Теорема Пифагора

Выполнила практическую № 1 Рябова Ю.А.

Урок по теме "Теорема Пифагора"

Тип урока: урок усвоения нового материала и закрепления знаний.

Вид урока: урок-путешествие.

Цели урока:

Закрепление умения применять теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора, при решении задач, ознакомление класса с другими способами доказательства теоремы, развитие самостоятельной деятельности, прививать интерес к геометрии, воспитывать веру в свои силы, учить коллективной и самостоятельной работе.

Общеучебные:Моделирование, выбор наиболее эффективных способов решения задач.

Логические:- анализ, сравнение, синтез.

Личностные: уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные: работать над понятием информация-знание.

Предметные: уметь доказывать теорему Пифагора указанным методом; уметь находить неизвестные элементы прямоугольных треугольников по известным; уметь устанавливать логические отношения между данными и искомыми; использовать для решения геометрических задач графические модели в соответствии с содержанием задания.

Познавательные УУД: уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Коммуникативные УУД: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

Регулятивные УУД: уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.

Оборудование урока:

1. Компьютерная техника и мультимедийное оборудование.

2. Таблица квадратов, карточки с заданием, портрет Пифагора, теорема Пифагора, веревка с узелками египетского треугольника.

3. Памятка-алгоритм доказательства теоремы Пифагора.

4. Герои: Незнайка с гитарой, Пифагор, Джек Воробей, теорема Пифагора, ученики доказывающие теорему Пифагора.

Ход урока

1. Мотивационно-организационный этап.

Учитель:

– Ребята, математическое творчество – это высший пилотаж. И сегодня я приглашаю вас к полетам в мыслях как наяву. Изначально мы с вами разделимся на три команды (1 ряд, 2 ряд, 3 ряд)

– Мы проведем не обычный урок геометрии, а отправимся с вами в далекое путешествие. Вглубь веков приведет нас колесо истории.

– Ребята, а вы можете сказать, зачем люди путешествуют?

(Чтобы узнать что-то новое, познакомиться с новыми людьми, сделать маленькие или большие открытия)

– С этой целью отправимся в путешествие и мы!

2. Актуализация опорных знаний и подготовка учащихся к усвоению нового материала (проблемная и коллективная технологии).

Учитель:

– Но прежде, чем отправится в путешествие, нам необходимо собрать багаж в дорогу. А так как путешествие наше не обычное, то с собой мы возьмем не зонт и шляпу с плащом, а знания и умения, также нам понадобятся ваши внимание и память, запоминайте все самое интересное.

Ответьте на мои вопросы (на слайде):

– С каким треугольником чаще всего вы встречаетесь при решении различных задач? (Прямоугольный треугольник)

– Как называется треугольник, изображенный на рисунке? Почему вы так думаете?

– Назовите стороны прямоугольного треугольника.

– Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

– Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

– Сформулируйте теорему о площади квадрата?

– По рисункам сформулируйте задания самостоятельно.

– Найдите площадь прямоугольного треугольника.

– Вы не смогли найти площадь прямоугольного треугольника АВС. Почему?

(Не известен катет АС, не хватает знаний о зависимости между сторонами прямоугольного треугольника).

– Ребята что же должно стать объектом вашего внимания в путешествии?

– Какова же закономерность между числами 3, 4 и 5?

– Гипотеза: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Давайте проверим, выполняется ли обнаруженная нами закономерность для сторон других прямоугольных треугольников (на слайде).

Учитель: Откройте тетради. Запишите число и тему урока

Задание по командам (вычисления в тетради с карточек):

• 1 ряд – стороны треугольника 6, 8 и 10 сантиметров;

• 2 ряд – стороны треугольника – 5, 12 и 13 сантиметров;

• 3 ряд – стороны треугольника – 8, 15 и 17 сантиметров.

Учащиеся выполняют задание

– Сделайте вывод о зависимости между сторонами прямоугольного треугольника.

( В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы)

– Этот вывод сделали ученые и в Древнем Китае, и Вавилоне.

Учитель. Смотрите, а кто это к нам идет? Незнайка.

Незнайка поет отрывок из песни на гитаре:

Милый математик, добрый Пифагор,

Раз уж речь зашла у нас на эту тему,

Ты нас извини, но до сих пор

Мы твою понять не можем теорему.(1)

Учитель. Не расстраивайся Незнайка. Мы тебя научим, присоединяйся к нам. Существует более 200 доказательств теоремы Пифагора.

3. Изучение нового материала (информационная технология).

Доказательство теоремы Пифагора.

По слайдам учащиеся доказывают теорему Пифагора.

