Конспект урока по теме «Логарифмические уравнения»

Действия учителя.

Действия ученика.

Записи на доске ( в тетради).

Здравствуйте, ребята!

I. Мотивационно-ориентировочный этап

Актуализация:

№1. Вычислите:

а)

-Чем вы пользовались, при решении этого уравнения?

-Сформулируйте определение логарифма.

б)

-Что вы использовали, решая данное уравнение?

№ 2. Перейти к основанию 3,

-Давайте запишем данный пример в общем виде.

-Как называется данная формула?

-Есть ещё частный случай формулы перехода. Продиктуйте её.

№3. Задание: Найти и исправить ошибки.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

№4. Допишите выражения:

а) =

б)

в) =

г)

д)

е)

ж) Если = , где …

-Ребята, что мы повторили, выполняя это задание?

- Ребята, наша задача вспомнить основные методы решения уравнений, и для этого выполним следующее упражнение.

-Давайте вспомним, какие уравнения называются равносильными?

№5 Выяснить какие уравнения являются равносильными.

1. x+4 =3x и x-2 =0

2. и 3x+1=-3

3. 

-Какое уравнение является следствием другого уравнения?

-Давайте вернемся к примеру 3 и скажем какое из них является следствием другого

№6 Решить уравнение:

2) + -2=0

3)x+1=

-Каким методом будем решать данное уравнение под цифрой 1(под цифрой 2, под цифрой 3)? (Разложение на множители; замена переменной; функционально-графический методы).

Мотивация:

- Ребята, оказывается, для логарифмических уравнений используются те же самые способы. Давайте, рассмотрим примеры:

Решите уравнения:

=2

-Как вы думаете, каким методом решается данное уравнение?

(Если ученики затрудняются ответить, то можно обратить их внимание на №4)

-Молодцы!

2 )+=2

-Как будем решать данное уравнение?

-Т.е. данное уравнение будем решать с помощью замены.

=-x+1

-Как будем решать данное уравнение?

-Хорошо. А теперь давайте посмотрим на точку пересечения этих графиков. Какие координаты имеет точка пересечения графиков?

-Чему равен x?

-Ребята мы с вами разобрали как эти 3 метода используются при решении логарифмических уравнений. Однако, существуют и другие – специальные методы решения логарифмических уравнений.

Постановка учебной задачи:

- И цель нашего урока их разобрать.

Один из учеников отвечает устно, учитель записывает решение на доске.

-Определением логарифма.

Формулируют

-Основное логарифмическое тождество

Один из учеников выходит к доске

-Формула перехода

Один ученик проговаривает формулу, учитель записывает на доске.

Двум ученикам раздаются в начале урока карточки (по пять примеров), они на местах решают, затем их решение проектируется на доску, и другие учащиеся вместе с учителем проверяют…

Один из учеников (в начале урока вызван к доске) формулирует и записывает свойства на доске. Потом учащиеся проверяют.

• Свойства логарифмов и теорему о равенстве показателей с одинаковым основанием.

- Равносильные уравнения- уравнения, имеющие одно и то же множество корней.

- 1) равносильные, так как корень первого уравнения равен 2 и корень второго уравнения равен 2.

2) равносильные по свойству показателя степени.

3)не равносильные, так как корень первого уравнения равен 1, а корни второго уравнения х=1 и х=2.

- Уравнение является следствием другого, если все корни одного уравнения являются корнями другого.

-Второе уравнение является следствием второго.

Ученики выходят к доске.

- Перенесём 2 в левую часть, и можно заменить на t.

- построим график функции y= и

y=-x+1

(1;0)

x=1

=27

=

x=3

б)

x=16

№2 =

=

=

№3

1).

2). верно

3).

4).нельзя вычислить, подлогарифмическое выражение должно быть > 0.

5).

6).

7).

8).

9).

10).нельзя вычислить, основание логарифми число положительное и не равное 1.

№4

а) =1

б) 0

в) =

г)

д)p

е)

x(x+2)=0

=0, =-2

Ответ: =0, =-2

2) + -2=0

=t

=-2 =1

=-2-посторонний корень

=1

x=

Ответ:x=

3)x+1=

1. =2

-2 =0

-2)=0

I. II.-2=0

2x-1=0 =2

x=1 x=16

Проверка: при x=1

=2

2 =2

приx=16

=2

2 =2

Ответ: x=1 , x=16

2 )+=2

+-2=0

=1

II. =1

x=x=3

x=

Проверка:

При x=

+=2

При x=3

+=2

О твет:x=x=3

=-x+1

y=

0

II.Операционно-познавательный этап.

-Решите уравнение.

1)

-Подходит ли метод разложения на множители для решения данного уравнения?

-А с помощью замены?

-Графический.

-Хорошо, но графический метод сложный.

-Давайте вспомним, что мы сегодня повторили про логарифмы?

