Доклад на тему: «Теоретические основы формирования у младших школьников табличных случаев умножения и деления во 2 классе»

Доклад на тему: «Теоретические основы формирования у младших школьников табличных случаев умножения и деления во 2 классе».

1.1. Математические основы формирования у младших школьников приёмов письменного умножения и деления во 2 классе

В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе.

Особенность изучения письменных вычислений обусловлена тем, что у детей быстро развивается усталость при работе с числами. Это объясняется большим количеством операций как письменного сложения и вычитания, так и письменного умножения и деления. Избежать быстрой утомляемости и снижения внимания при изучении письменных вычислений поможет чередование различных видов деятельности, отказ от однообразных тренировочных упражнений.

Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Одна из важнейших задач обучения младших школьников математике -формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение вычислительных приемов. В связи с этим выясним, что же такое вычислительный прием.

М. А. Бантова отмечает, что вычислительный прием – это ряд последовательных операций над данными числами, выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия над данными числами.

Вычислительное умение – предполагает усвоение вычислительного приема.

В своей статье М. А. Бантова пишет, что вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В данном случае речь идет о сформированном вычислительном навыке, когда ученик способен быстро и безошибочно выполнить ту или иную математическую операцию.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. Охарактеризуем данные показатели:

Правильность – правильный выбор и выполнение операций, входящих в вычислительный прием.

Осознанность – способность в любой момент объяснить, как выполнено вычисление и почему именно так.

Рациональность – выбор из возможных вычислительных операций тех, выполнение которых легче и быстрее других приводит к результату.

Обобщенность – перенос вычислительного приема на большое число новых случаев.

Автоматизм(свернутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

М.А. Бантова пишет, что высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения / вычитания, умножения / деления, то есть должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них. В этом случае можно говорить об автоматизации вычислительных навыков.

Прочность – сохранение вычислительного навыка на долговое время.

Таким образом, исходя из определения вычислительного приема и принятой их классификации следует, что в каждом вычислительном приеме можно выделить:

- теоретическую основу;

- операции, его составляющие.

В процессе формирования вычислительного приема и становления вычислительного навыка выделяется три этапа: подготовка к введению нового вычислительного приема, ознакомление с вычислительным приемом, формирование вычислительного умения и выработка вычислительного навыка. Рассмотрим суть каждого из этапов.

I. Подготовкак введению нового вычислительного приема. Создается готовность к усвоению нового вычислительного приема. Учащиеся должны усвоить теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией, его составляющей.

II. Ознакомлениес вычислительным приемом. Познакомить учащихся с сутью вычислительного приема - значит показать, какие операции и в каком порядке необходимо выполнить над числами для получения результата арифметического действия.

III. Формирование вычислительного умения и выработка вычислительногонавыка.На этом этапе ученикам необходимо твердо усвоить систему операций, составляющих прием и предельно быстро выполнять эти операции, то есть овладеть вычислительным приемом.

Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приёмов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приёмов в соответствии с их общей теоретической основой. Существуют различные классификации вычислительных приёмов. Рассмотрим более детально классификацию вычислительных приёмов, предложенную М.А. Бантовой, основанием которой является общность теоретической основы вычислительных приёмов, изучаемых в начальных классах.

Данную классификацию мы представили в виде таблицы (Таблица 1).

Таблица 1

Классификация вычислительных приёмов по общности теоретической основы

Как видим, все вычислительные приёмы строятся на той или иной теоретической основе, причём в каждом случае учащийся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приёмов.

Это реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.

Общность подходов каждой группы – есть залог овладения учащимися обобщёнными вычислительными навыками.

Таким образом, вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительный навык – значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии: правильность, осознанность, рациональность, обобщённость, автоматизм и прочность. Вместе с тем, учитывая, что ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом – системой операций, мы относим к основным критериям и степень овладения умением контролировать себя при выполнении вычислительного приёма.

1.2. Методические основы обучения младших школьников табличным случаям умножения и деления во 2 классе

«Умножение и деление» — центральная тема программыII класса. На ее изучение отводится почти 3 четверти учебного года. Подготовка к рассмотрению этих действий начинается еще в I классе.

Подготовительная работа в I классе связана с реализацией и расшифровкой следующего пункта программы для этого класса: «Нахождение суммы одинаковых слагаемых и представление числа в виде суммы одинаковых слагаемых».

