Тайна золотого сечения: от раковины улитки до галактики на внеклассном занятии

Золотое сечение

Чувствам человека приятны объекты, обладающие правильными пропорциями.

Святой Фома Аквинский (1225—1274)

Что общего имеют такие, казалось бы, не связанные друг с другом природные явле­ния, как расположение семян подсолнечника, элегантная спираль раковины улитки и форма Млечного Пути? Какой универсальный геометрический принцип скрыт в работах великих художников и архитекторов от Витрувия до Ае Корбюзье, от Ле­онардо да Винчи до Сальвадора Дали? Как бы это невероятно ни звучало, ответом

2

—1,6180339887.

Далее в этой главе мы увидим, как это математическое выражение было получено, но стоит признать, что, по крайней мере на первый взгляд, «божественное сечение» не выглядит особенно впечатляющим. Наметанный глаз, однако, сразу заметит что- то подозрительное, раз появился квадратный корень из пяти. Этот корень обладает рядом свойств, которые дали этому числу, как и многим другим подобным, странное название «иррациональных». Иррациональные числа — это особые числа, на кото­рых мы также подробно остановимся.

Давайте попытаемся подойти к золотому сечению геометрически, чтобы найти его предполагаемое божественное свойство. Для этого построим прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой; получится прямоугольник, в котором соотношение сторон представляет собой золотое сечение (точнее, его приблизительное значение). Вот что у нас получится:

Прямоугольник с таким соотношением сторон называется «золотым». На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее давайте проделаем простой эксперимент с двумя кредитными картами. Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на од­ной линии:

Если в горизонтальной карте мы проведем диагональную линию и продолжим ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты — приятная неожиданность. Проделав этот эксперимент с двумя книгами одинакового размера, а именно с учебниками или книгами карманного формата, мы получим, вполне вероятно, тот же результат. Это свойство является характерным для двух «золотых» прямоугольников одинакового размера. Многие повседневные прямоугольные объекты созданы с таким соотношением размеров. Случайность? Может быть. Или, возможно, такие прямоугольники и другие геометрические фор­мы, использующие золотое сечение, по каким-то причинам особенно приятны глазу. Согласившись с этим предположением, мы разделим мнение величайших художни­ков и архитекторов. Об этом мы подробнее расскажем в четвертой главе. Не слу­чайно в математике золотое сечение принято обозначать греческой буквой фи (Ф), первой буквой имени Фидия, знаменитого древнегреческого архитектора.

Золотой» мир

Много написано об этой самой загадочной улыбке в истории искусства, но мы по­пробуем предложить математическое решение этой загадки. Давайте посмотрим, что произойдет, если наложить несколько «золотых» прямоугольников на изобра­жение лица прекрасной Моны Лизы:

Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако мы можем быть вполне уверены, что флорен­тийский гений придавал большое значение связи между эстетикой и математикой.

Мы еще вернемся к этому вопросу, а пока только заметим, что Леонардо делал иллюстрации к математической книге DeDivinaProportione («О божественной про­порции»), написанной его хорошим другом Лукой Пачоли.

Давайте теперь обратимся к архитектуре, вершине прикладного искусства. Если зо­лотое сечение и вправду создает некую гармонию во всех ее проявлениях, то, возможно, мы увидим это в геометрических формах самых известных в мире зданий. Хотя немного рискованно настаивать на таком заявлении. Золотое сечение действительно появляется во многих замечательных архитектурных творениях на протяжении всей истории чело­вечества, таких как Великая пирамида или некоторые знаменитые готические соборы, но очень часто его присутствие практически незаметно. Тем не менее в некоторых случа­ях это вполне очевидно. Например, различные элементы фасада Парфенона, всемирно известного шедевра Фидия, представляют собой «золотые» прямоугольники.

Секрет розы

Связь золотого сечения с красотой — вопрос не только человеческого восприятия. Похоже, сама природа выделила Ф особую роль, когда дело касается предпочтения одних форм другим. Чтобы понять это, нам придется углубиться в свойства золотого сечения. Возьмем уже знакомый «золотой» прямоугольник и впишем в него квадрат, стороны которого равны ширине нашего прямоугольника. В результате мы получим

новый «золотой» прямоугольник. Повторим эту процедуру несколько раз, как по­казано на следующем рисунке:

Теперь в каждом из квадратов мы проведем дугу, как показано на рисунке ниже. Радиус каждой дуги равен длине стороны соответствующего квадрата. В результа­те наш рисунок будет выглядеть следующим образом:

Эта элегантная кривая называетсялогарифмической спиралью. Она вовсе не яв­ляется математическим курьезом наоборот, эта замечательная линия часто встречается в физическом мире: от раковины наутилуса...

... до рукавов галактик...

...ив элегантной спирали лепестков распустившейся розы.

