Педагогический проект по математике: развитие логики и культуры мышления в 5-6 классах

Педагогический проект

«Кружковая деятельность по математике в 5-6 классах как пропедевтика предпрофильной и профильной подготовки обучающихся»

Автор проекта: Фокина Маргарита Александровна,

Учитель математики МБОУ « Основная общеобразовательная школа № 2 г.Зубцова» Тверской области.

Срок реализации 2014-2015 г.

1.Анализ исходной ситуации как выявление проблем и противоречий.

Проводимые тестирования обучающихся показывают, что популярность математики в нашей стране в последние годы снижается. В то время как ещё в начале 90-ых годов мы входили в пятёрку лучших стран мира по математической подготовке школьников. Одной из причин этого является формальное отношение к традиционным формам работы со способными учениками. Отсюда несформированность интереса к предмету, низкая мотивация к обучению, неполное удовлетворение потребностей сильных детей в развитии их математических способностей.

Сохранение традиций внеклассной работы улучшит математическую подготовку учащихся. Математический кружок- наиболее распространённая форма внеклассной работы в 5-6 классах. Кружковые занятия представляют большие возможности для развития мыслительной деятельности детей, показывают, что математика- это не скучно, а интересно, красиво и нужно.

В центре внимания программы по математике находится обучение решению школьных задач. При решении задач школьники овладевают конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования. Кроме того формируются качества мышления, характерные для математической деятельности.

Вместе с тем из-за ограниченного количества учебных часов не представляется возможным на уроках показать многообразие тестовых задач и способов их решения. В учебниках этих задач мало и представлены они хаотично. Контрольно-измерительными материалами ЕГЭ и ГИА проверяется умение учащихся решать текстовые задачи. Статистические данные анализа результатов ЕГЭ говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет ежегодно около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод о том, что большинство обучающихся не в полной мере владеют техникой решения задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела математики уже в 5-6 классах не только на уроках, но и во внеклассной работе.

Кружковые занятия по математике в 5-6 классах являются пропедевтикой предпрофильной и профильной подготовки учащихся в старшем звене школы.

Цель проекта:

- способствовать приобщению обучающихся к творческой и исследовательской деятельности, повышению математической культуры и развитию логического мышления;

- определить математические способности учащихся и подготовить к выбору профиля обучения в старшем звене школы;

-создать целостное представление о решении текстовых задач;

-развить интерес учащихся к предмету, сформировать уверенность при решении текстовых задач, поддержать позитивную мотивацию занятий математикой.

Задачи:

- выявить и развить интеллектуальные, творческие способности каждого учащегося в ходе решения задач;

-дополнить и углубить школьный курс математики путём введения дополнительных типов задач и способов их решения;

-знакомить учащихся с историческим материалом;

-развивать умение анализировать ситуацию;

-вовлекать учащихся в игровую деятельность как фактор личностного развития;

-помочь овладеть вычислительными навыками на уровне их свободного использования;

-предоставить учащимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности, реализовать интерес к предмету.

Формы и методы кружковой работы.

Методы: объяснительно-иллюстративный, проблемный, частично-поисковый.

Формы:практимумы по решению задач, беседы по математике, свободные дискуссии по выбору способа решения задач, самостоятельная работа, подготовка сообщений.

Формой итогового контроля могут быть:

-разбор заданий школьной олимпиады, анализ ошибок;

-разбор задач, предлагавшихся в качестве домашнего задания;

-изготовление моделей для уроков математики;

-решение задач, придуманных кружковцами;

-просмотр диафильмов, видеофильмов;

-рассмотрение нескольких способов решения одной задачи, что позволит усилить развивающую функцию задач и дифференцировать работу учащихся.

Планируемые результаты обучения:

-уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности её решения;

-уметь применять полученные математические знания в решении задач прикладного характера;

-уметь использовать дополнительную математическую литературу;

-занятия в кружке помогут учащимся определиться, будут ли они в дальнейшем заниматься предпрофильной и профильной подготовкой, связанной математикой;

-уметь анализировать решение задач, составлять алгоритм своих действий, аргументировать полученные результаты и отстаивать свою точку зрения, работая в группе;

-получить знания, формирующие интерес к предмету, повышающие интерес к обучению.