Соответствующие упражнения предусмотрены учебником (М. И. Моро, М. А. Бантова, Г.В. Белътюкова) начиная с рассмотрения первых же таблиц сложения и вычитания в пределах 10. Дети учатся присчитывать (прибавлять) по 2 к данному числу и отсчитывать по 2 от данного числа (вычитать несколько раз по 2). В связи с этим специальное внимание уделяется усвоению рядов чисел, которые при этом получаются (1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10). Аналогично по ходу рассмотрения новых случаев сложения и вычитания рассматриваются случаи прибавления (вычитания) по 3, по 4 и т. д. Работа в этом направлении продолжается в течение всего первого учебного года, а в конце его специально рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением суммы одинаковых слагаемых. Причем здесь уже ставится цель — научить детей понимать выражения «по стольку-то взять столько-то раз». Внимание детей каждый раз обращается на то, что слагаемые одинаковы, каждый раз выясняется, сколько таких слагаемых, чему равна их сумма. При решении текстовых задач, всегда сопровождаемых иллюстрацией, ставятся те же вопросы. Задачи эти по своей формулировке совершенно аналогичны тем, которые во II классе будут решаться умножением, но пока дети решают их с помощью нахождения суммы нескольких одинаковых слагаемых. Это прямая подготовка к рассмотрению умножения.

Именно с описанных упражнений начинается систематическая работа над действиями умножения во II классе. Ознакомлению учащихся со смыслом этих действий, некоторыми их свойствами, существующей между ними связью, взаимосвязью между компонентами и результатами этих действий посвящается около 30 уроков по теме. Рассмотрение этих и некоторых других вопросов теории предшествует составлению и систематическому изучению самих таблиц.

Это специфическая особенность представленной в учебнике для II класса системы изучения умножения и деления, которую нужно хорошо осознать учителю. Умелое проведение уроков, посвященных этим вопросам, должно вооружить детей такими знаниями, умениями и навыками, которые во много раз уменьшают нагрузку на память, позволяют обеспечить сознательное и прочное усвоение табличных случаев умножения и деления с меньшей затратой сил и времени.

Рассмотрим методику ознакомления со смыслом действий умножения и деления и теми вопросами теории, изучение которых предпослано составлению и разучиванию таблиц.

Знакомство с умножением начинается с раскрытия смысла этого действия и проводится на конкретном материале. Можно предложить учащимся задачу, для решения которой нужно найти сумму одинаковых слагаемых. Подобрать задачу следует так, чтобы ее содержание было легко показать наглядно. Затем, опираясь на знания, приобретенные в I классе, дети сначала, напишут решение этой задачи сложением.

Приведем выдержку из соответствующего урока.

Учитель говорит: «Будем решать задачу, слушайте внимательно.

«Продавец отсчитал покупательнице 4 раза по 2 яблока. Сколько всего яблок он отсчитал?» Что в задаче известно? (Что продавец отсчитал 4 раза по 2 яблока.) Что нужно узнать? (Сколько всего яблок он отсчитал.) Зарисуйте в тетрадях условие этой задачи, а Коля сделает рисунок к задаче на доске. Рисуйте яблоки в одной строчке». — Когда рисунки выполнены, учитель спрашивает:

— Поскольку яблок давал продавец каждый раз? (По 2 яблока.)

— Сколько раз по 2 яблока он давал? (4 раза.)

— Каким действием можно узнать, сколько всего яблок он дал? (Сложением, нужно к 2 прибавить 2, 2 и еще 2, получится 8 · 1. На доске появляется запись: 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ответ: 8 яблок.

— Чем интересна записанная сумма? (В этой сумме все слагаемые одинаковые.)

После этого учитель сообщает, что сложение одинаковых слагаемых называют умножением. До сих пор мы изучали сложение и вычитание. Сегодня начинаем знакомиться с новым, третьим арифметическим действием. Нужно звать его название — умножение, уметь его применять, записывать и читать соответствующие примеры.

Выполненную нами запись можно прочитать так: «По 2 взять 4 раза, получится 8». Записывается это с помощью знака действия умножения так: 2 -4 == 8. Мы записали решение нашей задачи умножением (точка — знак умножения). Число 2 в этой записи показывает, какие слагаемые складывались, а 4 — сколько их было. Вызванный ученик читает запись: «По 2 взять 4 раза, получится 8». Учитель сообщает, что ту же запись можно прочитать и по-другому: «2 умножить на 4, получится 8».

