Технология решения финансово математических задач в рамках подготовки к ЕГЭ (профильный уровень)

Р ешение задач на дифференцированные платежи по кредиту

Обозначения:

S – сумма кредита

n – срок кредитования (год, месяц)

r – процентная ставка по кредиту (%)

П – переплата по кредиту (общая сумма процентов)

В –сумма выплат по кредиту (сумма процентов и основной долг всего)

Особенности:

При дифференцированной форме платежа, ежемесячный (годовой) взнос формируется из суммы основного долга, которая постоянна, и суммы начисленного на остаток основного долга, процента, который уменьшается в каждом следующем периоде!

Основные формулы:

-формула убывающей арифметической прогрессии

-сумма выплаты основного долга за каждый месяц (год)кредитования

– долг уменьшается каждый кредитный период (месяц, год) равномерно

– сумма процента за каждый период (месяц, год). Если сложить все суммы процентов, то получим П – переплату по кредиту.

сумма долга по кредиту с учетом начисленных процентов за каждый период (месяц, год)

–

размер выплаты по кредиту за каждый период (месяц, год). Если сложить все выплаты, то получим

В - общую суммы выплат по кредиту.

С помощью этих выражений формируется математическая модель для решения задачи! Что является ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ условием для получения максимального балла за задание!

Формулы (Можете использовать их для быстрой проверки результата решения!)

кредиту

Пример решения задачи:

Задание 17 № 510103

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

r - ?(%), n – 19, S₀ – сумма кредита

Пусть начальная сумма кредита равна S₀, тогда переплата за первый месяц равна  По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной  , и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

Ответ: 3.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

В условиях нашей задачи получаем:   откуда для n = 19 находим r = 3.

Доказательство формул немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С)., За­да­ния 17 (С4) ЕГЭ 2015

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/380481-tehnologija-reshenija-finansovomatematichesk