Инструментарий по концепции:

-анкетирование

-учебный проект (сочинение –эссе).

Содержание

Предлагаемая программа кружковых занятий содержит 4 блока:

-текстовые задачи,

-логические задачи,

-математические ребусы, игры, соревнования,

-геометрические задачи.

Каждый блок направлен на расширение математического кругозора учащихся, углубление и расширение знаний учащихся, воспитание интереса к исследовательской деятельности, развитие исследовательских умений, инициативы, настойчивости, желание доводить начатое дело до конца.

В 1 блоке вводится понятие текстовой задачи, сюжетной задачи, рассматриваются задачи, которых нет в учебнике: например, задачи, решаемые с конца, задачи на переливание, взвешивания, обобщаются и систематизируются ранее полученные знания по решению текстовых задач.

Во 2 блоке вводится понятие высказывания, как предложения, о котором можно сказать-истинно оно или ложно; приводятся примеры; объясняются 2 метода решения задач: с помощью применения таблиц и с помощью рассуждений.

В 3 блоке вводится понятие математического ребуса, изучаются способы разгадывания математических ребусов, проводятся математические игры и соревнования.

4 блок посвящён различным геометрическим задачам ( на разрезание и др.)

Тематическое планирование

Литература.

Фарков А.В. Математические кружки в школе. Москва: Айрис-пресс, 2008.

Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. Москва: Айрис –пресс, 2004

Шейнина О.С., Соловьёва Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. Москва: издательство НЦ ЭНАС, 2003

Руденко В.Н., Бахурин Г.А., Захарова Г.А. Занятия математического кружка в 5-ом классе. Москва: издательский дом «Издатель», 1999

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. Москва: «Просвещение», 1996

Мерлин А.В., Мерлина А.В. Задачи для внеклассной работы по математике (5-11 классы): Чебоксары, 2002

Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 6 касса. СПб.: СМИО Пресс, 2001

Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. Москва: Посев, 2003

Глейзер Г.И. История математики в школе. Москва: Просвещение, 1990

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника математики. Москва: Просвещение, 1982

Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. Москва: Просвещение, 1984

Гусев В.А. Внеклассная работа по математике. Москва: Просвещение, 1984

Приложение № 1:

Решение логических задач

Цель:Формирование у учащихся интеллектуальных способностей, развитие логического мышления, сообразительности, наблюдательности, расширение математического кругозора школьников.

Вступительное слово учителя.

Сегодня мы будем решать необычные задачи- логические. Возможно, некоторые из вас с такими задачами уже встречались.

Задача 1. Как перевести в лодке с одного берега реки на другой волка, козла и капусту, если известно, что волка нельзя оставить с козлом, а козёл «неравнодушен» к капусте? В лодке только два места, поэтому можно брать одновременно или одно животное, или капусту.

Решение с обсуждением. Первым рейсом перевозчик берёт в лодку козла, оставляя на берегу волка и капусту. Вторым рейсом перевозчик берёт с собой волка, оставляя на берегу капусту. Переехав реку, перевозчик оставляет волка на берегу, а козла забирает в лодку и возвращается с ним обратно. В третьем рейсе перевозчик берёт с собой капусту, выгрузив козла. Переехав реку, он оставляет капусту с волком и возвращается за козлом. В четвёртом рейсе он перевозит через реку козла.

Этот пример решения логических задач. В чём их необычность? Когда мы решаем примеры, мы выполняем различные математические действия с числами. Когда мы решаем обычные задачи, мы работаем с понятиями, которые имеют количественное выражение, например: расстояние 100 км, скорость 15 км/ ч, цена 30 рублей за кг и так далее, значит, опять, решая задачи, выполняем действия с числами.

Решая логические задачи, мы работаем не с числами, а с предложениями, которые называются высказываниями. Высказывание-это предложение, о котором можно сказать – истинно оно или ложно. Привести примеры.

Москва –столица России. Солнце есть спутник Земли. Железо – металл.

Существует несколько способов решения логических задач. Мы остановимся пока только на 2-х: способом рассуждений и составлением таблиц.

Решение задач с помощью рассуждений.

Задача 2. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили: «Не я», а Миша – «Не знаю». Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое – неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло?