На примере королевы цветов мы вступаем в другую область, где тоже господству­ет золотое сечение: мир растений. Присутствие золотого сечения здесь неочевидно и требует введения нового математического понятия: последовательности Фибоначчи. Эта последовательность чисел, описанная итальянским математиком в XIII веке, на­чинается с двух единиц, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Вот первые пятнадцать чисел этой бесконечной последовательности:

1,1, 2, 3, 3, 8,13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377, 610.

Частное от деления любого числа последовательности на предшествующее ему число будет стремиться к Ф, давая все более точное значение для каждого следующего числа последовательности. Покажем это:

1/1 = 12/1 = 23/2 = 1,5 5/3 = 1,666...

8/5 = 1,6 13/8 = 1,625 21/13 = 1,615348...

34/21 = 1,61904...

55/34 = 1,61764...

89/55 = 1,61818...

144/89 = 1,61797...

Ф =1,6180339887...

Для сорокового числа последовательности частное совпадает с «золотым» числом с точностью до четырнадцатого десятичного знака. Связи между золотым сечением и числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны, позже мы рассмотрим их более подробно. Достаточно отметить, насколько невероятна эта связь между абстрактным царством чисел и физической реальностью.

Чтобы показать это, мы рассмотрим еще один цветок, внешне сильно отличаю­щийся от розы, — подсолнечник с семенами:

Первое, что мы видим, — семена расположены по спиралям двух видов: по ча­совой стрелке и против часовой стрелки. Если мы посчитаем спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки, то получим два, казалось бы, обычных числа: 21 и 34. Но эти два числа нам уже встречались.

В структуре цветка появились два идущих друг за другом числа из последова­тельности Фибоначчи. Если мы проведем такой же эксперимент с другим цветком подсолнечника, вполне вероятно, что мы получим другую пару чисел из этой по­следовательности, например, 55 и 89. Но это не единственный пример, когда мы можем увидеть золотое сечение в структуре растений. Другими примерами являются расположение веток деревьев, количество лепестков на многих цветах и даже форма листьев. Большая часть пятой главы будет посвящена изучению этой, казалось бы, магической связи между числами и органическими формами.

Определение золотого сечения

Золотое сечение является иррациональным числом, которое мы будем обозначать греческой буквой фи (Ф). Оно было открыто древними греками, и его документированная история начинается с одной из самых известных и много раз переиздаваемых книг всех времен и народов «Начал» Евклида, написанной около 300 г. до н. э.

Шедевр Евклида является первым научным бестселлером в истории. Ученый пре­следовал две цели, когда писал эту работу. С одной стороны, он хотел собрать все математические результаты того времени и составить энциклопедию, которая служила бы учебником. С другой стороны, он хотел разработать определенную методологию доказательств и построить новую математическую теорию, основанную на аксиомах (утверждениях, принимаемых без доказательств) и законах дедукции.

Успех «Начал» бесспорен, эта книга оказала значительное влияние на развитие всех областей математики. Известный математик и педагог XX века Лусио Лом­бардо Радис писал: «После Библии и работ Ленина [«Начала»] является самой публикуемой и переводимой книгой. Еще несколько десятилетий назад она слу­жила учебником геометрии для средней школы». Поскольку математика является обязательным предметом всех систем образования во всех странах мира, каждый человек на Земле, ходивший в школу, так или иначе познакомился с «Началами» через тексты учебников математики.

«Начала» состоят из 13 книг. Первые шесть посвящены элементарной геометрии, книги с седьмой по десятую — вопросам чисел, а с одиннадцатой по тринадцатую — стереометрии. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения:

«Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему».

Или, выражаясь более кратко: «Целое относится к большей части, как боль­шая часть к меньшей». (Первый английский перевод работ Евклида был сделан в 1570 г. Генри Биллингсли, ставшим вскоре лорд-мэром Лондона.)

Крайнее и среднее отношение, которое прозвучало так ненавязчиво, что его не­трудно упустить из вида, является тем самым числом, которое впоследствии стало известно как золотое сечение и которому в 1509 г. Лука Пачоли посвятил целый трактат под названием «О божественной пропорции». Современное обозначение золотого сечения фи, Ф, появилось значительно позже, в начале XX века, когда американец Марк Барр предложил использовать первую букву имени Фидий, ар­хитектора Парфенона в Афинах.

Теперь, когда мы рассказали историю золотого сечения и определили его как ир­рациональное число, мы можем наконец начать изучение его математических свойств. Прежде всего, посчитаем значение числа Ф. Оно равно положительному корню квадратного уравнения х² - х - 1 = 0. числом. Это значит, что мы не можем записать его в виде конечного десятичного числа. Более того, бесконечная строка десятичных знаков не содержит периодически повторяющихся групп цифр. Число Ф, таким образом, является непериодическим де­сятичным числом, которое невозможно вычислить до конца. Более точное вычисление числа Ф не имеет смысла, потому что оно особенно важно в геометрическом виде, а не в числовом. Достаточно сказать, что Ф = 1,618033988749894, потому что 15 знаков после запятой вполне достаточно для любых возможных расчетов.

