Квадратичная функция

Материалы в помощь учителю математике.

«Квадратичная функция»

Егупова Нина Алексеевна

учитель математики МОУ «СОШ № 13»

г. Серпухова Московской области

Содержание.

Введение…………………………………………………………………….2

Квадратичная функция и её приложения……………………..…..…….. 3

Теоретические сведения о функции……………………………..………..4

Квадратичная функция в экзаменационных заданиях………….....…….7

Графический способ решения квадратных неравенств………….…..….9

Тренировочные задания………………………………………………….10

Квадратичная функция в задачах 2 части экзаменационных работ…..12

Заключение………………………………………………………………..15

Литература………………………………………………………………...16

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

Рене Декарт

Введение.

Для успешной сдачи Государственной итоговой аттестации учащимся 9-х классов нужно иметь представление, знания, определённые навыки (при решении различных задач) из курса предметов «Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика».

Одной из важных тем в модуле «Алгебра» является «Квадратичная функция». Задания на эту тему и её приложений встречаются в обеих частях экзаменационной работы.

При организации подготовки к экзамену следует использовать методическую и справочную литературу, дающую краткую, но исчерпывающую информацию, доступную для любого учащегося (в учебниках «Алгебра» для 7-х, 8-х и 9-х классов различных авторов рассматриваемая тема представлена по-разному, в некоторых даже отсутствует).

Необходимо включать задания из различных сборников в классные и домашние работы. Используя однотипные варианты можно организовывать работу по вариантам, группам. Строить эту работу так, чтобы учащиеся стремились к самостоятельности.

Попробуем выстроить алгоритм повторения темы и выполнения комплекс заданий, который позволит систематизировать и закрепить знания и умения учащихся.

Квадратичная функция и её приложения.

В системе упражнений по изучению того или иного класса функций фундамент, универсальный для любого класса функций, состоит из шести направлений:

графическое решение уравнений;

отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;

преобразование графиков;

функциональная символика;

кусочная функция;

чтение графика.

Это шесть элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной.

Квадратичная функция в школьном курсе изучается с 7-го (в некоторых учебниках с 8-го) класса. Приложениям квадратичной функции уделяется особое внимание. Их можно рассматривать по 4 разделам:

1. Построение и чтение графика квадратичной функции.

2. Решение уравнений и их систем.

3. Решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.

4. Решение квадратных неравенств с параметрами.

К каждому направлению и разделу следует подбирать (взять из сборников, составить самостоятельно) задачи.

Очень важно, чтобы ученики при получении или закреплении знаний, впоследствии могли применять их на практике.

Теоретические сведения о функции.

Две переменные величины связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определённых значений другой. При этом переменная величинаy, значение которой отыскивается по заданным значениям переменнойx, называется зависимой переменной или функцией, а переменнаяx – независимой переменной или аргументом.

Запись:S(t),y(x),f(x)и др.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Способы задания функции:

формулой;

таблицей;

графиком.

Следует особо отметить:

если точка координатной плоскости является точкой графика функции y=f(x), то координаты этой точки при подстановке в формулу функции превращают её в верное равенство (и наоборот);

если график функции y=f(x) построен, то график функции y=f(x+a)+bможет быть получен сдвигом графика функцииy=f(x):

a0 –наa единиц влево;

a0 –наa единиц вправо;

b0 –наb единиц вверх;

b0 –наb единиц вниз.

Свойства квадратичной функцииy=ax²+bx+c, где a,b,c – коэффициенты, a≠0:

Областью определения функции называется множество всех значений независимой переменной (аргумента):D(y) = (-∞ ;+∞).

График квадратичной функции – парабола с вершиной в точке с абсциссой x_в=,

направленная ветвями вверх, если a0,

направленная ветвями вниз, если a0.

Областью значений функции называется множество всех значений зависимой переменной (функции):

E(y)=(y_в;+∞), при a0,

E(y)=(+∞;y_в), при a0, где y_в – ордината вершины параболы.

Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Например, если x₂x₁, то y(x₂)y(x₁).

Функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.Например, если x₂x₁, то y(x₂)y(x₁).

Функция называется чётной, если противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, т.е.y(-x)=y(x).График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Экстремумы функции:

точка максимума;

точка минимума.

Такое количество непростой теоретической информации не все учащиеся могут усвоить в полном объёме, который не требуется для выполнения заданий первой части. Помочь им можно, научив пользоваться дополнительным справочным материалом, например, следующей таблицей.