Решение. Начнём с ответов Пети, Васи и Коли. Так как стекло разбил кто-то один, то среди ответов Пети, Васи и Коли может быть лишь один ложный, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет ответ Миши, так как всего ложных ответов два. Поэтому Миша знал, кто разбил стекло.

Задача 3 для самостоятельного решения. На острове живут два племени – аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит, что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

Решение. Так как ответ встреченного островитянина мог быть лишь «Я – абориген» (это ответ является правдой для аборигенов и ложью для пришельцев), а проводник сказал, что туземец – абориген, то проводник является аборигеном.

Решение задач с помощью таблиц.

Задача 4. Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас русый, другой брюнет, а третий- рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из беседующих?

Решение. Для решения задачи воспользуемся таблицей 3×3. По условию задачи Белокуров не русый, Чернов не чёрный и Рыжов не рыжий. Это позволяет поставить «-» в соответствующих клетках таблицы. Кроме того, по условию, Белокуров - не брюнет, и, значит, в таблице в соответствующей ячейке таблицы также надо поставит знак «-».

Из таблицы следует, что Белокуров может быть только рыжий. Ставим знак «+» в соответствующей клетке. Отсюда видно, что Чернов не рыжий. Обозначим это знаком «-----» в таблице. Теперь ясно, что Чернов может быть только русым, а Рыжов – брюнетом.

Задача 5. Александр, Борис, Виктор, и Григорий –друзья. Один из них –врач, другой – журналист, третий –спортсмен, а четвёртый – строитель. Журналист написал об Александре и Григории. Спортсмен и журналист вместе с Борисом ходили в поход. Александр и Борис были на приёме у врача. У кого какая профессия?

Решение задачи с помощью таблицы.

Так как журналист написал статьи об Александре и Григории, то журналиста звали не Александр и не Григорий. Спортсмена и журналиста не звали Борисом. Так как Александр и Борис были у врача, их профессия –не врач. Поставив соответствующие «-» в клетках таблицы, получаем, что Борис – строитель. Учитывая это, видим, что Александр – спортсмен, Григорий –врач, а Виктор – журналист.

Задача 6 для самостоятельного решения. В одном дворе живут 4 друга. Вадим и шофёр старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по Вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.

Решение: Так как Вадим и шофёр старше Сергея, то Вадим и Сергей – не шофера. Ставим 2 знака «-» в соответствующих клетках таблицы. По аналогии Николай – не слесарь, Антон и Сергей – не токари и не электрики. Таким образом, из таблицы получаем, что Сергей может быть только слесарем, Антон –шофёром, Вадим –токарем, а Николай - электриком.

Решение задач в парах или в группах.

Раздаются карточки с задачами. Каждая задача оценена в баллах.

По истечении 20 минут приступаем к обсуждению задач. Ученики, решившие задачу, выходят к доске (можно в паре) и объясняют своё решение. Остальные дополняют по необходимости и оценивают своё решение в баллах. Учитель, выслушивая решения, корректируют логичность и полноту записи решения.

Задача 1.Коренными жителями острова являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Человек А говорит: «Я – лжец». Является ли он уроженцем острова рыцарей и лжецов? (2 балла)

Задача 2. Из четырёх учеников Антона, Бори, Васи и Гали -один отличник. Кто отличник, если: в тройке Антон, Боря, Вася есть отличник; в тройке Антон, Вася, Галя есть отличник;

Антон – не отличник. (2 балла)

Задача 3. Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек? ( 2 балла).

Задача 4. На острове два города, в одном живут рыцари, говорящие только правду, а в другом – лжецы. Встретились три человека А, В,С.

А говорит: «В –лжец».

В говорит: «А и С из одного города».

Кто такой С? ( 4 балла)

Задача 5. Мачеха, уезжая на балл, дала Золушке мешок , мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила 3 мешка: в одном – просо, в другом –мак, а в третьем ещё не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак», « Просо», « Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла таблички местами так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная записью. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зёрнышко и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала? ( 4 балла)

Решение. Золушка взяла зёрнышко из мешка с надписью «Смесь»; так как ни одна табличка не соответствовала содержимому мешка, то так был мак или просо. Если взятое Золушкой зёрнышко – мак, то в мешке с надписью «Мак» - просо, а в мешке с надписью «Просо»- смесь. Аналогично, если взятое зёрнышко –просо, то в мешке с надписью «Смесь» - просо. Тогда в мешке с надписью «Мак» - смесь, а в мешке с надписью «Просо» - мак.

