Урок подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе «Решение задач по теории вероятностей»

Урок подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе

«Решение задач по теории вероятностей»

Составил(а): учитель математики

Кривоносова И. Г.

МАОУ «СШ №143 им. Героя Советского Союза Тимошенко А. В.»

г. Красноярск

Время реализации:80 минут

Тип урока: комбинированный.

Форма деятельности учащихся: индивидуальная и групповая.

Дидактический материал:компьютерная презентация, карточки с задачами.

Цели урока:

- обобщить материал по теме «Элементы теории вероятностей»;

- развивать математическое мышление учащихся;

- повысить мотивацию к учебе.

Задачи урока:

образовательные:

- обобщить и систематизировать основные понятия изучаемой темы;

- отработать и закрепить практические навыки решения ключевых задач;

- продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ по математике;

развивающие:

- продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;

- продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;

воспитательные:

- воспитывать коммуникативные компетенции;

- продолжить формирование общей и математической культуры учащихся;

- воспитывать понимание значимости ведущей роли математики в развитии современного общества

Ход урока

Слово учителя:

«Так вообще-то не бывает и по теории вероятностей такого случаться не должно, однако в жизни случается и не такое, в связи с чем ученые изобрели гипотезу, согласно которой законы теории вероятностей неприменимы для разумных существ.» - Антон Антонов, «Пепел наших костров».

Попробуем эти слова опровергнуть и найти решения некоторых практических задач с помощью законов теории вероятности. Итак, по словам Джоджо Мойес («Один плюс один») «Теория вероятности и закон больших чисел утверждают: иногда нужно пытаться снова и снова, чтобы получить желаемый результат. Чем больше пытаешься, тем скорее получится. Или, как я объяснила маме, в сущности, иногда просто надо не сдаваться».

Не будем сдаваться и мы, и проведем итоговый урок по теме «Элементы теории вероятности». Нам предстоит решить разные типы задач по данной теме, ведь задачи на вероятность присутствуют в каждом КИМе ЕГЭ базового и профильного уровней. Таким образом, данная тема весьма актуальна. Задачи выбраны из открытого банка заданий ЕГЭ.

В первой части нашего занятия мы проведем игру, состоящую из двух туров. Прошу вас разделиться на 3 команды и присесть за столы. Сейчас каждой команде нашими волонтерами будут выданы листы с заданиями. Первый тур – устная часть, второй – письменная. Подпишите номер своей команды на выданных материалах. Участники команд обсуждают задания устного и письменного туров, представитель команды дает ответ. Участники команды, занявшей 1 место получает оценку «5», команды, оказавшиеся на втором и третьем местах, получат отметку на балл ниже.

Во второй части занятия, после проведения конкурса, пройдет работа в парах с последующей взаимопроверкой с целью оценить качество подготовки к ЕГЭ по данной теме. Итак, начинаем!

1 тур. Актуализация знаний

Первый тур состоит из 17 вопросов, первые 15 из которых имеют ценность 1 балл. Остальные два требуют содержательного ответа, проиллюстрированного ситуацией из жизни. Команды отвечают на вопросы по очереди. Время обсуждения ответов в группах не более 2 минут. Право ответа на первый вопрос получает 1 команда, в случае неверного ответа или его отсутствия право ответа переходит к 2 команде и так далее.

Приведите примеры событий.

Какие события называются достоверными?

Какие события называются невозможными?

Какие события называются случайными?

Чему равна вероятность достоверного события?

Чему равна вероятность невозможного события?

Чему равна вероятность случайного события?

Дайте классическое определение вероятности.

Приведите пример противоположных событий.

Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

Какие события называются несовместными?

Приведите примеры несовместных событий.

Что называется суммой двух событий?

Какие события называются независимыми?

Что называется произведением независимых событий А и В?

Когда мы используем формулу вычисления вероятности Р(А*В) = Р(А)*Р(В)? (если А и В независимы)

Когда мы используем формулу Р(А+В) = Р(А)+Р(В)? (если А и В несовместны)

2 тур. Решение задач из открытого банка ЕГЭ.