Рассматривается еще одна задача этого вида. Затем дети читают записанные на доске примеры на умножение и решают их с помощью сложения одинаковых слагаемых.

После этого выполняются упражнения в замене сложения одинаковых слагаемых умножением. Каждый раз при этом выясняется, какое число должно быть записано первым (то, которое показывает, какие слагаемые складывались), как обозначается умножение, какое число записывается вторым и что оно обозначает (сколько таких слагаемых).

Упражнения такого рода выполняются на следующих двух-трех уроках, причем наряду с такими примерами, в которых заменить сложение умножением можно, включаются и такие, в которых такая замена невозможна (слагаемые, хотя они чем-то и похожи друг на друга, не являются одинаковыми, например: 28 + 2 + + 8, 7 + 4 + 47 и т. п.).

Помимо решения задач на замену суммы произведением и наоборот, здесь, например, детям предлагается сравнить два выражения: 3 · 6 и 3 · 7.

Возможны разные подходы к решению:

1. Наиболее простой способ — заменить оба сравниваемых произведения суммами (удобно записать соответствующие примеры один под другим) так:

3 · 6 = 3+3+3+3+3+3

3 · 7=3+3+3+3+3+3+3

Сравнив суммы, легко заметить, что во второй из них одной тройкой больше, чем в первой, а из этого следует, что 3 • 7 больше, чем 3 • 6.

2. Не заменяя произведения суммами, рассуждаем так: запись 3 • 6 означает, что по 3 нужно взять 6 раз, иначе говоря, сложить 6 троек; 3 · 7 — это 7 троек, на 1 тройку больше.

Аналогично разбираются упражнения вида: 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6.

Через два-три урока вводятся названия: первый множитель, второй множитель, произведение. Одновременно показывается, что выражение 8 · 4 называется произведением, как и результат умножения чисел.

Параллельно с работой, направленной на усвоение детьми связи между умножением и сложением, продолжается и решение конкретных задач на деление.

В течение всех 30 уроков, отводимых на подготовку к составлению и изучению таблиц умножения, все задачи на деление приходится решать, опираясь на наглядность (на основе практических действий с предметами или с использованием схематических рисунков), так как знание связи между действиями деления и умножения и результатов табличного умножения в это время еще только формируется.

После решения задачи «6 карандашей раздали по 2 каждому ученику. Сколько учеников получили карандаши?» с соответствующей демонстрацией рассматривается вторая задача по учебнику (М. 2). Учитель сообщает, что обе эти задачи решены с помощью нового арифметического действия, которое называется делением, показывает, как записывается решение задач, как читаются соответствующие записи.

После того как дети усвоят конкретный смысл действия умножения и соответствующую терминологию, рассматривается переместительное свойство произведения. Это свойство может быть «открыто» самими учащимися, если хорошо организовать соответствующую практическую работу на уроке. Работа может быть проведена примерно так: учитель раздает детям различные прямоугольники, вырезанные из клетчатой бумаги, и каждый ученик подсчитывает, на сколько клеток разбит прямоугольник. Для этого считают, сколько клеток в одном столбике (например, 4) и сколько таких столбиков (например, 3). Результат подсчитывается устно с помощью сложения (4+ 4 + 4 = 12) и записывается. Затем ученик решает эту задачу другим способом.

Получаем две записи: 4 • 3 = 12 и 3 • 4 = 12. Сравнив результаты, дети замечают, что они равны. Сравнив выражения, устанавливают, что они отличаются только порядком множителей. Поскольку у детей были различные прямоугольники, полезно заслушать, как проведен подсчет числа клеток в разных случаях. Прослушав три-четыре примера, можно сделать вывод, который затем дети должны прочитать по учебнику.

Сразу же выполняются упражнения, требующие применения этого свойства в различных условиях. Заполнение таблицы, которая дает возможность сравнивать несколько произведений, отличающихся лишь порядком множителей, дает возможность уже на следующем уроке подвести детей к записи переместительного свойства произведения с помощью букв: а • b= b • а.

Следующий шаг в ознакомлении детей с умножением и делением — рассмотрение вопроса о связи между компонентами и результатом умножения, а после введения соответствующей терминологии и связи между компонентами и результатом деления. Связи эти раскрываются на основе рассмотрения задачи на нахождение неизвестного компонента действия по данным результату и второму компоненту.

Методика соответствующей работы аналогична той, которая использовалась при нахождении неизвестных компонентов сложения и вычитания.

