Применение неравенства Коши при решении заданий ЕГЭ

МКУ Управление образования МО «Северо-Байкальский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №36» п. Новый Уоян

XVIII межрайонные соревнования юных исследователей

«Шаг в будущее»

Название исследовательской работы:

Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ

Секция: Математика

Выполнил: Климов Никита

11 класс МБОУ «СОШ №36» п. Новый Уоян

Консультант: Адериха Анна Петровна

учитель математики

МБОУ «СОШ №36» п. Новый Уоян

2018 г.

Название работы: Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ

Секция: Математика

Выполнил:Климов Никита

поселок Новый Уоян

МБОУ «СОШ №36» 11 класс

Аннотация.

Для участия в конференции представлена исследовательская работа «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ». Эта темаявляется актуальной, так как предоставляет достаточно богатые возможности при решении различных уравнений, неравенств и других задач. Причем чаще всего применение «классического» неравенства дает «красивое», краткое решение, избавляя учеников от сложных и длинных преобразований, вычислений и на его принципе можно решить разного типа задания ЕГЭ по математике.

Цель работы: раскрыть преимущество способа применения неравенства Коши и изучить область его применения для различных типов заданий ЕГЭ по математике.

Методы исследования:анализ учебной литературы и ресурсов Интернета по данной теме; познавательно - поисковая деятельность; анализ и сравнение данных в поиске материала; анализ полученных результатов.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена доказательством неравенства Коши и анализом учебной литературы. Вторая часть – практическая, которая состоит из выбора типов заданий ЕГЭ на применение «замечательного» неравенства, демонстрации этих заданий учащимся 11 класса и отслеживания их уровня усвоения данной темы по технологии В.П.Беспалько.

В заключении делается вывод о том, что если знакомить учащихся с неравенством Коши, вырабатывать у них умения применения данного неравенства, то можно научить учащихся 11–х классов решать различного типа задания ЕГЭ по математике не только стандартными методами.

Название работы: Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ

Секция: Математика

Выполнил:Климов Никита

поселок Новый Уоян

МБОУ «СОШ №36» 11 класс

Описание работы.

В школьном курсе математики каждый пятиклассник встречается со средним арифметическим двух или нескольких натуральных чисел ( ;  ;…). При изучении геометрии каждый школьник знакомится со средним геометрическим двух отрезков ( ).

Между ними существуют удивительные соотношения, которые исследованы учёными. Огюстен ЛуиКоши (1789-1857), французский математик, сопоставив две средние величины, пришёл к выводу о том, что среднее арифметическое n чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел (). Меня заинтересовал этот факт, и я решил подробно изучить неравенство Коши, рассмотреть применение его к решению задач.

Оказалось, что подробное знакомство с этим неравенством может быть полезно мне не только для расширения кругозора, но также и потому, что на его принципе можно решить разного вида задания ЕГЭ.

Выбранная тема «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ» является актуальной, так как предоставляет достаточно богатые возможности при решении различных уравнений, неравенств и других задач. Причем чаще всего применение «классического» неравенства дает «красивое», краткое решение, избавляя учеников от сложных и длинных преобразований, вычислений.

Гипотеза исследования заключается в том, что помимо основных методов решения заданий ЕГЭ по математике можно применять неравенство Коши,позволяющеерешать задания разных типов.

Объект исследования: задания контрольно - измерительных материалов единого государственного экзамена по математике прошлых лет.

Предметом исследования: организация дополнительного занятия по теме «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ» для учащихся 11 класса.

Цель работы: раскрыть преимущество способа применения неравенства Коши и изучить область его применения для различных типов заданий ЕГЭ по математике

Достижение цели потребовало решения ряда задач:

1. проанализировать учебной литературы

2. показать применение неравенств для решения заданий ЕГЭ;

3. провести занятие «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ»

4. отследить уровень усвоения темы по технологии В.П.Беспалько

Неравенство Коши и его доказательство

Для начала рассмотрим определения среднего арифметического и среднего геометрического величин.

1. Среднее арифметическое - это сумма всех чисел, делённая на их количество.

Для двух чисел: (где a,b два различных неотрицательных числа);для трех чисел: ; дляn чисел: .

1. Средним геометрическим для n положительных чисел а₁, а_2,....., а_n называется такое положительное число а, что аⁿ = а₁ а₂… а_n, обозначается так: .

Задача. Пусть a и b неотрицательные числа. Доказать, что (1)

Доказательство. Составим разность левой и правой частей неравенства:

.

В итоге получили неотрицательное число, значит

Равенство левой и правой частей неравенства достигается, только тогда, когда a = b, если a≠b, то

Таким образом, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Это неравенство называют неравенством Коши в честь французского математика Огюстена Луи Коши. Докажем неравенство (1) для нескольких слагаемых.

Для четырех чисел неравенство Коши имеет вид: . (2)

Доказательство:.

Неравенство (2) станет равенством при a = b,c = d, , то есть при a = b = c = d.

Для трех чисел неравенство Коши имеет вид:.

Доказательство:, откуда a + b + c ≥.

Равенство в нем достигается при a = b = c.

