Исследовательская работа «Принцип узких мест при решении математических задач»

МКУ Управление образования МО «Северо-Байкальский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №36» п. Новый Уоян

XVIII межрайонные соревнования юных исследователей

«Шаг в будущее»

Название исследовательской работы:

Принцип узких мест

Секция: Математика

Выполнили: Старюк Роман

Кондратьева Анна

9 класс МБОУ «СОШ №36» п. Новый Уоян

Консультант:Адериха Анна Петровна

учитель математики

МБОУ «СОШ №36» п. Новый Уоян

2018 г.

Название работы: Принцип узких мест

Секция: Математика

Выполнили: Старюк Роман, Кондратьева Анна

поселок Новый Уоян

МБОУ «СОШ №36» 9 класс

Аннотация.

В условиях развития современного общества, основной задачей при обучении школьников является реализация принципа всестороннего развития их личности. Это невозможно без развития такого качества личности как познавательная самостоятельность. На уроках математики развитие этого качества возможно реализовать с помощью решения нестандартных задач.

В данной работе мы предлагаем варианты, как можно выявить узкие места в задачах и использовать их для решения.Выбранная тема предполагает общий подход, объединяющий группу известных приемов.

Цель исследования: рассмотреть применение принципа узких мест для решения задач.

Достижение цели потребовало решения ряда задач:

1. рассмотреть понятие узкого места;

2. рассмотреть способы его выявления;

3. провести экспериментальную работу по теме «Формирование умений нахождения узкого места в задачах у мальчиков и девочек».

Для решения поставленных задач в работе использовались методы интерпретации, обобщения и эксперимент.

Конечно, перечисленные подходы далеко не исчерпывают способы поиска узких мест. Над темой мы будем работать и далее. Но считаем, что соединение специальных приемов с поиском узких мест позволит этим приемам стать более общими. Ну, а приведенные аналогии с житейскими ситуациями намекают на применимость принципа узких мест и за границами математики и даже науки — нестандартные задачи всюду встречаются...

Название работы: Принцип узких мест

Секция: Математика

Выполнили: Старюк Роман, Кондратьева Анна

поселок Новый Уоян

МБОУ «СОШ №36» 9 класс

Описание работы.

На современном этапе реформы школьного образования в связи с усилением внимания к развитию учащихся при обучении математике изменилась система задач. В обучении все чаще стали встречаться такие задачи, которые не укладываются в систему так называемых типовых задач. Их в методической литературе называют нестандартными задачами.Наша работа посвящена поиску решения такихзадач.

Решать нестандартнуюзадачу - все равно, что идти через дикий лес. Можно, конечно, выбирать дорогу наугад, но тогда скорее всего будешь попадать то в непроходимую чащу, то в болото. Придется ходить туда-сюда, но даже если повезет и пройдешь куда надо, то зря потратишь много времени и сил. Гораздо легче идти, если есть хоть какой-то ориентир. Скажем, забрался на горку и увидел, что надо обязательно перейти речку, а брод только во-о-о-н там. Это, конечно, уменьшает свободу выбора пути, но зато избавляет от ненужных блужданий.

Вот и в задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора — наименьшая. Именно это мы и назовем узким местом.

Актуальность исследования объясняется: во-первых, потребностью общества в творчески мыслящих людях; во-вторых, необходимостью дальнейшей разработки методики применения принципа узких мест для решения нестандартных задач.

В данной работе упор делается на разбор примеров, на то, как принцип узких мест помогает находить решения. Наряду с интуицией на помощь приходят известные приемы решения задач: минимальный контрпример, раскраска, принцип Дирихле.

Многие организации, в том числе и международные,  проводили исследования, в рамках которых специалисты изучали таланты девочек и мальчиков. В разных дисциплинах мальчики и девочки показали примерно одинаковые результаты, а вот в математике уверенно победили мальчики. По мнению экспертов, даже несмотря на стремление многих организаций приобщить представительниц прекрасного пола к математике и естественным наукам, мальчики по-прежнему уверенно удерживают лидерство в этих науках и демонстрируют более высокие результаты по сравнению с девочками.