Наиболее важны задания, связанные с составлением пар, троек, четверок примеров вида: 6 • 3 = 18, 3 • 6 = 18. При этом главное, чтобы дети поняли, что пример на умножение дает возможность решить пример на деление уже без опоры на наглядность. Начиная с этого момента можно вычислять произведения с помощью сложения, а соответствующие примеры на деление решать на основе связи деления с умножением. Поначалу результат полезно проверять на основе практических операций с множествами предметов.

До составления таблиц рассматриваются случаи умножения и деления с числами 1 и 10. Умножение 1 на любое число не должно вызвать затруднений (1 · 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1=5 и т. п.). Важно обобщить решение нескольких таких примеров, чтобы в дальнейшем пользоваться уже этим общим правилом.

Правило умножения на 1 должно быть введено учителем. Логическую ошибку допустил бы учитель, стремясь как-либо объяснить умножение на 1. В этом случае нельзя сказать, что здесь одно слагаемое, так как в сумме не может быть одного слагаемого; следовательно, на основе того определения умножения, с которым дети были ознакомлены, случай умножения на 1 истолкован быть не может. Иногда учителя вводят этот случай, используя переместительное свойство произведения, рассуждая при этом так: мы уже знаем, что 1 · 6 = 6, а произведение 6 · 1 отличается от данного только порядком множителей; следовательно, 6 · 1 = 6. На первый взгляд как будто все правильно, но на самом деле это далеко не так. Логическая ошибка допущена и в этом случае, так как переместительное свойство произведения не может быть распространено на случай умножения на 1, пока этот случай специально не оговорен как особый, не подпадающий под введенное определение действия.

Итак, случай вида 6 · 1 должен быть введен учителем как особый. Учитель может даже сказать, что в этом случае нельзя сказать, что у нас есть сумма одинаковых слагаемых, но договорились и этот случай считать умножением, причем считать, что произведение любого числа на 1 равно числу, которое мы умножили. На этот случай можно распространить и переместительное свойство: так, если 6 1 = 6, а мы знаем, что 1 · 6 = 6, то 6 : 1 = 1 · 6.

Умножение десяти сводится к умножению одного десятка: соответствующее пояснение дается в учебнике. Дети должны самостоятельно составить все примеры на умножение 10 в пределах 100. Для большей наглядности можно в данном случае вернуться к использованию пучков-десятков палочек (или их изображений).

На этом завершается первый этап работы над умножением и делением во II классе и начинается работа по рассмотрению последовательно всех табличных случаев умножения и деления.

Рассмотрение каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления ведется примерно по одному и тому же плану, с постепенным усилением доли самостоятельного участия детей в этой работе. При составлении таблиц используются все те приемы, которые были уже усвоены детьми на предыдущих уроках.

Начинается работа по изучению каждого случая таблицы умножения и деления (с числом 2, 3 и т. д.) с составления таблицы по постоянному первому множителю. При таком подходе в большей мере используется хорошо усвоенный детьми смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых. Дети легко устанавливают связь каждого следующего примера из таблицы с предыдущим. Однако уже здесь с самого начала (начиная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать для получения результата переместительное свойство произведения. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вычисляя произведение 2 • 9, можно заменить этот пример другим: 9 · 2 — и найти результат так: 9 + 9 = 18.

Каждая составляемая впервые таблица умножения того или иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уловили и принцип ее составления. Таблица записывается на доске столбиком, затем по отношению к каждому из примеров составляется соответствующий ему пример, получаемый перестановкой множителей, и два примера на деление. С такой работой дети тоже уже хорошо знакомы. Часть работы поэтому можно выполнить под руководством учителя, а остальную — поручить детям проделать самостоятельно. Эта работа должна обязательно дублироваться на доске, чтобы в тетрадях оказались правильно записанные таблица умножения и соответствующие таблицы деления.

Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух одинаковых чисел (например, при изучении умножения четырех: 4 · 4), так как все предыдущие случаи умножения данного числа являются уже известными — они могут быть получены в рассмотренных ранее таблицах, если переставить множители.

На это обстоятельство стоит обратить специальное внимание детей, а в итоге после рассмотрения каждой таблицы выписывать отдельно те новые случаи из данной таблицы, которые должны быть усвоены на память. Таких случаев всего 36.

При составлении таблиц полезно использовать наглядные пособия. Это могут быть карточки с изображенными на них парами, тройками и т. п. предметов, «числовые фигуры», разбитые на равные квадраты и прямоугольники, квадратный дециметр, разбитый на квадратные сантиметры, и вырезанный из картона угол, с помощью которого можно отделять заданное число квадратных сантиметров на этом пособии.

