Исследовательская работа «Полярные координаты»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №47»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему:

«ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ »

Выполнили:

ученики 10 класса

Чугаев Егор Андреевич

Полканов Владислав Алексеевич

Руководитель:

учитель математики

Карнишина Валентина Ивановна

Пермь 2019

Оглавление

Введение......................................................................................................................3

Полярная система координат 4

Графическое представление.................................. 4

История создания........................................................................................................5

Прямоугольная система координат на плоскости....................................................6

Связь между декартовыми и полярными координатами7

Уравнения кривых в полярных координатах7

Решение задач…………………………………………………………………..........8

Заключение.10

Использованная литература......................................................................................11

Приложения................................................................................................................12

Введение

Точке на плоскости соответствуют ее координаты. Не всегда удобно и рационально использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие системы. Например, полярная. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи, получить желаемую наглядность результата.

Именно полярная система координат будет объектом исследования в данной работе. Данная тема актуальна, т.к. не изучается в школьной программе, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Различные кривые, построенные в такой системе, имеют большое применение на практике.

Цель работы: изучение полярной системы координат; ознакомление с некоторыми кривыми, построенными в этой системе; приобретение навыков решения простейших задач в полярной системе координат.

Задачи:

изучить основную теорию полярной системы координат;

сравнить полярную систему координат с декартовой;

рассмотреть основные кривые и их применение в жизни;

научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат.

Полярная система координат (рис. 1,2) – двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначаетсяr) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ (фи), равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку. Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Графическое представление

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r и φ. Координата r соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0°.

Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное; в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное. Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом 2π =360°.

История создания

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов.

Прямоугольная система координат на плоскости (рис. 3, 4)

Прямоугольная система координат – прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y.

Координатаx равна длине отрезка OB, координата y – длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. ОтрезкиOB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. При этом координате x приписывается знак минус, если точка B лежит на луче OX' (а не на луче OX, как на рисунке). Координате y приписывается знак минус, если точка C лежит на луче OY'. Таким образом, OX' и OY' являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось). Осьx называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Координата x называется абсциссой точки A, координата y – ординатой точки A. Символически это записывают так: A(x,y) или A = (x,y) В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно – например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).

Четыре угла (I,II,III,IV), образованные осями координат X'X и Y'Y называютсякоординатными углами, четвертями или квадрантами плоскости.

Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.

Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.

Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты

Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Связь между декартовыми и полярными координатами

Полярные координаты r и φ можно перевести в декартовы координатыx и y путем применения тригонометрических функций синуса и косинуса (при этом предполагается, что нулевой луч полярной системы координат совпадает с осью x декартовой системы):

r² = y² + x²,

φ = arctg y/x; x ≠0;

в то время как декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярные координаты r и φ следующим образом:

x = r cos φ,

y = r sin φ.

Уравнения кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль.

1. Окружность в полярной системе (рис. 5).

Общее уравнение окружности с центром в (r_0,θ) и радиусом a имеет вид:

r² – 2rr₀ cos(φ- θ) + r₀² = a².

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например: r(φ) = a является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусомa.

2. Полярная роза (рис. 6).

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

r(φ) = acos(kφ + θ)

для произвольной постоянной θ (включая 0). Если k – целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k – рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться.

Практическое применение розы.

В различных областях науки и техники

Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ (рис. 9).

В математическом дизайне и архитектуре малых форм.

С помощью выращенных цветов, различных кривых в полярных координатах и графических редакторов можно сделать например различные рисунки, рамки-орнаменты, или украсить ими различные предметы (рис. 10).

В военном деле.

Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y) (рис. 8).

3. Спираль Архимеда (рис. 7).

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

r(φ) = a + bφ.

Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметраb – расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали.

Практическое применение спирали

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов(рис. 11).

В автомобильной технике архимедовы винты могут применяться вместо колес. Принцип движения шнекороторного вездехода прост. При вращении они отталкиваются от кашеобразной или жидкой субстанции, по которой движется вездеход, и продвигают его вперед (рис. 11).

Решение задач

1. Задача на перевод координат из полярной в декартову систему и наоборот.

Возьмём точку в декартовой системе координатA(4;3).

Воспользуемся формулами по переводу в полярную систему координат:

r² = y² + x²,

φ = arctg y/x; x ≠ 0;

И получаем, что r² = 3² + 4²,r=5.

φ = arctg ¾, φ = 0.64 πrad

A(5;0.64π )

Теперь переведем из полярной системы в декартову

Возьмем точку M(5; 5/6 π)

x = r cos φ,

y = r sin φ.

С помощью этих формул найдем абсциссу и ординату точки:

x = 5 cos(5/6 π), x ≈ -4,3,

y = 5 sin(5/6 π), y = 2,5.

2. Построение лемнискаты Бернулли

Рассмотрим уравнение кривой в декартовой системе координат:

(x² + y²)² = 2c² (x² – y²).

Переведем в полярную систему с помощью формул

x = r cos φ,

y = r sin φ.

(r² cos² φ +r² sin²φ)²= 2c² (r² cos² φ – r² sin²φ).

Получим:r² = 2c²cos2φ.

Построим эту кривую.

Дальше точки симметричные.

Как мы можем заметить, в уравнении полярной системы происходят более легкие подсчеты, чем в декартовой.

Это уравнение лемнискаты Бернулли. Плоская алгебраическая кривая. По форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности (рис. 12).

Заключение

В данной работе мы исследовали полярную систему координат на плоскости.

Рассмотрели связь между декартовыми и полярными координатами, а так же уравнения линий в полярных координатах

Научились: переводить координаты одной системы в другую и наоборот, решать задачи на построение сложных кривых и узнали, как они используются в жизни.

Узнали что в полярной системе координат, в отличие от прямоугольной, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением.

Использованная литература

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли

2. http://mathprofi.ru/poljarnye_koordinaty.html

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Полярная_система_координат

4. https://infourok.ru/proekt-na-temu-zamechatelnie-krivie-3010763.html

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямоугольная_система_координат

6. https://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agpsk

Приложения

рис. 1
рис. 2 рис. 3

рис. 4 рис. 5 рис. 6

рис.7 рис. 8 рис. 9

рис. 10 рис. 11

рис. 12

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/363332-issledovatelskaja-rabota-poljarnye-koordinaty