Переходим ко 2 туру, состоящего из 10 задач, имеющих ценность 1 балл за верный ответ и 1 балл за верное пояснение решения, итого – 2 балла за каждую задачу. На решение задач в группе отводится 15 минут. Если ваша команда испытывает затруднения в каком-либо задании, то можете попросить наших волонтеров помочь вам. Право ответа на первый вопрос получает 1 команда, в случае неверного ответа или его отсутствия право ответа переходит к 2 команде и так далее.

Задача 1. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение: Р =18: 80 = 0,225

Задача 2. Вероятность того, что стек­ло мо­биль­но­го те­ле­фо­на разобьётся при па­де­нии на твёрдую поверхность, равна 0,93. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что при па­де­нии на твёрдую по­верх­ность стек­ло мо­биль­но­го те­ле­фо­на не разобьётся.

Решение: Вероятность того, что стек­ло не разобьётся – 1-0,93=0,07

Задача 3. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Задача 4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8*0,8*0,8*0,2*0,2= 0,02048 = 0,02

Задача 5. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

Решение.Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.  

Задача 6. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Или: Вероятность того, что исправен первый автомат (событие А) равна 0,95. Вероятность того, что исправен второй автомат (событие В) равна 0,95. Это совместные независимые события. Вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий, а вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Имеем: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95 + 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975

Задача 7. Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, промахнулся» равна 0,8•0,8•0,2=0,128=0,13

Задача 8. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,3*0,3*0,3= 0,027

Задача 9. В сред­нем из 300 са­до­вых насосов, по­сту­пив­ших в продажу, 60 подтекает. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос подтекает.

Решение.Вероятность того, что слу­чай­но выбранный насос подтекает: 600/300=0,2

Задача 10. В ящике на­хо­дят­ся чёрные и белые шары, причём чёрных в 4 раза больше, чем белых. Из ящика слу­чай­ным об­ра­зом до­ста­ли один шар. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он будет белым.

Решение. Пусть в ящике x белых шаров, тогда черных шаров 3x. В сумме в ящике x+3x = 4x шаров.

Обозначим через событие A «из ящика был вынут белый шар». Число благоприятных исходов для события A равно x. Всего исходов 4x. Получаем значение искомой вероятности: Р = х:4х = 0,25

Итоги игры

Наша игра подходит к концу. Итак, волонтеры подсчитали количество набранных командами баллов: первое место заняла команда №…, второе – команда №…, и третье место присуждается команде №… .

Переходим к самостоятельной работе в парах. Перед вами листочки с задачами. Постарайтесь решить как можно больше задач. После чего вы можете взять ответы с пояснениями, чтобы проверить свои знания. Дома вам предстоит решить 15 задач разного уровня сложности из открытого банка ЕГЭ на сайте Гущина. Ссылки будут прикреплены в электронном журнале в разделе «Домашнее задание». Удачи!

Самостоятельная работа в парах

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Из рай­он­но­го центра в де­рев­ню ежедневно ходит автобус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се окажется мень­ше 20 пассажиров, равна 0,94. Ве­ро­я­тность того, что ока­жет­ся меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Най­ди­те вероятность того, что число пас­са­жи­ров будет от 15 до 19.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Ответы и пояснения на самостоятельную работу

Эти 2 события являются независимыми. Для того чтобы узнать вероятность наступленияхотя бы одного из них, вероятности нужно сложить
P=0,35+0,2=0,55

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15.

Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5 = 0,25.

Рассмотрим события: А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит не пристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

Или:

Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит не пристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Рассмотрим со­бы­тия A = «в ав­то­бу­се меньше 15 пассажиров» и В = «в ав­то­бу­се от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — со­бы­тие A + B = «в ав­то­бу­се меньше 20 пассажиров». Со­бы­тия A и В несовместные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, ис­поль­зуя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), от­ку­да P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим:0,5·0,5·0,5 = 0,125

ПустьA — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела,B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Домашнее задание

Тестирование по теме «Начала теории вероятности. Классическое определение теории вероятности» (первые 15 из списка)

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=166&ttest=true

Тестирование по теме «Начала теории вероятности. Теоремы о вероятностях событий» (первые 15 из списка)

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=185&ttest=true

Примечание

Особую ценность урока вижу в участии и организации учеников класса, интересующихся математикой и подготовленных по данной теме.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/356376-urok-podgotovki-k-egje-po-matematike-v-11-kla