Старинный способ решения задач на сплавы и смеси

Сообщение на методическом объединении математиков

Закусилова Галина Викторовна –

учитель математики

МБОУ СОШ №7 пос. Малокубанский

Новопокровского района

Краснодарского края

2019г

Тема: « СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СПЛАВЫ и СМЕСИ»

Цель: Изучить старинный способ решения задач на славы и смеси и обосновать его.

Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф. Магницкого.

Актуальность: В школьном курсе математики весьма значимое место занимают текстовые задачи, которые по-прежнему вызывают большие сложности у учащихся. Одними из самых сложных задач остаются задачи на проценты, при этом затруднения вызывают даже самые простые задачи на нахождение процента от числа или числа по его проценту. А уж задачи на смешивание растворов и удаление части раствора, не уступают лидерство по сложности никаким другим задачам.

Старинный способ решение задач на смешивание активно использовался в кругу купцов, как наиболее простой в применении. Так же может быть использован и учащимися, с разными математическими способностями. Для детей с высоким уровнем способностей в области математики будет интересным узнать обоснование этого способа. В литературных источниках этот старинный метод имеет различные названия: метод «креста», «рыбки», диагональное решение задач.

Как известно, при составлен уравнения обычно прослеживают содержании е какого–нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т.д.)

Задача.

При смешивании 5%-ного раствора кислоты ,с 40 %-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

На 10 частей 5% -го раствора необходимо взять 25 частей 40%-го раствора. Значит, чтобы получить 140 г 30%-го раствора, нужно смешать 40 г первого (5%-го) и 100 г второго (40%-го) раствора.

Старинная схема решения задач на смешивание:

Задача. Имеется два раствора: первый с процентным содержанием вещества А, равным р%, и второй с процентным содержанием этого вещества, равным q%. В каком соотношении нужно взять данные раствор с процентным содержанием указанного вещества, равным k%?

Для определённости будем считать р <k < q. Смешаем m кг первого раствора и n кг второго раствора, получим раствор массой (m + n) кг. Согласно использованному старинному методу решение задач на смешивание двух растворов составляется следующая схема. Согласно схеме должно выполняться равенство (q –k)/(k – q) = m/n

Докажем, что результат, полученный в ходе использования этого метода, верный метод можно применять при решении задач на смешивание растворов.

Доказательство:

В первом растворе необходимого вещества (0,01рm) кг, а

во втором – (0,01qn) кг.

Значит, в полученном растворе – ( 0,01pm + 0,01qn) кг.

С другой стороны, (0,01k(m+n)) кг

Следовательно, должно выполнятся равенство

0,01pm + 0,01qn = 0,01k(m+n)

pm + qn = qm+ kn

qn – kn = km – pm

n(q – k) = m(k – p)

(q – k)/(k – p) = m/n

Видно, что при решении задачи старинным методом мы получили такой же результат.

Замечание,

Если справедливо неравенство q<k<p,то в процессе решения мы получаем

m/n = (k –q)/(p – k),которое равносильно равенству m/n = (q – k)/(k – p)

Обоснование старинного способа решения задач на сплавы и смеси

Одноко не совсем понятно, почему задача решается именно так. Для того, чтобы ученики пользовались этой схемой сознательно, начнем решение с исследования процесса изменения концентрации. Возмём по 100г каждого раствора и в соответствии с процентным составом разделим их содержимое на кислоту и воду:

воду:

Сравним исходные составы с тем, что должно получиться после смешивания.

В результате сравнивания приходим к выводу, что необходимо 25 г воды в первом растворе заменить кислотой, а 10г кислоты во втором – водой. Так как мы можем оперировать растворами только с данными составами, напрашивается мысль об обмене 10г кислоты из второго раствора на воду из первого.

Результат взаимообмена:

Получили необходимый состав для 100г второго раствора. Но в первом осталось ещё 15 г воды. Которую нужно заменить кислотой. Где её взять? Возникает следующая идея: нужно взять ещё 100г второго раствора, а затем 50г и выполнить те же действия. Окончательный результат выглядит так:

Таким образом, следует, что на каждые 100г первого раствора необходимо взять 250г второго, т.е. в отношении 10:25, обратном соотношению между недостатком и избытком кислот в исходных растворах. После рассмотрения принципа взаимообмена весь процесс можно представить в таком виде:

Теперь в качестве итога проделанной работы вполне естественно появление схемы, предложенной О.Д. Соломатиным.

В заключение хочу отметить, что ценность арифметических способов определяется тем, что они рассчитаны на образное мышление и более соответствуют возрасным особенностям учащихся 5-6 классов.

Задача 2

Морская вода содержит 8% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

Задача3

Сплав олова с медью весом в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?

Задача 4

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/353699-starinnyj-sposob-reshenija-zadach-na-splavy-i