Решение стереометрических задач на ЕГЭ методом координат

Содержание

Тема1 Матрицы и опреации над ними (6 часов) Дать определение матрицы, обозначение и виды матриц. Дать определение и правила вычисление определителя второго и третьего порядка. Правила вычисления определителя – разложением по строке. Минор и алгебраические дополнения.

Тема 2. Решение систем линейных уравнений (12 часов) Можно вспомнить методы решение систем из школьной программы, в частности метод сложения, что будет необходимо при решении систем по методу Гаусса. Показать решение систем методом Гауса и отработать этот метод. Научиться решать системы методом Крамера, сравнить резельтаты решения системы двумя методами. Самопроверка. Возможные темы проектов- составление программ по решению систем уравнений этими методами.

Тема 3. Векторное произведение (6 часов) Ввести определение векторного произведения. Обрать внимание на его геометрический смысл . отработать навык вычисления нормали к плоскости, разложением по строке определителя третьего порядка. Решать разнообразные задачи на вычисление угла между плоскостями, прямой и плоскостью. Проекты – моделирование и решение задач в программе «Автограф»

Тема 4. Смешанное произведение векторов (2 часа) Определение смешанного произведения векторов. Свойства смешанного произведения. Решение задач на вычисления объемов многогранника, определения расстояния от точки до плоскости.

Тема 5 Уравнение плоскости (10 часов ). Вывод уравнения плоскости. Использования уравнения для нахождения расстояния от точки до плоскости. Решения задач двумя способами – через объем фигуры и по формуле расстояния, сравнение результатов (самопроверка). Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач из материалов ЕГЭ. Практикум и моделирование задач в программе «Автограф».

Защита проектов.

Опорный конспект

Векторное произведение векторов

Позволит вычислить координаты нормали к плоскости

1. позволяет решать задачи на определение угла между прямой и плоскостью.

2. определять угол между двумя плоскостями.

Является составной частью для вычисления объемов многогранника

d ef: Три некомпланарные вектора взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден, совершающимся против часовой стрелки.

Используем таблицу векторного произведения векторовi,j,k

Перемножив и сгруппировав – получаем:

(1)

Рис.1

П ример: Дана четырехугольная пирамида ABCDS, каждое ребро которой равно √2. Найти угол между высотой AH , грани ADS и плоскостью MND, где MN средняя линия треугольника BCD. Рис.1

Задачи:

( из ЕГЭ)В прямоугольном параллелепипедеABCDA1B1C1D1 у которого АВ =6, ВС=6.. СС1 =4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1 (рис.2)

Рис 2.

Рис.3

( из ЕГЭ)В правильной четырех угольной пирамиде SABCD. Все ребра которой 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD. (рис.3)

Решеные примеры помогут справиться с домашними работами или изучать тему самостоятельно

Векторное произведение векторов в координатах

выражается формулой:

в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов, причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Согласно свойствам определителя, если в определителе две строки переставить местами, то он сменит знак. Этот факт полностью соответствует свойству антикоммутативности векторного произведения. 

Пример 1

Найти векторное произведение векторов  и его длину.

Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), а во-вторых – его длину.

1) Найдём векторное произведение:

В результате получен вектор , или, ещё можно записать .

Существует очень хороший способ проверки: как следует из определения, вектор  должен быть ортогонален векторам . Ортогональность векторов, как мы разбирались, проверяется с помощьюскалярного произведения:

Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя.

2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора.

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения

Даны векторы . Найти  и вычислить .

Пример 2 ( геометрический смысл векторного произведения)

Даны вершины треугольника . Найти его площадь.

Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:

Ответ:

Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами – было не обязательно выбирать стороны. Решение также допустимо провести через векторы  либо. Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное.

Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить , то получим противоположно направленный вектор , но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в примере №1 поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор.

Пример 3

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Это пример для самостоятельного решения.

Пример 4:

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы  коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы  не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Значит,

Ответ: а) не коллинеарны, б)

Учебный план.

Литература

Для учащихся:

Звавич Л.И., Чинкина М.В.. Шляпочник Л.Я. Дидактические материалы. Геометрия 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Дрофа, 2013.

( есть в библиотеке ГОУ № 533)

Информационное обеспечение

Зив Б.Г. Геометрия 10-11 класс.- Санкт – Петербург: СМИО, Пресс 2011.

Вольфсон Г.И.В координатах.учебное пособие для учащихся 10-11 классов. - Санкт-Петербург: СМИО Пресс, 2013г.

Атанасян Л.А, Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику.10 класс, 11 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: ВИТА. Пресс 2011.

Жигулев Л.А, Е.Ю. Лукичева. Математика. Программы. Разработка уроков. Методические материалы.- СПб.: СМИО Пресс, 2010.

Лукичева Е.Ю. Элективные курсы. Математика.- СПб.: Изд-во Просвещение, 2011.

Ершова А.П., Голобородько В.В. Устная геометрия. 10-11 классы. - М.: ИЛЕКСА, 2010.

Зив Б.Г. Стереометрия. Устные задачи. 10-11 классы. - СПб.: ЧеРо-на-Неве, 2012.

Смирнов В.А. Геометрия. Планиметрия: пособие для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2014.

Интернет-источники:

Власова А. П., Евсеева II.В. Математика. 50 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. URL: http://www.ast.ru/author/195966/

Высоцкий И.Р. Вопросы и ответы. Апелляция. URL:http://schoolmathematics.ru/apellyaciya-ege-voprosy-i-otvety-vysockij-i-r

Глазков Ю.А., Корешкова Т.А. Математика. ЕГЭ. Методическое пособие для подготовки. 11 класс. Сборник заданий. URL:http://www.seklib.ru/ege-matematika/posobiy-ege/161-posobie-ege-glazkov.html

Корянов AT. Математика. ЕГЭ 2010.Задания типа С1-С5. Методы решения. URL: http://www.alleng.ni/d/math/math468.htm

URL:http://www.alleng.ru/d/math/math427.htm

Лысенко Ф.Ф: Математика. Тематические тесты. Геометрия, текстовые задачи. URL: http://www.alleng.ru/d/math/math450.htm

Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. ЕГЭ. Учебно-методический комплекс 2 Математика; Подготовка к ЕГЭ. Решебник. Математика. URL: http://www.alleng.ru/d/math/math574.htm

Мордкович А.Г., Глизбург В.И., Лаврентьева 11.10. ЕГЭ. Математика. Полный справочник. Теория и практика. URL:http://4ege.ru/matematika/620-polnyj-spravochnik-po-matematike-k-egye.html

Онлайнтесты: URL: http://uztest.ru/exam, URL: http://egeru.ru

Открытый банк задач ЕГЭ. URL: http://mathege.ru

Сергеев И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С. URL: http://hb.mexmat.ru/books/47044

Шестаков С: А., Гущин Д.Д. ЕГЭ 2010. Математика. URL:http://booki.ucoz.ru/load/abiturientu/matematika/egeh_2011_matematika_zadacha_bl 2_ra bochaj a_tetrad_shestakov_s a_gushhin_d_d/11 -1-0-104

Электронные ресурсы:

Презентации к урокам. Жигалова С.И.

http:lliho.spb.ru/iumk2

программа «АвтоГраф»

Сайт Жигаловой С.И https://sites.google.com/site/saitmatematika/

сайт для самообразования и онлайн тестирования: http://uztest.ru/

досье школьного учителя математики: http://www.mathvaz.ru/

Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/366334-reshenie-stereometricheskih-zadach-na-egje-me