При составлении таблиц с использованием этих пособий следует обращать внимание детей на то, как может быть получен каждый следующий результат в рассматриваемой таблице из предыдущего, отрабатывать знание соответствующих рядов чисел.

На рисунке 1 показано, как с помощью числовых фигур, на каждой из которых изображено по 3 кружка, можно иллюстрировать произведения при составлении таблицы умножения трех. Цифры, надписанные над фигурами (например, 6), показывают номер каждой из них, они показывают, сколько взято фигур (второй множитель равен 6), внизу под каждой фигурой записано соответствующее произведение (18). Дети должны хорошо понять, что его можно получить, пересчитав все кружки, изображенные на этих шести фигурах. Эта же иллюстрация позволяет объяснить наглядно и получение соответствующих частных (внизу записано делимое, а число, записанное сверху, будет указывать, сколько раз по 3 пришлось взять, чтобы его получить).

Рис. 1

Разобрав такую иллюстрацию один раз, можно в дальнейшем использовать соответствующие рисунки, данные в учебнике по каждой таблице.

На этих рисунках не записаны числа, указывающие номера фигур; дети должны подсчитывать их число для определения результата. Это делает работу с иллюстрацией еще более сознательной.

Очень полезно использовать при изучении переместительного свойства умножения подсчет клеток, на которые разбит данный прямоугольник. Такого рода упражнения важны и при составлении и разучивании таблиц умножения и деления.

Допустим, идет работа над таблицей умножения числа 4. Предлагаем детям начертить в тетради прямоугольник, по одной стороне которого укладывается 4 клетки, а по другой— 10. Этот прямоугольник, разбитый на равные клетки, поможет им найти любое произведение из таблицы умножения числа 4. Так, чтобы найти произведение 4 • 6, достаточно в этом прямоугольнике отделить 6 столбиков клеток (по 4 клетки в каждом) и подсчитать общее число клеток в этих столбиках. Для ускорения подсчета полезно перенумеровать клетки, как это показано на рисунке 2, а.

Теперь легче увидеть, что в каждом столбике по 4 клетки и что отделено 6 столбиков. Подсчитав, сколько клеток в 6 столбиках, полезно записать полученный результат в правом нижнем углу соответствующего прямоугольника (рис. 2, б). Аналогично, скажем, для случая 4 • 8 (рис. 2, в).

2 а

2 б

2 в

Если для индивидуальной практической работы удобны описанные чертежи в тетради, то для общеклассной работы в тех же целях используется демонстрационная таблица, на которой изображен квадрат, разбитый на 100 равных квадратов, и специальное приспособление для работы с ним — две скрепленные под прямым углом линейки. На рисунке 3 показано, как с помощью такой таблицы и уголка может быть проиллюстрировано произведение 7 · 6. Чтобы получаемые при работе с описанным пособием произведения можно было записать, на лицевой стороне одной из линеек полезно приклеить (с помощью изоляционной ленты или лейкопластыря) карман из плотной бумаги, в который можно было бы вставлять карточки с нужным числом. Для этого придется заготовить карточки с соответствующими числами (все произведения из таблицы умножения однозначных чисел). Описанная работа служит хорошей подготовкой к рассмотрению сводной таблицы умножения, данной на обложке учебника.

Рис. 3

После рассмотрения каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления на всех следующих уроках должна проводиться систематическая работа по запоминанию таблиц. Установка на запоминание должна быть дана детям с самого начала. Случаи, которые должны быть усвоены на память, каждый раз выписываются не только в ходе классной работы, но и дома на специально для этого отведенной странице тетради.

Для запоминания легче более краткие формулировки при чтении примеров на табличное умножение. Поэтому их необходимо своевременно ввести и использовать наряду с известными. Это формулировки вида: «2 на 2 — 4», «6 на 3 — 18» (или «дважды два — 4, «трижды шесть — 18»),

В ходе заучивания таблиц важно разнообразить задания, постановку вопросов, внешнюю форму предъявления соответствующих упражнений. Это и решение заданных примеров из таблицы (подряд и вразбивку), и составление учащимися следующего примера из таблицы (например, дается учителем: 6 · 4 = , ученик отвечает: 24 — и называет следующий пример: 6 • 5, его решает другой ученик и т. п.), и составление примеров по заданному ответу (на умножение или на деление), причем в данном случае может быть получено не одно решение (12 = 3 · 4, 12 = = 2 · 6, 12 = 12 · 1). С ответом 3 может быть получено много примеров на деление и т. п., составление по данному примеру на умножение соответствующего примера на деление, а еще лучше, наоборот, по заданному примеру на деление составлять соответствующий пример на умножение и т. п. Эти упражнения могут быть предложены в игровой форме.