Теперь возьмем калькулятор и сделаем несколько простых расчетов, взяв при­ближенное значение Ф с точностью до пяти десятичных знаков: Ф = 1,61803.

Сначала разделим единицу на Ф. Что мы получим? Число 0,61803; те же самые десятичные знаки после запятой. Оказывается, что 1/Ф = Ф - 1.

Основные свойства золотого сечения

Для начала вспомним, что Ф является решением уравнения:

X² — X — 1 = 0.(1)

Мы только что проверили это с приближенным значением, показав, что

Ф²-Ф-1=0=>Ф^?=Ф+1.(2) Начиная с уравнения (2), несколько раз умножим обе части на Ф и получим:

Ф3= Ф²+Ф

Ф⁴=Ф3+Ф²(3)

ф⁵= ф⁴ + ф³

Мы видим, что любая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. В результате, имея значения Ф и Ф², нам не нужно выполнять операции умножения для получения других степеней Ф, достаточно сложить две последовательных степени, чтобы получить следующую.

Аналогично, используя выражения (2) и (3), мы можем найти другие соотношения между степенями Ф, которые содержат только само значение Ф и натуральные числа.

фз = ф2 + ф = ф +1 + ф = 2Ф+1

ф4 = фз + Ф² = (2Ф +1) + (Ф +1) = ЗФ + 2

ф5 = ф4 + фз ₌ (ЗФ + 2) + (2Ф +1) = 5Ф + 3

ф6 = ф5 +ф4 = 8Ф + 5(4)

Ф⁷ = ф6. +ф5 ₌13Ф + 8

Ф8 = ф7₊фб = 21Ф + 13

Мы видим, что для получения любой степени Ф достаточно умножить число Ф на сумму двух натуральных чисел из выражения для предыдущей степени Ф, а затем добавить коэффициент при Ф из предыдущего выражения. (Коэффициент — это множитель в математическом выражении.) Например, в выражении для Ф⁶ число 8, коэффициент при Ф, является суммой 5 и 3, которые содержатся в выражении для Ф а слагаемое 5 является коэффициентом при Ф для той же степени Ф⁵.

Запомним эти свойства, выражаемые формулами (3) и (4), они нам потребуются, когда мы будем использовать последовательность Фибоначчи для получения при­ближенного значения Ф. Но более подробно об этом будет рассказано позже. Левая часть выражения (3) также показывает, что мы можем построить геометрическую прогрессию из Ф, складывая его две последовательных степени.

Вычислим теперь значение 1/Ф, чтобы проверить, случаен ли был результат, который мы получили с приближенным значением Ф. Начнем с выражения (2), определяющего Ф:

Ф² = Ф + 1

Ф²-Ф = 1.

Разделим все члены этого уравнения на Ф:

(Ф²-Ф)/Ф=1/Ф

Ф-1 = 1/Ф.

Это удивительное свойство открывает нам новые возможности. С помощью этого простого упражнения мы видим, что число Ф, несмотря на свое скромное определение, ведет нас к замечательным открытиям. Оно появляется в самых различных областях математики, а также имеет далеко идущие свойства.

Проиллюстрируем это, найдя значение следующей последовательности квадрат­ных корней:

Последовательность Фибоначчи

История математики полна неожиданностей. Одна из них касается золотого сечения, известного еще с древних времен и тесно связанного с геометрией. Однако спустя столетия это соотношение было найдено в ряде дробей, возникших из чисто арифметической последовательности. Гением, нашедшим эту связь между геометрией и арифметикой, был один из самых выдающихся математиков средневековья Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи.

Но самым известным разделом книги является знаменитая задача о размножении кроликов, решение которой известно сегодня как последовательность Фибоначчи.

Задача формулируется следующим образом: «Сколько пар кроликов будет у нас через год, если в январе у нас была одна пара, которая каждый месяц производит на свет другую пару, начиная с марта пара, в свою очередь, производит собственное потомство каждый месяц, начиная со второго месяца».

Для решения этой задачи Фибоначчи, как истинный бизнесмен, составил таблицу. В ней он записал рост популяции кроликов и подсчитал в столбце «Итого» число пар в конце каждого месяца. Беглый взгляд на этот столбец показывает странную зако­номерность в последовательности: каждое число является суммой двух предыдущих. Числа в столбце «Итого» образуют так называемую последовательность Фибо­наччи,

Работу Марио Мерца, изображающую последовательность Фибоначчи в виде спирали, можно увидеть на станции метро города Неаполя.