Задача 6. Учащиеся школы решили организовать инструментальный ансамбль. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится в 9 классе. Ударника зовут не Валерием, а ученика 10 класса зовут не Леонидом. Михаил учится не в 11 классе, Андрей - не пианист и не ученик 8 класса. Валерий учится не в 9 классе, а ударник – не в 11 классе. Леонид играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий и в каком классе он учится? ( 4 балла).

Решение. Инструменты Класс

Задача 7. Разбирается дело Джонса, Смита и Брауна. Один из них совершил преступление. В ходе следствия каждый из них сделал по 2 заявления.

Джонс: «Браун не делал этого. Это сделал Смит»

Смит: «Я не делал этого. Это сделал Браун».

Браун: « Я не делал этого. Джонс не делал этого».

Потом оказалось, что один из них дважды сказал правду, другой –дважды солгал, третий – раз сказал правду, раз солгал. Кто совершил преступление? (6 баллов)

Джонс Смит Браун

Из таблицы следует, что условию задачи удовлетворяет случай 3, когда Джонс оба раза солгал, Смит оба раза сказал правду, Браун раз солгал, раз сказал правду.

Задача 8. Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым, ни последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один –ложью. Кто сказал правду? Кто был первым? ( 6 баллов)

Подведение итогов

Ученики оценивают свои решения в баллах, подписывают листы и сдают учителю.

Приложение 2.

Тема. Решение логических задач с помощью игры.

Цель: Изучение приёмов информационных и символьных моделей логических задач, развитие воображения и логического мышления, приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности.

Решение этих задач разыгрывается в лицах или выполняются рисунки.

Бился Иван-царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым.

Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо 2 головы, либо 2 хвоста. Но если срубить один хвост, то вырастут 2 хвоста; если срубить 2 хвоста, то вырастет голова; если срубить голову, то вырастет новая голова; а если срубить 2 головы, то не вырастет ничего. Объясните, как должен действовать Иван-царевич, Чтобы срубить Змею все головы и все головы и все хвосты как можно быстрее.

Решение. Так рубить головы по одной не имеет смысла, а при рубке хвостов рано или поздно появляются новые головы, то Иван-царевич должен действовать так, чтобы у змея не осталось хвостов, а количество голов стало чётным. Для этого сначала надо три раза срубить по одному хвосту, и их будет 6. Затем 3 раза срубить по 2 хвоста, и у Змея станет 6 голов, а потом 3 раза срубить по 2 головы, и тогда у Змея не останется ни хвостов, ни голов.

Ответ: 9 раз.

Перед Бабой Ягой и Кощеем лежат 2 кучи мухоморов, в одной 100 штук, а в другой 150 штук. Они по очереди берут грибы из куч, за один раз можно взять любое ненулевое число грибов из одной из куч. Пропускать ход нельзя, выигрывает тот, после хода которого грибов не останется. Первой ходит Баба Яга. Кто из игроков выигрывает при правильной игре?

Решение. Победит Баба Яга с помощью следующей стратегии. Каждым своим ходом она уравнивает число грибов в кучках, имеющееся к её ходу.

Задачи мудрецов.

В коробке лежат три пилотки – одна синяя и две красные. Учитель вызывает к доске двух учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому из них на голову пилотку, а оставшиеся прячет в коробку. Ученики открывают глаза, и каждый видит пилотку своего товарища, но не видит своей. Может ли кто-нибудь из них определить цвет своей пилотки?

Рассмотрите два случая:

а) надеты одна синяя и одна красная пилотка;

б) надеты две красные пилотки.

К доске выходят двое желающих разыграть решение задачи в лицах. Учитель надевает им пилотки. Обсуждается решение задачи.

а) Случай тривиальный. Цвет своей пилотки определяет тот, на котором красная пилотка.

б) Обе пилотки красные.

Рассуждения одного из «мудрецов»: я вижу перед собой красную пилотку. Если бы на мне была синяя пилотка, то сидячий передо мной сразу бы догадался, что на нём красная пилотка и сказал бы об этом. Но он молчит, значит на мне не синяя, а красная пилотка.

