условие равновесия.

Лемма. Скалярный момент силы относительно оси, проходящей через точку О, равен проекции на эту ось ее векторного момента относительно точки О.

Набросок доказательства. Для оси, перпендикулярной плоскости, в которой отложены и , выше было доказано, что модуль векторного момента совпадает с модулем скалярного. Направления совпадают по определению векторного момента, поэтому проекция векторного момента на такую ось и будет равна скалярному моменту.

Нам нужно доказать утверждение леммы для других осей. В общем случае это, как и доказательство дистрибутивности векторного произведения, требует координатного метода, поэтому рассмотрим лишь оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной линии действия силы. Пусть β – угол наклона такой оси по отношению к оси векторного момента (в сторону линии действия силы), d – плечо для исходной оси. Тогда для новой оси плечо будет равно , а модуль силы остается прежним. Таким образом, момент относительно новой оси будет равен модулю векторного момента, умноженному на cosβ, что и является проекцией векторного момента на эту ось.

Предложение 2. Пусть для тела выполняется первое условие равновесия. Тогда второе условие равновесия эквивалентно равенству (где векторные моменты можно брать относительно произвольной точки).

Доказательство. Согласно следствию предложения 1, сумма векторных моментов не зависит от выбора точки отсчета. Согласно лемме, для любой проходящей через О оси сумма скалярных моментов относительно этой оси равна сумме проекций векторных моментов на эту ось. Равенство вектора нулю равносильно равенству нулю его проекций на любую ось – поэтому равенство суммарного векторного момента нулю равносильно равенству нулю суммарных скалярных моментов относительно любой оси.

[1] М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. под ред. Г.Я. Мякишева. Физика. Механика. 10 класс. Профильный уровень. М.: Дрофа, 2010.

[2] А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. СПб, БХВ-Петербург, 2010.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/318684-o-proverke-uslovija-ravnovesija-tverdogo-tela