Первичная проверка усвоения знаний

1 ученик. Теорема Пифагора гласит "в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". На сегодняшний день в мире известно более 200 способов доказательства этого утверждения.

Теорема: Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:  АВС, угол С=90°. АС, СВ - катеты, АВ - гипотенуза.

АС=b; СВ=а; АВ=с.

Доказать: а² +b² =с²

Доказательство: Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в  так, как показано на рис. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав  , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с² =2ав + с². Таким образом, (а + в)² = 2ав + с², откудас²=а²+в². (6)

2 ученик. Я расскажу о другом способе доказательства теоремы Пифагора.

Пусть дан треугольник АВС с прямым углом С, гипотенузой с и катетами a и b, такими, что b>a. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой СD и, кроме того, BD=b, <BDM =90⁰, DM = a, тогда треугольники BMD и ABC равны по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезком АМ. Имеем МD+СD и AС+CD, прямая АС параллельна прямой МD. Так как МD<AC, то прямые CD и AM не параллельны. Следовательно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD <1 + <2 =90⁰ и <3+<4=90⁰, но так как <1 = <3, то <3 + <2 = 90⁰; тогда <ABM = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей имеем S_ABC +S _ABM +S _BMD =S_трап , или 1/2 ab + 1/2 с² + 1/2 ab = 1/2 (a+b)(a+b).

Умножив обе части равенства на 2, получим

ab + c² + ab = (a + b)², 2ab + c²= a² + 2ab + b²,откуда c² = a² + b². (6)

. 3 ученик. Я расскажу о другом способе доказательства теоремы Пифагора.

Квадраты построенные на катетах, состоят из 2-х одинаковых треугольников. А квадрат, построенный на гипотенузе состоит из 4-х такаих треугольников. Следует квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Детские стишки Пифагоровы штаны во все стороны равны.(7)

Шуточные рисунки к теореме (показано на слайде)

Площадь квадрата построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Так Теорема звучала во времена Пифагора.(7)

Ученик. Рассказывает стихотворение теоремы в современной формулировке.

Учитель. А давайте мы с вами отправимся в школу Пифагора, чтобы

узнать эту теорему.

Выходит Пифагор. И рассказывает о себе.

Пифагор (VI век до н. э.)

Древнегреческий философ, ученый, религиозный и политический деятель, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др.

Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»).
Пифагор родился на острове Самос, в семье богатого ювелира. С юных лет Пифагор хотел понять устройство мира. Долгое время он обучался в Греции, а затем отправился в Египет. Из Египта Пифагор направился в Вавилон, где провел еще 12 лет. Приблизительно в 530 г. Пифагор возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне Пифагор создает собственную философскую школу, где учит медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и т. д. Пифагор также развил теорию музыки. Он впервые ввел в употребление термин «философ», когда на вопрос, кем он является, ответил: «Я не мудрец (sophos), я любитель мудрости (philosophos)», – то есть философ.

В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Пифагор обратил внимание на то, что при приближении корабля к наблюдателю сначала видны паруса и только потом весь корабль, что свидетельствовало о сферичности планеты. О времени и месте смерти Пифагора достоверных сведений не сохранилось. (8,2)

5. Первичное закрепление знаний.

Пифагор. Кто я? Неважно! Главное то - что пропало мое любимое дитя. Я сколько лет был с ней рядом, и она мне во всем помогала, а теперь её нет. Что мне делать и как я вернусь к своим ученикам без неё?!

Учитель: Уважаемый Пифагор, присядьте, не волнуйтесь, мы немедленно отправляемся в путь на поиски вашей любимицы. Ребята, я отправляю вас в разные страны: Индию и Россию. Учащимся предлагается решить задачи.

1. Задача из первого учебника математики на Руси (на слайде). Назывался этот учебник "Арифметика".

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати есть 125 стоп, стены же тоя высота есть 117 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

Решение 125*125=117*117+х*х. Ответ 44 стопы (9)

2) Индийская задача (на слайде). В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. По командам первая выполнившая команда получает бал

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
"Как озера вода здесь глубока?"(10)

Решение: Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² - AC² = BC²,

(Х + 0,5 )² - Х² = 2²,

Х² + Х + 0,25 - Х² = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.(Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

3, 75 * 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Победившая команда получает бал за каждую задачу.

Учитель. Уважаемый Пифагор. К нам поступило сообщение, что видели вашу дочь в тридевятом царстве, тридесятом государстве. Внимание, мы отправляемся в сказку!