в) Рассуждения одного из «мудрецов»: если бы на мне была синяя пилотка, то один из сидячих напротив рассуждал бы аналогично случаю б) и догадался бы, что на нём красная пилотка, но он молчит, значит на мне не синяя, а красная пилотка.

Задание на дом. Алёша Попович и Добрыня Никитич по очереди воюют с девятиглавым змеем. Они по очереди ходят к его пещере и отрубают 1,2 или 3 головы. Как начинающему бой Алёше отрубить последнюю голову.

Решение. Рассуждаем с конца. Чтобы победить Алёше, перед последним ударом у змея должно остаться не более 3 голов. Значит, при последнем ударе Добрыни у змея должно быть 4 головы. Тогда срубив любое число голов, Добрыня проигрывает. До этого удара вместе они срубили 5 голов: 2 раза рубил Алёша и 1 раз – Добрыня. Тогда стратегия Алёши будет такой: первым ударом он срубает 1 голову, а вторым, в зависимости от того, сколько голов срубил Добрыня ( Добрыня -1, Алёша -3; Добрыня -2, Алёша -2; Добрыня -3, Алёша -1).

Приложение 3.

Тема: Решение текстовых задач арифметическими приёмами.

Цель:развитие интеллектуальных способностей детей; знакомство с математикой как обширной областью знаний и сферой деятельности; формирование умения внимательно читать условие задачи, правильно записывать решение.

Вступительное слово учителя.

Одно из необходимых умений, которое важно для правильного решения текстовых задач, - это внимательное чтение условия задачи. Решим устно несколько задач.

1). Обычно месяц заканчивается 30 или 31 числом. В каком месяце есть 28 число? (во всех)

2). На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)

3). Горело 7 свечей, 3 погасли. Сколько свечей осталось? (3)

4). Один поезд идёт из Москвы в Санкт –Петербург, а другой из Санкт –Петербурга в Москву. Вышли они одновременно. Скорость первого поезда в 2 раза больше скорости второго. Какой поезд будет дальше от Москвы в момент их встречи? (будут находиться на одинаковом расстоянии).

2. Самостоятельная работа учащихся по решению старинной китайской задачи «Кролики и фазаны»; поиск способов решения.

Задача. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего 6 голов и 30 ног. Сколько кроликов и фазанов в клетке? Задачу следует решить несколькими способами.

Продолжительность работы -10 минут (в тетради или на черновике).

Формы работы: индивидуальная или в парах.

3.Обсуждение способов решения задачи.

Способ1. Метод подбора: 4 кролика, 2 фазана.

Проверка: 1) 2+4=6 (голов)

2) 4×4+2×2=20 (ног)

Замечание. Обычно это первое решение, которое предлагают учащиеся.Учитель подводит детей у тому, чтобы они сами сделали вывод, что это метод подбора ( от глагола подбирать). Всегда ли он удобен при решении задач? (Нет, трудно подбирать, когда число ног и голов выражено большими числами). Найдите другие, более удобные способы решения, оцените его рациональность и трудоёмкость.

Способ 2. Полный перебор вариантов.

Решение. Если бы был 1 кролик, а фазанов -5, то ног у них было бы 14 и т.д. оформим решение в виде таблицы.

Количество Всего

Ответ: 4 кролика, 2 фазана.

При решении задачи устно перебирали возможные варианты, причём сделали полный перебор. Поэтому метод решения задачи можно назвать методом полного перебора вариантов. Удобство решения –достоинство метода, трудоёмкость его недостаток.

Способ 3. Метод предложения.

а) Рассмотрим 1 вариант.

Предположим, что в клетке только кролики. Тогда у них 4×6=24(ноги), т.е. ноги лишние. Т.к. у фазана 2 ноги, то 4:2=2 (фазана). Теперь найдём количество кроликов: 6-2=4 (кролика).

б) Рассмотрим 2 вариант.

Предположим, что в клетке были только фазаны. Тогда у них 2×6=12 (ног), т.е.недостаёт 8 ног, которые принадлежат кроликам (по 2 ноги у каждого).Отсюда, 8:2=4(кролика); 6-4=2 (фазана).

Как можно назвать метод решения задачи? (метод предположения). Он тоже удобен, но трудоёмок. Учитель говорит, что это новый арифметический способ, который в дальнейшем также будет применяться при решении задач.

