Изучение темы «Проценты» в школе

Изучение процентов в школе.

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, например, в выборах приняли участие 51% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 73%, промышленное производство сократилось на 11%, уровень инфляции составляет 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 2,5% жира и т. д.

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражение частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже на клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные ими таблицы, которые позволили быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат должен был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислении процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (применяемого за единицу). Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется и в реальной жизни, и в различных областях науки. В школьном курсе эта тема изучается в 5 – 6 классе, но ей отводится очень мало времени и места, в результате обучающиеся к моменту окончания основной школы не умеют решать задачи на проценты. В связи с новыми подходами к проведению итоговой аттестации выпускников 9-х классов, а также переходам на ЕГЭ, обучающимся предлагаются в контрольно-измерительных материалах задачи на проценты, причем они могут быть достаточно сложные, чтобы решить их без специальной подготовки. Особенно необходимо иметь навыки решения задач на проценты школьникам, решившим поступать в вузы на экономические, финансовые и банковские специальности.

Но как построить процесс изучения данной темы, чтобы наиболее эффективно реализовать основную образовательную задачу всего курса математики: научить учащихся оперировать понятиями «процент», «процентное отношение двух чисел», переносить полученные знания, умения и навыки в новую ситуацию, выработать умения выполнять действия и преобразования, используя данные понятия? 

Впервые о процентах учащиеся узнают в V классе. Проценты предлагается рассматривать после изучения десятичных дробей. «Что такое процент» - это первая тема, изучаемая линией. На данном этапе нужно сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Процент определяется как одна сотая часть некоторой величины. Причем перед введением определения следует рассмотреть примеры употребления процентов. Не стоит торопиться приступать к решению задач на нахождение процента от некоторой величины. Нужно дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию. Через систему упражнений учебника ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»: 25% величины – это - 1/4 данной величины; половина некоторой величины – это 50%; 30% величины втрое больше, чем 10% и т.п. Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами: 1/3 больше, чем 25%; 7/12 некоторой величины больше 50% этой величины; 23% меньше четверти; вся величина – это 100% и т.д. Я предлагаю учащимся упражнения (в виде самостоятельных работ, дополнительных индивидуальных заданий), направленные на осознанное усвоение материала.

С самого начала освоения понятия учащимся рекомендуется давать больше заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Такого типа упражнения не встречаются в учебниках.

Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознанно владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент, а потом несколько процентов этой величины. Для успешного усвоения материала можно предложить учащимся формулировки некоторых задач в развернутом виде, т.е. к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько вопросов. Так привлекается их внимание к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.

Старинный способ решения

Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Данный способ позволяет получить правильный ответ.

Решимзадачу 1 старинным способом.

Задача 2. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

5

30

40

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

5 10

30

40 25

Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного – 25 частей (140 : 35 = 4 г приходится на одну часть), т. е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного – 100 г.

Ответ: 40 г, 100 г.

Задача 2.

В общем виде решим задачу старинным способом.

Предположим, что смешиваются Х г а%-ного раствора кислоты (или а:100Х г) и Υ г b%-ного раствора кислоты (или b:100Υ г). При этом необходимо получить с%-ный раствор.

Решение: Пусть для определенности, а < с < b,

а b - с

с

b с - а

Задача 3. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение(старинным способом):

10 3

8

5 2

Таким образом 15 л – это 3 части, 15 : 3 = 5 л приходится на одну часть, тогда 5 ∙ 2 = 10 л добавили 5%-ного раствора.

Ответ: 10 л.

Математические знания, безусловно, должны носить четко выраженный прагматический характер. К такому кругу относятся знания, связанные с процентами. Их прагматическая значимость очевидна, в особенности для современного общества. В частности, вполне практические задачи повседневной жизни человека, возникающие, в том числе и у старшеклассников и непосредственным образом связанные с процентами, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, получаемых в основной школе, но и значительно большего круга математических понятий.

На данный момент основная задача школы состоит не только в том, чтобы дать учащимся глубокие знания, но главное в том, чтобы научить самостоятельно решать возникающие вокруг них проблемы. Из исследований известно, что учащиеся удерживают в памяти: - 10% от того, что они читают; - 26% от того, что они слышат; - 30% от того, что они видят; - 50% от того, что они видят и слышат; - 70% от того, что они обсуждают с другими; - 80% от того, что основано на личном опыте; - 90 % от того, что они говорят (проговаривают) в то время как делают; - 95% от того, чему они обучаются сами. Работа учителя сельской школы имеет свои особенности и очень многому обязывает. К сожалению, у наших ребят нет возможности выбрать себе школу, учреждения дополнительного образования, которые бы соответствовали интересам, способностям и возможностям ребят. Еще одной важной проблемой, возникающей в последние годы, является снижение мотивации обучения у учащихся, процесс обучения у них превращается в трудную, малопривлекательную работу. Проанализировав ситуацию в классах, где я веду математику, пришла к выводу: Математика начинается вовсе не со счета, что кажется очевидным, а с…загадки, проблемы. Только через преодоление трудностей, решение проблем, ребенок может войти в мир творчества.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/469672-izuchenie-temy-procenty-v-shkole