Гипотеза нашего исследования заключается в том, чтонаиболее успешное формирование навыков применения принципа узких мест для решения задач происходит у мальчиков.

Объект исследования: нестандартные задачи.

Предмет исследования: процесс нахождения узких мест задач.

Рассмотрим способы их выявления.

Поиск главного препятствия

Самая главная идея: поглядеть на задачу «сверху». Если удастся понять, где нам будет всего труднее, то начать нужно именно с попытки преодоления этой трудности.

Пример 1. Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на равнобедренные треугольники с угломпри основании?

Решение:Узкое место- угол прямоугольника.

Его надо сложить из углов треугольников. Однако есть только углы в при основании и третий угол поучается . Из них прямой угол не сложишь. Значит, и весь прямоугольник на такие треугольники разрезать нельзя.

Если узкое место не находится в требуемой задачей конструкции, стоит поискать его в конструкции нашего подхода к задаче. Говоря образно, если не видно узкого места в лесу, то мы смотрим не с той горки (дерева) или не в ту сторону. Для начала надо будет поискать лучший обзор: вот при решении такой предварительной задачи и может возникнуть узкое место.

Пример 2. Несколько ученых переехали из страны A в страну B. Мог ли в результате средний IQ (коэффициент интеллекта) в обеих странах увеличиться?

Решение: На первый взгляд — нет, ведь «Если в одном месте прибыло, то в другом должно убыть». Но это касается только суммы, среднее ведет себя хитрее. Узкое место: понять, как оно себя ведет. Достаточно, впрочем, заметить, что повысить среднее IQ в стране B можно, принимая ученых с IQ выше среднего. И наоборот, чтобы повысить среднее IQ в стране А, надо избавляться от людей с IQ ниже среднего! Такое возможно, если среднее IQ в A выше среднего в B: организуем переезд ученых с IQ из зазора между средними.

Засада на переправе (непрерывность обычная и дискретная)

Если объекты или ситуации задачи можно разделить на две категории («два берега»), и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Часто именно это оказывается узким местом. Надо только убедиться, что не удастся переправиться, не замочив ног. В частности, если некоторая величина принимает целочисленные значения, изменяется на каждом шаге не более чем на 1 и в процессе меняет знак, то она обязательно проходит через 0. Такая величина называется дискретной, а прием решения — дискретной непрерывностью. Здесь положительные значения — один берег, отрицательные — другой, значение 0 — речка. Решение задачи этим методом сводится к нахождению подходящей дискретной величины (подходящей в том смысле, что прохождение через 0 дает то, что требуется) и проверке, что путь проходит через точки обоих берегов.

Пример 3. Журнал «Юный хакер» выходит нерегулярно — всего два или три номера в год. На обложке стоит номер журнала и год выпуска: № 1 - 2005, № 2 - 2005, № 3 - 2006, ... Докажите, что если редакцию не закроют, то рано или поздно выйдет номер, где два числа на обложке совпадут.

Доказательство: Процесс очевиден: выход журнала. Берега тоже: один - номера журналов, меньшие года выхода, другой — большие. За дискретную величину естественно взять разность номера журнала и года выхода: разность 0 доказывает утверждение. Ясно, что разность меняется на 1 в моменты выхода журнала или смены года. Ясно также, что сейчас она отрицательна, а лет через 1000 с хвостиком станет положительной. Значит, момент равенства года и номера все-таки наступит.

Зная, что узким местом конструкции является переправа, будем доказывать ее неизбежность - при доказательстве невозможности. Наоборот, при построении примера нужно так строить берега, чтоб они не соприкасались и переправ не возникало.

Пример 4. Можно ли расставить в таблице 10×10 числа от 1 до 100 так, чтобы ни в какой паре клеток с общей стороной или вершиной сумма не делилась а) на 3; б) на 4?