Напомним, что y=ax²+bx+c – квадратичная функция, где a,b,c – коэффициенты, a≠0;D=b²-4ac – дискриминант квадратного трёхчленаax²+bx+c.

Частое использование наглядного материала для практического решения задач приводит к постепенному запоминанию основных теоретических знаний.

Рассмотрим примеры экзаменационных заданий, в решении которых необходим вышеизложенный материал.

Квадратичная функция в экзаменационных заданиях.

Н аиболее распространённое – это на установление соответствия между графиками функций и формулами, которые их задают:

Из предложенных функций выбрать соответствующую графику на рисунке:

Указать номер рисунка с графиком, соответствующего указанной функции:

Указать значение a,bилиcпо графику квадратичной функции, изображённому на рисунке:

Установить соответствие между графиками и знаками коэффициентов aиc:

По изображённому графику квадратичной функции выбрать соответствующие знаки коэффициентов a и c:

Графический способ применяем при решении квадратных неравенств. Отметим 5 основных этапов:

Вводимy=ax²+bx+c.

Определяем направление ветвей параболы.

Находим нули функции, т.е. решаем уравнениеy=ax²+bx+c=0.

В соответствии со значением дискриминанта делаем вывод (см. таблицу):

D0: уравнение имеет 2 корня, то отмечаем их на координатной прямой и схематически изображаем параболу в соответствии с направлением ветвей.

D= 0: уравнение имеет 1 корень (вершина параболы), то отмечаем его на координатной прямой и схематически изображаем параболу в соответствии с направлением ветвей.

D0: уравнение не имеет корней, то схематически изображаем параболу в соответствии с направлением ветвей, учитывая, что парабола с осьюOx общих точек не имеет.

Находим решение неравенства с учётом смысла знака неравенства и ОДЗ.

Пример: решите неравенство .

Решение.

.

−1, ветви направлены вниз.

:x=1 и x=-3.

.

Учитываем знак неравенства.

Ответ:

Приведённые ниже задачи требуют осмысления, творческого подхода в процессе поиска их решении, а не типового «натаскивания».

Тренировочные задания.

Квадратичная функция в задачах 2 части экзаменационных работ

Решение.

Решение

Решение.

Эти задания направлены на проверку владения алгебраическими знаниями, умения решить комплексную задачу, включающую в себя элементы из разных тем, умения математически грамотно и точно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения, обоснования, владения большим запасом приёмов и способов рассуждений.

Считаю более продуктивной подготовкой к решению 2-й части – прорешивание заданий, взятых из разных сборников, открытых банков, типовых тестов книг и интернета. Такие задания будут способствовать формированию математического мышления, графического языка.

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.

Г. Цейтен

Заключение.

Успешно сданный экзамен – результат регулярных занятий математикой в течение всего времени обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих проблем.

Представленная разработка может послужить дополнением к традиционным урокам, для работы на факультативах, для дифференцированного обучения, а также в качестве домашних заданий, в том числе индивидуальных.

Уверена, что данная подготовка придаст учащимся уверенность в успешной подготовке к экзамену и его сдачи, закрепит их математические знания, которые пригодятся и при дальнейшем образовании.

Литература:

ГИА-2014. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов, под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. М.: Издательство «Национальное образование», 2013.

ГИА. Математика. Типовые тренировочные задания. 9 класс. С.С. Минаева, Л.О Рослова. М.: Издательство «Экзамен», 2013.Серия «ГИА. Тематическая рабочая тетрадь»

УМК. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2014: учебно-методическое пособие под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион,2013.

Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.- М.: Просвещение, 2011.

Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы. - М.: АРКТИ, 2001.

ГИА 2012. Математика. Сборник заданий. 9 класс. М.Н. Кочагина, И.И. Кочагин. – М.: Эксмо, 2012.

Алгебра. Нестандартные задачи. Экспрес-репетитор для подготовки к ГИА. 9-й класс. Г.В. Сычёва, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев. – М.:АСТ: Астрель; Владимир: ВКТ,2011.

Функции и графики в 8-11 классах. Ромашкова Е.В. – М.: ИЛЕКСА, 2011. Учебное пособие. А.В. Семёнов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И. Захаров, под ред. И.В. Ященко. МЦНМО. – М.: Интеллект-Центр, 2013.

ГИА выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2014.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/36056-kvadratichnaja-funkcija