Способ 4. Решение задач при помощи уравнения.

Пусть было Х кроликов, тогда фазанов было 6-Х. У всех кроликов было 4Х ног. А у фазанов 2(6-Х) ног. Известно, что всего было 20 ног. Составим и решим уравнение.

4Х + 2(6-Х) = 20,

4Х + 12 – 2Х =20,

2Х = 8,

Х=4

Было 4 кролика и 6-4 =2 (фазана). Ответ: 4 кролика и 2 фазана.

Учитель говорит, что в 7 классе будет рассмотрен ещё один способ решения этой задачи. ( При изучении темы «системы уравнений»).

4Задание на дом. Решить задачи.

В банке сидят жуки и пауки. У них голов 105, а ног 668. Сколько жуков и сколько пауков в банке, если у жука 6 ног, а у паука 8 ног?

В читальном зале стоят столы с двумя и пятью ящиками. Всего столов 16, ящиков 50. Сколько было столов с двумя ящиками и сколько с пятью?

Приложение 4.

Тема: Решение текстовых задач на движение арифметическими способами.

Цель: рассмотреть основные виды задач на движение, познакомить учащихся с арифметическими способами их решения.

Вступительное слово учителя.

Среди множества текстовых задач часто встречаются задачи на движение. В них движутся пешеходы, поезда, лодки, машины, самолеты, птицы и т. д. Чтобы вы могли хорошо разбираться в этих задачах и научились их решать, рассмотрим основные виды задач на движение.

Кто именно движется, не важно – ведь от этого план решения не зависит. Поэтому договоримся, что у нас будут двигаться два путешественника – пешеход Антон и велосипедист Никита. Условимся еще, что во всех вариантах задач про Антона и Никиту их скорости будут одни и те же: Антон ходит со скоростью 4 км/ч, а Никита ездит со скоростью 20 км/ч. Для краткости мы не будем повторять эти скорости в условиях задач.

Устное решение задач

Задача. Антон и Никита отправились одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 72 км. А). На какое расстояние они сблизятся за 1 час? За 2 часа? Б). Через сколько часов они встретятся?

4 км/ч20 км/ч

А________________________________________________________________В

Решение.

1). 4 + 20 = 28 (км/ч) – скорость сближения

2). 24 * 2 = 48 (км) – сблизятся за 2 часа

3). 72 : 24 = 3 (ч.) – через 3 часа они встретятся

Ответ: путешественники встретятся через 3 часа.

Задача 2. От места встречи Антон и Никита отправились одновременно в противоположные стороны друг от друга. На какое расстояние они удалятся друг от друга через 2 часа?

4 км/ч20 км/ч

________________________________________________________________

Решение:

1). 4 + 20 = 24 (км/ч) – скорость удаления

2). 24 * 2 = 48 (км) – удалятся друг от друга за 2 часа.

Ответ: на 48 км.

Вывод: при движении навстречу друг другу (при удалении друг от друга) скорость движения (удаления) равна сумме скоростей.

Задача 3. Антон и Никита отправились одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 72 км, и движутся в одном направлении так, что Никита догоняет Антона. А). На какое расстояние они сблизятся за 1 час? За 2 часа? Б). Через сколько часов Никита догонит Антона?

_______________________________________________________

4 км/ч72 км20 км/ч

Так как расстояние между ними каждый час будет уменьшаться, то

1). 20 – 4 = 16 (км/ч) – скорость сближения

2). 16 * 2 = 32 (км) – сблизятся за 2 часа

3). 72 : 16 = 4,5 (ч)

Ответ: через 4,5 часа Никита догонит Антона.

Задача 4. После того, как Никита догнал Антона, они продолжили движение в одном направлении, так что Никита удаляется от Антона. На какое расстояние они удалятся друг от друга за 1 час? За 2 часа?

20 км/ч4 км/ч

__________________________________________________________________

Решение.

Теперь расстояние между ними будет увеличиваться на:

1). 20 – 4 = 16 (км/ч) – скорость их удаления друг от друга

2). 16 * 2 = 32 (км) – удалятся друг от друга за 2 часа.

Вывод: при движении в одном направлении скорость сближения(удаления) равна разности скоростей.