Решение: Ясно, что можно заменить все числа на остатки по соответствующему модулю. То есть в (а) можно расставлять 0, 1 и 2 (причем единиц на одну больше, чем нулей или двоек), а в (б) - 0, 1, 2 и 3 (всех поровну).

а) Надо избегать ставить нули рядом, их придется разбросать изолированными «озерками», окруженными единицами и двойками. Можно ли избежать соприкосновения единицы и двойки? Нет: «берег единиц» сомкнется с «берегом двоек», так как «речку» из нулей между ними построить нельзя...

б) Нельзя ставить нули рядом с нулями и двойки рядом с двойками. Расположим их изолированными «озерками». Остаются единицы и тройки. Можно ли их отделить друг от друга? Да, ибо теперь мы можем построить «речку», чередуя нули и двойки.

Подсчет узких мест (раскраска и принцип Дирихле)

Сколько пассажиров может перевезти поезд — зависит от числа мест. А как быстро пассажиры смогут высадиться — зависит от числа дверей. Точно так же, и в задаче можно получить искомую оценку, выделив узкие места и подсчитав их количество.

Пример 5. Дан правильный треугольник. Каким наименьшим числом меньших правильных треугольников его можно покрыть?

Решение: Накрыв почти весь треугольник чуть меньшим, мы быстро обнаружим, что оставшуюся узенькую полоску или даже просто сторону исходного треугольника одним меньшим треугольником накрыть нельзя. Итак, стороны — узкое место, но для подсчета оно не годится: ведь можно накрывать стороны и по частям. Заметим, однако, что мы не можем накрыть оба конца стороны (то есть две вершины) одновременно. Вот оно — узкое место! Каждый меньший треугольник может накрыть максимум одну из вершин исходного, поэтому понадобится не менее трех треугольников.

В примере выше вершины уже сами по себе стояли особняком. Если таких явно выделенных объектов нет, бывает удобно самим выделить часть из группы однородных объектов, например, покрасить часть клеток доски.

Пример 6. Докажите, что 11 коней не могут побить все оставшиеся поля шахматной доски.

Решение. Закрасим на доске 12 полей.

Никакие два из этих полей не могут быть побиты одним конем. Значит, чтобы побить даже только раскрашенные поля, понадобится минимум 12 коней. Комментарий к решению. Идея выделить 12 полей так, чтобы никакие два не бились одним конем — достаточно типовая. Заметив, что 12 кратно 4, естественно попытаться использовать симметрию доски. Тройки закрашенных полей естественно пытаться рассовывать по углам подальше друг от друга.

Частный случай и аналогия- узкое место задач.

Узкое место можно обнаружить, решив более легкую похожую задачу. Чаще всего подойдет либо частный случай нашей задачи, либо эта же задача, но со слегка измененными цифрами. Важно заметить, что узкое место может остаться тем же самым даже когда ответ меняется на противоположный! Пример 7. 20 детей разбили на пары мальчик-девочка так, что в каждой паре мальчик оказался выше девочки. После этого их разбили на пары мальчик-девочка по-другому. Может ли теперь оказаться, что в 9 парах из 10 девочка выше мальчика?

Решение: Поставим вопрос иначе: а может ли во всех новых парах девочка оказаться выше мальчика? Ясно, что нет — самый высокий мальчик (обозначим его ) просто выше всех, потому что он не ниже обоих участников любой старой пары. Хорошо, а второй по высоте мальчик ? Он выше всех девочек, кроме, быть может , которая в старой паре была с . Чтоб построить нужный пример, придется в новой паре поставить c . Точно также третьего по высоте мальчикапридется поставить с девочкой (раньше она была в паре с ). Дальше ясно: возьмем

> > > > . . . > > , в старых парах М и Dс одинаковым номером, в новых

> , > , . . ., > , и только < .

Конечно же, чаще узкое место более простого варианта задачи служит лишь подспорьем для поиска узких мест сложного варианта.

