Формирование вычислительных навыков у младших школьников на основе рациональных приемов вычислений

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 49 С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ»Г.БЕЛГОРОДА

Формирование вычислительных навыков у младших школьников на основе рациональных приемов вычислений

Составила: Целих Виктория

Николаевна - учитель

начальных классов

Белгород, 2018г.

«Математику уже затем следует учить,

что она ум в порядок приводит»

М. В. Ломоносов

«Самый лучший способ развития памяти

у ребенка - это устный счет»

Л. Пшеничная

Одна из важнейших задач обучения математике младших школьников — формирова­ние вычислительных навыков, осно­вой которых является осознанное использование вычислительных приемов.

Полноценный вычислительный навык характеризуется следующими качествами: правильностью, осознанностью, рациональностью; обобщенностью, автоматизмом и прочностью.

В условиях развивающего обучения система заданий, направленная на усвоение вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности.

Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом.Это связано с тем, что для нахождения результа­та арифметического действия можно пользоваться в качестве теоретической основы различными теоретическими положениями, которые, и приводят к разным приемам вычислений (разным способам вычислений).

Например:

13х 6=13+13+13+13+13+13= 78

13х 6 = (10+3)х6 = 10х6 +3х6=78

3) 13х6 = 13х(2х3)= (13х 2)х3=78

Методика формирования вычислительных навыков.

Вцелях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение того или иного вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал являющийся теоретической основой этого вычислительного приема.

Вычислительные группы приемов.

1. Приемы, теоретической основой которых является конкретный смысл арифметических действий.

К ним относятся: приемы сложения и вычи­тания чисел в пределах 10 для случаев вида а±2, а±3, а±4, а±0; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, приемы умножения единицы и нуля.

Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащих­ся с конкретным смыслом арифметических действий и на основе выполнения операций над мно­жествами.

2. Приемы, теоретической основой кото­рых служат свойства арифметических дей­ствий.

К этой группе относится большинство вычис­лительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида: 53±20, 47 ± 3, 30-6, 9+3, 12-3, 35 ± 7,

40 ± 23, 57±32, 64±18, аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел, боль­ших, чем 100, приемы умноже­ния и деления дляслучаев вида 12 х 5, 5 х 12, 81:3, 18 х 40, 180:20, аналогичные приемы умножения или деления для чисел, больших ста.

Общая схема введения этих приемов оди­накова: сначала изучаются соответствую­щие свойства и на их основе вводятся приемы вычислений.

3. Приемы, теоретической основой которых являются связи между компонентами и ре­зультатами арифметических действий.

К ним относятся приемы для случаев вида: 9 – 7, 24 : 3, 80 : 20, 54 : 18, 9: 3, 0:6.

При введении этих приемов сначала рас­сматриваются связи между компонентами и результатами действий сложения или умножения, а затем на этой основе вводитсявычислительный прием.

4. Приемы, теоретической основой которых является изменение результатов арифмети­ческих действий в зависимости от измене­ния одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (45+19, 612- 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50.

Введение этих приемов также требует пред­варительного изучения соответствующих зависимостей.

5.Приемы, теоретической основой которых являются вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида: а±1, 10+7, 7+10, 17- 10,17 – 7, 67х10, 1200:100, аналогич­ные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросовнумерации.

6. Приемы, теоретическая основа которых — правила.

К ним относятся приемы для двух случаев ах1 и ах0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сооб­щаются учащимся и в соответствии с ни­ми выполняются вычисления.

Заметим, что целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной груп­пе приемов, но и к другой. Например, слу­чаи вида 46+19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической ос­нове, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это и есть реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.

Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы — залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками.

Возможность использования различных теоретических по­ложений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложении 56+19) яв­ляется предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.

Приемы рациональных вычислений

I.Приемы сложения

Рациональные приемы сложенияосновываются на комму­тативном (переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложе­ния, а также на свойствах изменения суммы.