Полезно практиковать решение примеров цепочек вида: 2 · 3 · 4, 2 · 6 · 3 и т. п.

Приведем образцы некоторых более трудных, но интересных упражнений, которые полезно использовать в то время, когда уже навыки табличного умножения и деления должны отшлифовываться:

1) составьте все, какие можно, примеры на умножение двух чисел с ответом 12 (2 · 6, 6 · 2, 3 · 4, 4 · 3, 12 · 1, 1 · 12), с ответом 16, 20, 24, 26 и т. п. (некоторые дети, выполняя такие упражнения, приводят и примеры на внетабличное умножение и деление. Правильность их можно проверить с помощью сложения, например, 12 · 2 = 24. Проверка: 12 + 12 = 24 и т. п.);

2) из данных чисел выписать (или подчеркнуть, если числа записаны на доске) числа, которые делятся на 2 (на 3, на 4 и т. п.). Предлагать числа можно в любом порядке, например: 8, 11, 16, 15, 10, 14, 17, 9 или 21, 13, 12, 20, 6, 15, 18, 32 и т. п.;

3) заменить каждое из следующих чисел произведением трех множителей, например: 12 = 2 ·2 · 3; 18 = ...; 36 = ...; 64 = ...; 56 = ...; 40 = ... и т. п.

Решаются такие примеры подбором. Например, желая подобрать 3 числа, дающие в произведении 18, начнем с числа 2. Попробуем умножить на 2 : 2 · 2 = 4. Нет такого третьего числа, чтобы 4, умноженное на это число, дало 18. Значит, 2 • 2 не подходит. Попробуем 2-3 = 6. Это подойдет, так как 6 · 3 = 18. Запишем: 18 = 2 · 3 · 3. Другое решение: 18 = 3 · 3 · 2 и т. д.;

4) тоже довольно трудное упражнение — составить все возможные примеры на умножение и деление с данными числами так, чтобы и компоненты и результаты действия были числами из данного ряда, например 12, 6, 3, 8, 4, 2, 18.

После изучения всех случаев табличного умножения и деления рассматриваются вопросы, связанные с умножением и делением нуля и на нуль. Рассуждения, которые должны быть при этом проведены, достаточно четко изложены в учебнике.

По отношению к правилу умножения числа на 0 следует сделать ту же оговорку, какую мы делали, рассматривая умножение на 1. Никаких разъяснений здесь быть не может, учителю следует придерживаться той формулировки, которая дана в учебнике. Невозможность деления на 0 может быть пояснена ссылкой на связь между умножением и делением. В самом деле, если бы мы захотели разделить на 0 какое-то число, например 6, то это значит, что надо было бы найти такое число, которое при умножении на 0 (на делитель) дало бы 6 (делимое), но при умножении на 0 любого числа мы получим всегда 0. Значит, такого числа найти нельзя и делить на нуль нельзя.

Следующий этап в изучении умножения и деления в пределах 100 — рассмотрение случаев умножения и деления чисел, оканчивающихся нулем. Эти случаи легко сводятся к табличным, если рассмотреть их как умножение и деление десятков. Их решение может быть проведено детьми самостоятельно, а при проверке могут быть использованы описанные выше пособия.

Одновременно с изучением различных случаев умножения и деления (табличных, особых, умножения и деления чисел, оканчивающихся нулем) расширяется знакомство детей со свойствами изучаемых действий. Именно здесь рассматриваются различные способы умножения числа на сумму и суммы на число, т.е. распределительное свойство произведения относительно суммы [20].

Рассмотрение этого свойства может быть проведено примерно по тому же плану, по которому проводилось ознакомление со свойствами сложения и и вычитания. Начать можно с демонстрации, иллюстрирующей решение отвлеченного примера. Тогда лучше использовать и более абстрактные формы наглядного материала — ряды кружков, числовые фигуры, а можно начать и с решения разными способами текстовой задачи, аналогичной той, которая дана в учебнике.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/46288-doklad-na-temu-teoreticheskie-osnovy-formirov