Следствия из неравенства Коши:

1. Для любого положительного числа а справедливо неравенство

(3)

Причем равенство получится, если а = 1. Т.е. сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше двойки, причем равенство достигается, когда оба они равны единице.

1. Пусть а₁, а₂, …, а_n неотрицательные числа, тогда верно неравенство

. (4)

1. Неравенство Коши можно записать в следующем виде:

, a² + b²≥ 2ab, a² + b² + c² ≥ 3.

Анализ учебной литературы

Содержание школьных учебников по алгебре 8-11 классов было рассмотрено для общеобразовательных учреждений и для классов с углубленным изучением математики (Приложение 1).

Анализ учебников таких авторов как Макарычев Ю.Н., Никольский С.М., Виленкин Н.Я., Алимов Ш.А., Колмогоров А.Н., Дорофеев Г.В., показал, что изучение неравенств Коши рассматривается в основном в учебниках для углубленного изучения математики. В учебниках для общеобразовательных учреждений его мало где рассматривают.

Вывод: проанализировав содержание школьных учебников, я пришел к выводу, что тема «Неравенство Коши» в большинстве учебников не рассматривается. В тех же учебниках, где этот материал присутствует, он освещен недостаточно полно, что так же выявляет необходимость на вынесение данной темы на дополнительное занятие по математике.

Вариант дополнительного занятия «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ» (2ч)

Цель занятия: ввести понятие неравенства Коши и его доказательство, произвести контроль по усвоению знаний и умений.

Задачи: - актуализация знаний и умений учащихся;

- введение понятия неравенства Коши и его доказательства;

- решение заданий ЕГЭ.

- проверить у учащихся уровень применения неравенства Коши при решении заданий ЕГЭ.

Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Ход занятия:

1. Подготовительный этап

Цель: актуализация знаний и умений (понятие среднее арифметического, среднее геометрического).

Метод: репродуктивный. Прием: фронтальный опрос, работа у доски.

1. Мотивационный этап

Цель: заинтересовать учащихся в изучении понятия «неравенство Коши». Метод: объяснительно-иллюстративный. Прием: беседа.

Вид мотивации: историческая справка.

1. Ориентировочный этап

Цель: ввести понятие неравенства Коши, изложить доказательство, оформить его письменно.

Метод: объяснительно-иллюстративный. Прием: демонстрация

1. Этап применения понятия

Цель: применить полученное неравенство к решению задач. Метод: частично-поисковый.

Прием: практическая работа.

На данном этапе учащимся предлагается решить задания ЕГЭ профильного уровня любым известным им способом, а затем демонстрируется применение неравенства Коши к этим заданиям.

1. Найдите сумму коней уравнения (задание 5 ЕГЭ)

Решение: -ОДЗ.

, применим следствие (1) неравенства Коши для левой части уравнения:

Равенство будет только в случае, если

, Ответ: -1

2) По периметру участка прямоугольной формы, площадь которого равна 540 м², устанавливается ограда. Для двух противоположных сторон используется металлическая ограда по цене 3 рубля за 1 метр. Для других сторон – деревянная ограда, ее цена 5 рублей за 1 метр. Каковы должны быть размеры участка, чтобы полная стоимость ограды была наименьшей? В ответе укажите эту стоимость. (задание 10)

Решение: Если х – сторона участка, вдоль которой устанавливается металлическая ограда, то стоимость ограды можно выразить функцией:

Найдем наименьшее значение этой функции на промежутке (0;+∞). Применим неравенство Коши

Функция принимает наименьшее значение, если в неравенстве достигается равенство, то есть

Следовательно, стоимость участка будет наименьшей, если стороны участка будут 18м и 30м. Итого, 900+900=1800 Ответ: 1800

3) Найти наименьшее значение функции (задание 12)

Представим заданную функцию в следующем виде:

Применим неравенство Коши к этим пяти положительным слагаемым:

, то есть ,

Ответ: 5

1. Решить уравнение .      Если уравнение имеет несколько корней, в ответе указать больший  (задание 13)      

Решение: Из уравнения следует, что  . Представим уравнение данное в виде равносильного уравнения (делим в столбик):                

Если к левой части уравнения применить неравенство Коши, то получим

Отсюда следует, что примененное неравенство Коши превратилось в равенство. Следовательно, имеем

  , , или Ответ:  9.

5)Найдите наименьшее целое решение неравенства

(задание 15)

Решение: Найдя корни уравнения  , разложим квадратный трехчлен на множители; применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде (*)

Применим следствие (1) неравенства Коши:

Тогда неравенство (*) равносильно системе

Решая ее стандартным способом, получим   Ответ: -1

6) Доказать, что , где - стороны треугольника, а - его площадь (задание 16)

Решение: Известно, что , где - угол между сторонами . Так как , то .

Используя следствие неравенства Коши , получаем верхнюю оценку площади треугольника . По аналогии получаем ,

Тогда

7) В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м³ воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м³ меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м³ больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом? (задание 17)

Решение: Пусть объем бассейна равен A м³. Первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили

 м³ бассейна,

далее все три трубы, работая вместе t₂ч, налили

м³ бассейна.