Коммутативный закон сложения. Сум­ма не изменяется от перемены мест слагае­мых.

Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.

Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число

Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится.

Свойство 1.3. Если все слагаемые дан­ной суммы увеличить или уменьшить в од­но и то же число раз, то сумма соответст­венно увеличится или уменьшится во столько же раз.

1) Сложение, основанное на ассоциативном законе:

а) 7+4+8+6+2=7+(8+2)+(4+6)=7+10+10=27

б) 13+18+7+22= (13+7)+(18+22)=20+40=60

в) 73+106+27+204=(73+27)+(106+204)=100+310=410

2)Округление одного или не­скольких слагаемых

Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круг­лых» чисел, а затем соответствующее до­полнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычи­тают из нее.

а)37+49=37+50-1=86

б)198+299=200-2+300-1=500-3=497

3)Поразрядное сложение

При сложении нескольких многозначных чи­сел сначала находят суммы соответствую­щих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частно­сти, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десят­ков, потом — всех единиц, а затем склады­вают полученные суммы.

а) 13+47+29=(10+40+20)+3+7+9=70+19=89

4)Группировка вокруг одного и того же «корневого»числа

Пусть требуется найти сумму 37 + 34 + 29 + 35.

Легко заметить, что все эти числа близ­ки к числу 30, поэтому его считают «корне­вым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

находят сумму «корневых» чисел: 30 х 4 =120, так как в сумме 4 слагаемых;

находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 7+4-1+5=15

II. Приемы вычитания

Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изме­нения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увели­чилось или уменьшилось на некоторое чис­ло, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 2.2. Если вычитаемое увели­чить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.

Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вы­читаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычи­таемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько жераз.

Увеличение или уменьше­ние уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц

142 - 26 = (142 - 2) - (26 - 2) = 140-24 = 116.

Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

585 - 296 = (585 + 4) - (296 + 4) = 589 - 300 = 289

Округление вычитаемого

Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а за­тем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.

а) 506-198=506-200+2=306+2=308

б) 506-208=506-200-8=306-8=298

3) Округление уменьшаемого

102-36=100+2-36=(100-36)+2=63+2=65

402-156=400+2-156=(400-156)+2=246+2=248

4) Разложение вычитаемого на части

371-175=371-170-5=201-5=196

III. Приемы умножения

Все приемы ра­циональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свой­ствах изменения произведения.

Коммутативный (переместительный) закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест множителей.

Ассоциативный (сочетательный) закон умножения. Про­изведение не изменится, если заменить ка­кую-либо группу рядом стоящих множите­лей их произведением.

Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не из­менится, если заменить его суммой произ­ведений данного числа на каждое из этих слагаемых.

а) 15х4+15х6=15х(4+6)=15х10=150

б) 199х4=(200-1)х4=200х4-1х4=800-4=796 (округление при умножении)

Свойство 3.1. Если один из множителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то произведение соответственно увеличит­ся или уменьшится во столько же раз.

Свойство 3.2. Если один из множителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится.

Свойство 3.3. Если два или несколько множителей данного произведения умно­жить или разделить на какие-либо числа, то данное произведение соответственно умно­жится или разделится на произведение этих чисел.

Из рассмотренных свойств изменения произведения вытекают следующие при­емы, позволяющие рационализировать вы­числительный процесс.

Прием 1. Разложение одного из мно­жителей на множители

Один из множи­телей представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последо­вательно умножают второй множитель на эти множители.Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 1.1. Умножение на 4 (8, 16)

Умножение на 4 (8, 16) сводится к двукрат­ному (трехкратному, четырехкратному) ум­ножению на 2.

а)29х4=(29х2)х2=58х2=116

б)29х8=(29х2)х4=58х4=232

с) 29х16=(29х2)х8=58х8=464

Прием 2. Увеличение одного из мно­жителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго мно­жителя во столько же раз

Один из мно­жителей произведения увеличивают в не­сколько раз, второй — уменьшают во столько же раз, а затем находим произве­дение полученных чисел.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 2.1. Умножение четного чис­ла на 15 (25, 35, 45)

Чтобы умножить чет­ное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90).