-Можем ли мы воспользоваться определением?

-Свойствами?

-С помощью чего будем решать данное уравнение?

-Давайте запишем данное уравнение в общем виде в канву таблицу.

- Ограничение на а: , по определению логарифма.

по теореме. Нам ещё нужно ввести ограничения на f(x) и g(x). ,по определению. Ребята, а нужно ли указывать, что g(x)>0?

-Нет не нужно, это будет избыточное условие. Поэтому возможно два случая.

I способ: II способ:

- А теперь будем решать другие уравнения, и заполнять канву таблицу.

2)

- Чем воспользуемся при решении данного уравнения?

-Запишем общий вид данного равнения в канву таблицу. Как запишем уравнение в общем виде? А какие ограничения?

3) 1)=0

- Чем воспользуемся при решении данного уравнения?

-Заполним канву. Запишем уравнение в общем

виде. Ограничение на а по определению.

-Используя теорему и свойство суммы логарифмов запишем (см. первую строчку системы).По определению вводим ограничение наf(x) и g(x).Будем ли мы вводить ограничение на ?

-При умножении двух положительных чисел, какое получим число?

-Так нужно ли нам ограничение на ?

4)

(ученики по аналогии с 3 решают уравнения и заполняют канву таблицу.)

5) =4

-Каким свойством воспользуемся при решении данного уравнения?

-х заключаем в модуль, иначе произойдет потеря корней.

-Запишем уравнение в общем виде и не забываем про ограничения.

6) =9

-Как буде решать данное уравнение?

- Так как степень не четная, то модуль не нужен.

-Как запишем уравнение в общем виде?

7)

-Давайте введем ограничения на уравнения(ОДЗ)

-Чем воспользуемся для решения этого уравнения?

Запишем в общем виде.

-И решим пользуясь теоремой.

Iспособ

IIспособ

8)3 =

(ученики по аналогии с 7 решают уравнения и заполняют канву таблицу.)

Iспособ

IIспособ

Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетради.

-нет.

-нет.

-да.

-определения, свойства,теорема.

-нет

-нет

- По теореме. Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма

-Да.

-определением

-свойством суммы логарифмов. А дальше по определению логарифма

-Да. >0

-Положительное.

-нет.

-Свойство степени, степень выносится перед логарифмом.

- По свойству степени, степень выносится перед логарифмом.

-В левой части свойством степени, в правой свойством суммы логарифмов. А дальше по определению.

5x+3=7x+5

-2x=2

x=-1

Проверка:

2)

3х-1=

3х=2

х =

Проверка:

=0

Ответ: х =

3) 1)=0

х =

Проверка: при х=

1)=0

1)

1)

При х=-

1)=0

Ответ: корней нет

4)

Ответ: корней нет

=4

2 =4

=2

х= 4

Ответ: х= 4

6) =9

3 =9

х=

х=8

Ответ: х=8

7)

ОДЗ:

=

=1

=1

-посторонний корень

Ответ:х=2

8)3 =ОДЗ: х+1

х+1=3

х=2

Ответ: х=2

III.Рефлексивно-оценочный этап.

-Посмотрите внимательно на слайд. Перед вами логарифмические уравнения. Перепишите в тетрадь эти уравнения.

Ваша задача: не решая - определить тип данного логарифмического уравнения.

А домашним заданием будет решить эти уравнения

Давайте подведём итоги:

- Что вы сегодня узнали на уроке?

- Достигли ли мы целей урока?

-Всем спасибо, урок окончен.

-специальные методы решения логарифмических уравнений.

-да.

На слайде записан список примеров:

1. 

2. 

3. =35

4. -х)- =

5. 2 =4

6. =2х-5

7. =18

8. 

9. =

1. =0

2. 5 =3125

x(x+2)=0

=0, =-2

Ответ: =0, =-2

2) + -2=0

=t

=-2 =1

=-2-посторонний корень

=1

x=

Ответ:x=

3 ) x+1=

=2

-2 =0

-2)=0

I. II.-2=0

2x-1=0 =2

Проверка:

приx=1

=2

2 =2

приx=16

=2

5x+3=7x+5

-2x=2

x=-1 – не удовл.ОДЗ.

Ответ: корней нет.

ОДЗ:

5x+3>0

x>-3/5

2 )+=2

+-2=0

=1

II.=1

x=x=3

x=

Ответ:x=x=3

Проверка:

при x=

+=2

приx=3

+=2

=-x+1

y=

y=-x+1

5)

3х-1=

3х=2

х =

Ответ: х =

Проверка:

=0

9) =9

3 =9

х=

х=8

Ответ: х=8

6) 1)=0

х =

Ответ: корней нет

7)

Ответ: корней нет

Проверка:

при х=

1)=0

1)

1)

при х=-

1)=0

=4

2=4

=2

х= 4

Ответ: х= 4