Пифагоровы тройки

Существует бесконечное число пифагоровых троек, однако их нелегко найти. Но, как вы уже догадались, последовательность Фибоначчи позволяет найти пифагоровы тройки. Мы расскажем об этом в данном параграфе, но сначала покажем, какая существует связь между Фибоначчи, Пифагором и золотым сечением.

Самым известным свидетельством математического гения человечества являет­ся теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины большей стороны (гипотенузы) равен сумме квадратов длин двух других сторон (называемых катетами).

С геометрической точки зрения мы можем рассматривать все стороны прямо­угольного треугольника как стороны трех построенных на них квадратов. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (квадрат имеет равные стороны). Тео­рема Пифагора просто говорит, что общая площадь квадратов, построенных на кате­тах прямоугольного треугольника (сумма площадей двух квадратов), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Эта формула позволяет нам определить тип треугольника, не измеряя его углов. Все, что нам нужно сделать, — это найти квадраты длин трех сторон и сравнить квадрат дли­ны большей стороны с суммой квадратов длин двух других сторон. В случае равенства мы имеем прямоугольный треугольник. Если квадрат длины большей стороны больше, то треугольник является тупоугольным (наибольший угол больше 90°). Если сумма квадратов больше, то треугольник является остроугольным (все три угла меньше 90°).

Если мы построим квадрат на каждой стороне прямоугольного треугольника, то количество бумаги, необходимое для того, чтобы покрыть больший квадрат, будет таким же, как и количество бумаги, необходимое для покрытия двух меньших квадратов.

а² = b² +с².

Теперь мы продемонстрируем метод нахождения пифагоровых троек с помощью последовательности Фибоначчи. Возьмем любые четыре последовательных числа из последовательности, например, 2, 3, 5 и 8, и построим еще три числа следующим образом:

Произведение двух крайних чисел: 2 - 8 = 16;

Удвоенное произведение двух чисел в середине: 2-(3-5) = 30;

Сумма квадратов двух чисел в середине: З² + 5² = 34.

Мы можем легко убедиться, что эти три числа (34, 30, 16) образуют пифагорову тройку:

16² = 256; 30² =900; 34² = 1156 =>256 + 900 = 1 156.

Этот метод работает в любом случае для любых четырех последовательных чисел из последовательности Фибоначчи.

Соотношения между числами в последовательности Фибоначчи

Три последовательных числа в последовательности Фибоначчи ведут себя пред­сказуемым образом. Выберем три любых последовательных числа и перемножим два крайних. Затем сравним результат с квадратом среднего числа. Разница всегда будет одинаковая, на единицу больше или меньше в зависимости от выбора чисел. Например, для чисел 3, 5 и 8 имеем 3*8 = 5²-1. Для чисел 5, 8 и 13 получим 5-13 = 8² +1.

В общем случае это соотношение между числами в последовательности Фибоначчи записывается так:

а²-а -а = (-1)"^-1.

Если мы применим это свойство геометрически, мы обнаружим нечто странное. Нарисуем квадратную решетку 8 на 8 (она будет содержать 8² = 64 маленьких ква­драта). Затем разделим большой квадрат на четыре части, как показано на рисунке на следующей странице. Далее мы переставим части, словно детали головоломки, и построим из них прямоугольник со сторонами 5 и 13. Но тогда он будет содержать 13*5 = 65 маленьких квадратов! Откуда взялся дополнительный квадрат? Чтобы разобраться в этой загадке, мы должны посмотреть на углы, образуемые линия­ми, которыми мы разделили наш квадрат. Они не совсем равны, и когда мы строим з кусочков новую фигуру, они не образуют идеальный прямоугольник, оставляя крошечные зазоры. Эти небольшие зазоры в сумме дают дополнительную единицу площади, которая, казалось бы, появилась ниоткуда.

Треугольник Паскаля и последовательность Фибоначчи

Треугольник Паскаля является одним из самых известных численных правил. Паскаль использовал его для разложения бинома Ньютона, но это правило уже было известно китайским ученым, а также персидскому математику XII в. Омару Хайяму.

Треугольник Паскаля строится следующим образом: в первом ряду (в нулевой строке) стоит цифра 1. Каждая следующая строка имеет на одно число больше, чем предыдущая, каждое новое число получается путем сложения двух чисел слева и справа над ним (там, где слева или справа числа нет, используется значение 0). Это определение подчеркивает связь треугольника Паскаля с последовательностью Фибоначчи, которая определяется аналогичным образом. С такими аналогичными определениями следует ожидать прямые численные соотношения между треуголь­ником Паскаля и последовательностью Фибоначчи. И вот эта связь: надо только написать строки треугольника Паскаля одну под другой, а затем складывать элементы по диагонали (см. диаграмму ниже), чтобы получить последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8 и т.д.).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/402186-zolotoe-sechenie