В результате бассейн был налит полностью.

Применимследствие неравенства Коши . Рассмотрим произведение 

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке    имеет наименьшее значение в точке   . Следовательно, выражение   также будет иметь аналогичное значение в той же точке   . При этом:

Итак, при  получим   . А это значит, что в точке  выражение t₁ + t₂ также примет наименьшее значение. Ответ:

8) При каком действительном р уравнение имеет решение

(задание 18)

Решение. Преобразуем уравнение к виду

и -неравенство Коши

Используя неравенство Коши, имеем: 2+4 2=р-7, р=17 Ответ: 17

1. Этап проведения самостоятельной работы.

Цель: выявить эффективность дополнительного занятия «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ».

Выявление эффективности проводилось с помощью проверочной работы (Приложение 2 ), посредством содержания которой выявлялись умения:

a) выбрать опорное неравенство Коши (в отличие от стандартных методов);

b) правильно применить опорное неравенство;

c) выполнить преобразования, приводящие к результату.

VI. Этап подведения итога занятия

Цель: обобщить полученные знания и умения на занятии.

Метод: беседа

Определение уровня усвоения темы по технологии В.П.Беспалько

Обработка результатов, полученных по итогам самостоятельной работы, была проведена в соответствии с технологией, предложенной В.П.Беспалько. По данной технологии нами рассчитывался коэффициент качества усвоения, численное значение которого определяется из соотношения: , где - коэффициент качества усвоения; - число правильно выполненных операций; - число всех операций.

Была составлена таблица уровня выполнения заданий проверочной работы (Приложение 3 ).

В таблице ставился «1», если учащийся выполнил умение в том или ином задании и «0», если не выполнил.

Полученные результаты сравнили с уровнями, предложенными В.П.Беспалько: - низкий, - средний, - высокий (Приложение 3).

Анализ результатов по В.П.Беспалько показал эффективность изучения неравенства Коши при решении заданий ЕГЭ.

Заключение

Одним из достоинств использования неравенства Коши является краткость решения заданий и что иногда оно является единственным способом. Если понимать суть данного метода, то он будет отличным помощником в решении многих задач. А недостатком является то, что далеко не каждый ученик способен понять принцип работы метода. Результатом моей работы стали знания, с помощью которых можно сложные задачи решать очень просто. Обобщив и систематизировав знания о неравенстве Коши, я убедился в необходимости его изучения. Кроме того, эти знания повышают интерес к математике, как к науке. В ходе работы я приобрел навыки решения заданий ЕГЭ, используя неравенство Коши. Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к экзамену.

Список литературы

- Супрун В. П. Математика для старшеклассников: Задачи повышенной сложности / В.П. Супрун. – М. : Издательство ЛКИ, 2008. – 200с.

- Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

- Семенов А.Л., ГИА: 3000 задач с ответами по математике. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.

- Балаян Э. Н. Практикум по решению задач. Иррациональные уравнения, неравенства и системы/ Э.Н. Балаян. – Ростов н/Д: Феникс,2006. – 120 с.

- Вавилов В. В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства/ В.В. Вавилов, И.И. и др. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 248 с

- Гомонов С. А. /Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 кл.: учебное пособие / С.А Гомонов. – М.: Дрофа, 2006. – 254 с.

- Горская Е. С. Решение уравнений и систем, доказательство неравенств, нахождение наименьшего (наибольшего) значения функции / Е.С. Горская // Математика в школе. – 2008. – №8. – С. 48–49.

- Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах/ И.Х. Сивашинский. – М.: Наука, 1967. – 213 с.

- Седракян Н.М. Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: Физматлит, 2002.

- Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.

- Сорокин Г. А. Классические неравенства в задачах/ Г.А. Сорокин // Математика в школе. – 2005. – №3. – С. 35–41.

- Фирстова Н. И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств / Н.И. Фирстова // Математика в школе. – 2002. – №1. – С. 29–33.

- Чистяков И. Неравенства Коши о средних арифметическом и геометриче- 86 ском / И. Чистяков // Математика в школе. – 2000. – №7. – С. 18–24.

- Математика. 9 класс. Подготовка к ЕГЭ – 2019. Под редакцией Ф,Ф, Лысенко, С.Ю. Кулабухова. Учебно – методическое пособие- М.: «Легион – М», 2018 г.

- ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Под редакцией И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, М.А.Волчкевич- М.: «Экзамен», 2019.- 264с.

Приложение 1

Анализ содержания на изучение неравенства Коши в школьных учебников

Приложение 2

Вариант заданий проверочной работы на дополнительное занятие «Неравенство Коши при решении заданий ЕГЭ»

1. Решить уравнение

1. Найти наименьшее значение функции

1. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны  млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене ртыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит ).  Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

2. 4. В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 20 м³ воды в час. Вторая труба наливает в час на 2V м³ меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м³ больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 20% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 80% бассейна. При каком значении V  бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?

Приложение 3

Уровень выполнения заданий проверочной работы

Уровень усвоения материала

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/470597-primenenie-neravenstva-koshi-pri-reshenii-zad