а) 26 х 15 = (26 : 2) х (15 х 2) = 13 х 30 =390

б) 26 х 25 = (26 : 2) х (25 х 2) = 13 х 50 =650

в) 26 х 35 = (26 : 2) х (35 х 2) = 13 х 70 =910

г) 26 х 45 = (26 : 2) х (45 х 2) = 13 х 90 =1170

Прием 3. Представление одного из множителей произведения в виде частного двух чисел

Один из множителей произ­ведения представляют в виде частного двух чисел, второй множитель умножают на делимое, а затем делят на делитель.

Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 3.1. Умножение на 5 (50, 500)

Чтобы умножить число на 5 (50, 500), до­статочно умножить егона 10 (100,

1 000) и результат разделить на 2.

а) 27х5=27х10:2=270:2=135

б)27х50=27х100:2=2700:2=1350

в)27х500=27х1000:2=13500

Правило 3.2.Умножение на 25 (250, 500)

Чтобы умножить число на 25,(250, 500), достаточно умножить его на 100,

1 000, 10 000) и результат разделить на 4.

а) 28х25=28х100:4=700

б) 28х250=28х1000:4=7000

в) 28х2500=28х10 000:4=70 000

Правило 3.3. Умножение на 125 (1 250)

Чтобы умножить число на 125 (1250), до­статочно умножить его на 1 000

(10 000) и результат разделить на 8.

а)64х125=(64х1000):8=8000
б)64х1250=(64х10000):8=80000
Небольшие изменения приема 3 позво­ляют сформулировать следующее правило умножения на 75.

Правило 3.4. Умножение на 75

Чтобы умножить число на 75, достаточно разде­лить его на 4, умножить частное на 3 и ре­зультат умножить на 100, т.к.

75=100:4 х3

104 х 75 = (104 : 4) х 3 х 100 = 26х3 х100 = 78х100 = 7800

Прием 4. Представление одного из множителей произведения в виде разно­сти двух чисел

Одиниз множителей про­изведения представляют в виде разности двух чисел, второй множитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произве­дений.

Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 4.1. Умножение на 9 (99, 999)

Чтобы умножить число на 9 (99, 999), достаточно увеличить его в 10 (100,

1 000) раз и из полученного результата вычесть са­мо число.

а) 57 х 9 = 57 х 10 - 57 = 570 - 57 = 513;

б) 57 х 99 = 57 х 100 - 57 = 5700 - 57 = 5643

в) 57 х 999 = 57 х 1000 - 57 = 57000 - 57 = 56943

Прием 5. Представление одного из множителей произведения в виде суммы двух чисел

Один из множителей произве­дения представляют в виде суммы двух чи­сел, второй множитель умножают на каждое слагаемое, а затем складывают получившиеся произведения.

Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 5.1. Умножение на 11 (101, 1001)

Чтобы умножить число на 11 (101, 1001), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.

а) 67 х11 = 67 х 10 + 67 = 670 + 67 = 737

б)67х 101 =67 х 100 + 67 = 6700 + 67 =6 767

в)67 х1001 = 67 х 1000 + 67 = 67000 + 67 = 67067

Существуют еще интересные правила умножения двузначных чисел на 11, 101, 99.

Правило 5.2. Умножение двузначного числа на 11

Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его ци­фры и вставить между ними их сумму. При­чем, если эта сумма сама является двузнач­ной, то ее единицы вставляются между ци­фрами данного числа, а десятки прибавля­ются к первой цифре.

Пример.Для нахождения значения произведения 63х11 проделаем следующее

находим сумму 6 + 3 = 9;

раздвигаем цифры числа 63, вставив между ними цифру 9, получим ответ:

63 х 11 = 693.

