Позиционная система счисления

Позиционная система счисления

Позиционная система счисления (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

И зобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у жителей Средней Азии.

Позиционная система счисления определяется целым числом, называемымоснованием системы счисления. Система счисления с основанием также называется-ричной (в частности,двоичной,троичной,десятичной и т. п.).

Целое число без знака в-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа:

, где — это целые числа, называемыецифрами, удовлетворяющие неравенству

Каждый базисный элемент в таком представлении называетсяразрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (значением показателя степени).

С помощью позиций в-ричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от  до , то есть всегоразличных чисел.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), числозаписывают в виде последовательности его-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

В ненулевых числах начальные нули обычно опускаются.

Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

Для позиционной с. Выбирается основанием некоторое натуральное число большее или равное двум. Любое неотрицательное целое число представляется как сумма степеней n с целыми коэффициентами в диапазоне от 0 до n-1. Эти коэффициенты записываются в виде цифр выбранной системы счисления.

Общая система счисления может быть определена, как такая группировка целых и дробных чисел, при которой каждое из них представляется формулой:

,

в которой n означает основание системы счисления, а символ a_i — i-тую цифру записи числа, a_i должно лежать в диапазоне от 0 до n-1. Индекс при цифре является номером разряда.

Существенным отличием позиционных систем от непозиционных является необходимость использования специального знака «нуля» для обозначения пропущенных разрядов. Отсутствие его вносило бы неразрешимую путаницу: было бы не ясно, например в числе 35 тройка означает три десятка, сотни, тысячи и ещё чего, а с использованием нуля невозможно спутать три десятка в числе 35 и три сотни в 305.

Применение систем счисления

Наиболее распространена система счисления с основанием 10 (так называемая десятичная). Пример разложения десятичного числа в сумму степеней: 1203 = 1 × 10³ + 2 × 10² + 0 × 10¹ + 3 × 10⁰

В информатике и вычислительной технике часто используются основания 2 (двоичная система счисления), 8 (восьмеричная система счисления) и 16 (шестнадцатеричная система счисления). Двоичная система счисления связана с особенностями функционирования цифровых электронных схем, работающих с двумя состояниями, выражаемыми цифрами 0 и 1. Использование систем счисления с основаниями 8 и 16 связано с тем, что для удобства двоичные цифры группируются по 3 и 4 соответственно, что позволяет использовать более компактную запись. В шестнадцатеричной и других системах счисления с основанием больше десяти используют в качестве недостающих цифр буквы латинского алфавита: A—F.

Троичная система счисления

С уществуют две разновидности трочной системы счисления:
1. несимметричная
2. симметричная.

Также существуют ЭВМ (например, Сетунь), работающие в троичной симметричной системе счисления. Цифрами в этой системе счисления были -1, 0 и +1. Это обеспечивало естественность представления отрицательных чисел и эффективную реализацию умножения. Для удобства записи чисел также в этом случае используется десятичная система.

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

• Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение неприменимо к унарной системе счисления, в которой используется только одна цифра.

• Для записи числаx вb-ричной системе счисления требуется цифр, где означает взятие целой части числа.

• Естественный порядок на натуральных числах соответствует лексикографическому порядку на их представлениях в позиционной системе счисления. Поэтому сравнивать их представления можно поразрядно, начиная со старшего разряда, до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом.

• Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё и таблицу умножения в соответствующей системе. (См., например, деление столбиком).

 переведём в двоичную систему:

44 делим на 2. частное 22, остаток 0

22 делим на 2. частное 11, остаток 0

11 делим на 2. частное 5, остаток 1

5 делим на 2. частное 2, остаток 1

2 делим на 2. частное 1, остаток 0

1 делим на 2. частное 0, остаток 1

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число 

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011₂ будет выглядеть как 14,3₈ или C,6₁₆.

Запись рациональных чисел

Рациональное число  в -ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа :

где  — цифры целой части (до разделителя),  — цифры дробной части (после разделителя),  — число разрядов целой части.

Конечной записью в -ричной системе счисления обладают только рациональные числа, представимые в виде , где  и  — целые числа:

где  и  представляют -ричные записи соответственно частного и остатка от деления  на .

Рациональные числа, не представимые в виде , записываются в виде периодических дробей.

Отрицательные основания

Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые нега-позиционными:

• -2 — нега-двоичная система счисления

• -3 — нега-троичная система счисления

• -10 — нега-десятичная система счисления

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/465742-pozicionnaja-sistema-schislenija