Опорный конспект по теме «Квадратные уравнения»

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

3x² + 2x – 5 = 0.

Здесьа = 3, b = 2, c = –5.

Числаa, b и c–коэффициенты квадратного уравнения.

Числоaназываютпервым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x² + 10x – 11 = 0

x² – x – 12 = 0

x² – 6х + 5 = 0

здесь коэффициент при x² равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называютнеполным квадратным уравнением.

Примеры неполного квадратного уравнения:

-2x² + 18 = 0

здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

x² – 5x = 0

здесьа = 1,  b = -5,  c = 0 (поэтому коэффициент c  в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D = b² – 4ac.

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

             –b ± √D
х_1,2 = —————.
                  2а

Пример: Решить квадратное уравнение 3х² – 5х – 2 = 0.

Решение:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а = 3, b = –5, c = –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b² – 4ac = (–5)² – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

           –b + √D            5 + 7          12
х₁ = ————— = ———— = —— = 2
               2а                    6              6

          –b – √D             5 – 7              2             1
х₂ = ————— = ———— = – —— = – ——.
             2а                     6                  6             3

                                       1
Ответ:х₁ = 2,  х₂ = – ——.
                                       3

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

Формула №1:

        -b ± √D
x = ————,  где D = b² – 4ac.
             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант - это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0 , то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0 , то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x² + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b² – 4ac = 7² – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         -b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x₁ = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

         -7 – 1       -8       -1         1
x₂ = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

                        1                   1
Ответ:x₁ = – —,    x₂ = – —
                        4                   3

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

     -k ± √D₁
x = ————,   где D₁ = k² – ac
            a

Пример. Решим уравнение 5x² – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k² – ac = (-8)² – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

     -k ± √D₁       - (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                    5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x₁ = ——— =  — = 3
            5            5

         8 – 7         1
x₂ = ——— =  — = 0,2
             5           5 

Ответ:x₁ = 3; x₂ = 0,2.

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/364671-opornyj-konspekt-po-teme-kvadratnye-uravnenij