Пример.Для нахождения значения про­изведения 58 • 11 проделаем следующее:

находим сумму 5 + 8 = 13;

раздвигаем цифры числа 58, вставив между ними цифру 3, десятки увеличиваем на 1 (5 + 1 = 6), получим ответ: 58 • 11 = 638.

Правило5.3.Умножение двузначного числа на 101

Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.

Пример.73х101 = 7373.

Правило 5.4. Умножение двузначного числа на 99

Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующе­му числу приписать его дополнение до 100.

Пример.13х99= 1287.

Прием 6. Умножение чисел меньших двадцати

Чтобы умножить два числа, ко­торые меньше двадцати, достаточно при­бавить к первому единицы второго, к ре­зультату приписать нуль и прибавить про­изведение единиц.

Пример.Для нахождения значения про­изведения16х13 проделаем следующее:

к первому числу прибавляем единицы второго 16 + 3=19;

приписываем к результату нуль и при­бавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6х3 =208.

IV. Приемы деления. Приемы рацио­нальных вычислений для деления основаны на законах умножения и следующих свойст­вах (изменения частного):

Свойство 4.1. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Свойство 4.2. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз.

Рассмотрим приемы, основанные на данных свойствах, позволяющие упростить вычислительный процесс.

Прием 1. Представление делителя в виде частного двух чисел

Делитель пред­ставляют в виде частного двух чисел, делимое умножают на второе число, а затем этот результат делят на первое число.

Данный прием позволяетсформулировать ряд правил.

Правило 4. 1. Деление на 5 (50, 500)

Чтобыразделитьчислона 5(50,500) достаточно умножить его на 2 и результат разделить на 10(100, 1000)

а)165:5=(165х2:10)=330:10=33

б)1650:50=(1650х2:100)=3300:100=33

в)16500:500=(16500х2:1000)=33000:1000=33

Правило 4. 2. Деление на 25 (250). Чтобы разделить число на 25 (250), достаточно умножить его на 4 и разделить на 100 (1 000).

а)1 100 : 25 = (1 100 х 4) : 100 =4400 : 100 = 44

б)11000 : 250 = (11 000 х 4) : 1 000 =44 000: 1 000 = 44

Практически все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений могут освоить учащиеся начальных классов, если учитель постоянно будет проводить соот­ветствующую работу, начиная с I класса.

В методике работы над каждым отдельным приемом предусматривается ряд этапов.

I. Подготовка к введениюнового приема

На этом этапе создается готовность к ус­воению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вы­числительный прием, а также овладеть каждой операцией составляющей прием.

II. Ознакомление с вычислительным примем

На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

Выполнение каждой операции важно сопро­вождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно.

III. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка

Наэтом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы здесь важно предусмот­реть ряд стадий в становлении у учащихся вычислительных навыков.

а) На первой из нихзакрепляется знание приема.

б) На второй – происходит частичное свертывание выполнения операций.

в) На третьей - происходит полное свертывание выполнения операций.

Овладение учащиеся вычислительными навыками достигается в результате достаточного числа тренировочных упражнений.

Важно, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме, чтобы при этом предусматривались аналогии в приемах и в соответствии с ними предла­гались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении.

Список литературы:

Бантова М.А.Система вычислительных навыков.//Начальная школа.-1975 -№10.-с.51-55.

Демидова Т. Е., А.П. Тонких//Начальная школа.-2002.-№2.-с.94-103.

Лавлинскова Е. Ю. Методика формирования навыка устного счета) по системе общего развития Л. В. Занкова)-В.: Панорама,2006.- с.176.

Пшеничная Л.Считай быстрее компьютера/Издание осуществлено за счет средств спонсоров.-1998.-с.120

Узорова О.В. 5500 примеров и ответов по устному и письменному счету 1-4 класс:/Пособие для начальной школы.-К.: ГИППВ,1999.-с.256.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/338336-formirovanie-vychislitelnyh-navykov-u-mladshi