Сказка-клип на интерактивной доске.(11)

Задача - сказка. (на слайде)

Давным-давно в некоторой стране жила прекрасная принцесса. Она затмевала красотой всех подруг и свою старшую сестру, которая красотой не блистала. Старшая сестра решила ей отомстить. Она пошла к ведьме и попросила ее заколдовать принцессу. Ведьма не смогла ей отказать, и придумала усыпить принцессу в башне до той поры, пока какой-нибудь принц не посмотрит на окно башни с такого места, чтобы расстояние от глаз принца до окна было 50 шагов.

Принцесса заснула крепким сном. Прошло много лет, но никто не смог расколдовать принцессу. И вот, в один прекрасный день в этом городе появляется на белом прекрасном коне молодой принц. Узнав, какое несчастье произошло с принцессой, молодой принц берется расколдовать ее. Для этого он измеряет длину от основания башни до окна, за которым скрывается принцесса. У него получается 30 шагов. Затем что-то прикидывает в уме и отходит на несколько шагов, поднимает голову и вдруг...башня озаряется светом и через мгновенье навстречу принцу выбегает еще более прекрасная принцесса... На сколько, же шагов отошел принц от башни?

Решение:

50²-30²=40²

2500-900=1600

v1600=40(шагов)

Победившая команда получает бал.

Учитель: Пифагор, видно ваша дочь побывала и здесь, но снова отправилась в путь. Мы подумаем, где её еще можно поискать. А пока проведем динамическую паузу.

Ученики отгадывают шифр (технология развития мышления). Победившая команда получает бал

• Га2рпе7д4он1апт6ами5

• Египетс9,14к16ий3

• Гипо8т10енуза

• Пи20фаго12р11а

• Прямоуго15льный

• Р17ав13,19но18бедренный, Щ=21

(ответ: найдите остров сокровищ)

Учитель: Ребята, возможно, это подсказка, что теорема Пифагора на острове сокровищ. Вбегает в класс Джек-воробей.

Джек-воробей. Я отправляюсь на остров сокровищ и хочу на нем поставить флагшток. Для этого я купил 50 метров троса. Как вы думаете, мне хватит троса, если флагшток высотой 12 метров, а растяжки на земле 5 метров.( 9,задача Магницкого)

Если поможете, я вам верну ваше сокровище-теорему Пифагора.

Решение:

12²+5²=144+25=169

=13

13*4=52 (м)

Ответ: Троса не хватит. Победившая команда зарабатывает бал

Учитель. Придется тебе отдать нашу теорему Пифагора. Где же она?.

Джек-воробей. Да вот она. (Девочка весь урок сидела в классе).

Выходит девочка-Теорема Пифагора, одетая в тунику, на голове треугольник и написано:а²+в²=с² .Она подбегает к Пифагору. Он благодарит всех ребят за помощь в поиске и уходит.

Учитель: Пора и нам отправляться домой.

5. Итоги урока (фронтальная работа)

Подсчитываются балы команд. Объявляется, чья команда выиграла.

- Теорема Пифагора ее формулировка.

– Вы достигли цели путешествия: что узнали нового, с кем познакомились в путешествии? Сделали ли вы для себя открытие чего-либо нового? Оценивание работы в команде, индивидуальное оценивание детьми. Как вы считаете, кто проявил себя более активно на уроке и как? Кто по вашему мнению заслужил наивысшую оценку и почему?

Каждый индивидуально отвечает в тетради на следующие вопросы (рефлексия):

1. Сегодня я узнал…

2. Было интересно…

3. Было сложно…

4. Теперь я могу…

5. Я научился…

6. Мне понравилось…

7. Урок дал мне…

8. Какие цели были достигнуты…

6.Постановка домашнего задания

1.Найдите ещё одно доказательство теоремы Пифагора (по выбору).

2.Фронтон большого театра в Москве, имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (значения приближены). Найдите площадь фронтона.

Все встали, спасибо за урок, урок окончен.

Источники

1. https://teoremapifagora.ucoz.ru/index/legendy_mify_rasskazy_pesni_pritchi_nebylicy_anekdoty_chastusheki/0-30

2.  https://fb.ru/article/321345/raznyie-sposobyi-dokazatelstva-teoremyi-pifagora-primeryi-opisanie-i-otzyivyi

3. https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/052e/0003e945-8042e4c6/img10.jpg

4. https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/0b2c/000eb12b-6309f8ea/img3.jpg

5. https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/0eb3/001298ca-bcfca9f9/img7.jpg

6. https://pandia.ru/text/77/308/50928.php

7. https://en.ppt-online.org/538846

8. http://geography6class.ru/pifagor-vi-vek-do-n-e.html

9. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого, и https://findout.su/5x6440.html

10. https://urok.1sept.ru/articles/417931

11. https://urok.1sept.ru/articles/589608

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/444315-teorema-pifagora