Задачи на движение по реке

В этом случае кроме собственной скорости транспортного средства (лодка, катер, корабль), существует скорость течения реки.

Введем обозначения:

V₁ – собственная скорость, т. е. скорость в стоячей воде

V₂– скорость течения реки

Скорость движения лодки по течению (V) равна сумме скоростей: V=V₁+V₂

Скорость движения лодки против течения (V) равна разности скоростей: собственной скорости (V₁) и скорости течения реки (V₂):V = V₁–V₂

Задача 5. Лодка движется вниз по течению реки со скоростью 5 км/ч. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение.

V₁ = V - V₂; V₁= 5 – 2 = 3 (км/ч)

Ответ: собственная скорость лодки 3 км/ч.

Задача 6. Расстояние между двумя пристанями 5 км. По течению реки лодка проходит это расстояние за 10 минут, а против течения за 15 минут. Определите скорость катера.

Решение:

10 мин. = 1/6 часа; 15 мин = 1/4 часа

1). 5 : 1/6= 5 * 6 = 30 ( км/ч) – скорость катера по течению реки

2). 5 : 1/4 = = 5 * 4 = 20( км/ч) – скорость катера против течения реки

3).V₂ = V – V₁– по течению или V₂ = V₁ – V – против течения

Решение текстовых задач повышенной сложности на движение

Задача 1. Катер проходит некоторое расстояние по озеру за 6 часов, а по течению реки за 5 часов. Сколько времени потребуется плоту, чтобы преодолеть такое же расстояние?

Решение.

Скорость плота равна скорости течения реки. Пусть Х – данное расстояние, тогда х/5 (км/ч) – скорость катера по течению, х/6 – скорость катера в стоячей воде; х/5 – х/6 = (6х – 5х)/30 = х/30 (км/ч) – скорость плота (течения реки); х : (х/30) = 30 (ч.) – время, которое потребуется плоту, чтобы преодолеть такое же расстояние.

Ответ: 30 часов.

2-й способ. Примем все расстояние за 1.

1). 1 : 5 = 1/5 (часть)

2). 1 : 6 = 1/6 (часть)

3). 1/5 – 1/6 = 1/30 (часть)

4). 1 : 1/30 = 30 (часов)

Задача 2. Теплоход от Твери до Астрахани идет трое суток, а от Астрахани до Твери - четверо суток (без остановок). Скольео времени будет плыть плот от Твери до Астрахани?

Решение.

Примем все расстояние за 1.

1). 1 : 3 = 1/3 (часть) пути проходит теплоход по течению за сутки;

2). 1 : 4 = 1/4 (часть) пути проходит теплоход за сутки против течения;

3). 1/3 – 1/4 = 1/12 (часть) пути, удвоенная скорость течения;

4). 1/12 : 2 – 1/24 (часть пути в сутки) – скорость течения;

5). 1 : 1/24 = 24 (дня) – время движения плота.

Ответ: Плот будет плыть 24 дня.

Задача 3. От пристани отчалили одновременно пароход и катер. Оба плыли в одном направлении, первый со скоростью 24 км/ч, а второй со скоростью 15 км/ч. Через 3 часа пути пароход сел на мель. Простояв некоторое время, пароход двинулся дальше и через 7 часов догнал катер. Сколько часов пароход простоял на мели?

Решение:

1). 24 * (3+7) = 240 (км) – всего проплыл пароход, катер проплыл тоже;

2). 240 : 15 = 16 (ч) – был в пути катер;

3). 3 + 7 = 10 (ч) – время движения парохода;

4). 16 – 10 = 6 (ч) – пароход простоял на мели.

Ответ: 6 часов пароход стоял на месте.

Домашнее задание.

Задача 1. Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 часов, а плот за 72 часа. Сколько времени потратит катер на тот же путь по озеру?

Задача 2. Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 часа. Такое же расстояние плот проплывет за 12 часов. Сколько времени затратит лодка на тот же путь: 1) по течению реки? 2) против течения?

Приложение 5.

Темы сообщений, сделанные учащимися на занятиях математического кружка

1). О математических словах.

2). Как измеряли в старину.

3). Как возникли числа.

4). Великие математики древности и средневековья, нашей страны.

5). Проблески талантов юных математиков.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/33751-pedagogicheskij-proekt