Пример 8. В строке записано 13 чисел. Известно, что сумма любых трех подряд положительна. Может ли сумма всех быть отрицательна?

Решение: Про 13 сразу неясно, а вот для 12 чисел можно было бы разбить на четыре тройки, поэтому сумма точно была бы положительной. Увы, 13 на 3 не делится, а дает в остатке 1. Это, однако, позволяет выявить узкое место: если пример все-таки есть, а сумма первых 12 положительна, то 13-е число должно быть отрицательным. Отрезая «тройки» справа, видим, что и первое число отрицательно. Если же резать на тройки, оставляя дырку в середине, то видим, что отрицательными должны быть также 4-е, 7-е и 10-е числа. Пора попробовать строить пример. Расчеты проще, если разных чисел меньше. Пусть на вышеуказанных номерах все числа равны −x, а на остальных+y (x > 0, y > 0). Тогда сумма любых трех подряд 2y − x, а сумма всех 8y − 5x. Из неравенств 2y − x > 0 и 8y − 5x < 0 следует что 1,6y < x < 2y. Взяв x = 9, y = 5, получим искомый пример.

Экспериментальная работа по теме «Формирование умений нахождения узкого места в задачах у мальчиков и девочек»

Задумывались ли вы о том, что мальчикам по привычке приписывают больше способностей к математике, чем девочкам? Конечно, дети часто опровергают эти стереотипы. Однако, определенная тенденция прослеживается. Об этом говорят данные участников олимпиад, опросы учащихся.

Мы решили провести эксперимент в своих классах по выявлению узких мест в задачах среди мальчиков и девочек, что послужило целью этой работы.

Было проведено три этапа:

1. подготовительный, ориентированный на ознакомление учащихся с принципом узких мест с проведение аналогии жизненных ситуаций;

2. сбор экспериментальных данных, направленный на работу с задачами;

3. обработка результатов, который содержит анализ и интерпретацию результатов эксперимента, сопоставление их с гипотезой, формулировка выводов.

На первом этапе мы продемонстрировали в 9 «а» и 9 «б» классах имеющиеся данные по принципу узких мест для задач, привели примеры.

На втором этапе предложили проявить познавательную самостоятельность 10 мальчикам и 10 девочкам в решении трех задач, в которых нужно:

а) указать узкое место задачи

б) предложить вариант решения

Вариант самостоятельной работы

Задача 1. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?Ответ: Нет. Указание. Узкое место: размер части ограничен размерами квадрата, а его размеры — площадью треугольника.

Задача 2. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 99 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты? Ответ: На 8 слагаемых. Указание. Каждое слагаемое не меньше своего простого делителя, а сумма девяти первых простых чисел больше 99.

Задача 3: По кругу записано 100 чисел. Известно, что сумма любых трех подряд положительна. Может ли сумма всех быть отрицательна?Ответ: Нет. Указание. Покажите, что в контрпримере каждое из чисел должно быть отрицательным.

И на третьем этапе провели анализ результатов.

Обрабатывали данные по трем критериям:

1. 1. узкое место найдено

   2. задача решена

   3. использовали другой прием

Одним из главных результатов можно считать подтверждение большей «предрасположенности» представителей сильного пола к применению принципа узких мест для задач, тогда как девочки продемонстровали более скромные результаты. Конечно, этот результат является усредненным, потому что некоторые девочки решали математические задачки быстрее большинства мальчиков.

Описанный эксперимент в целом оказался удачным потому, как учащиеся все же применяли принцип узких мест.

Заключение

Конечно, перечисленные подходы далеко не исчерпывают способы поиска узких мест. Мы считаем, что соединение специальных приемов с поиском узких мест позволит этим приемам стать более общими. Ну, а приведенные аналогии с житейскими ситуациями намекают на применимость принципа узких мест и за границами математики и даже науки — нестандартные задачи всюду встречаются.... Поэтому данная работа будет иметь свое продолжение.

Список литературы

1.  Бартенев Ф. Д. Нестандартные задачи по алгебре / Ф. А.Бартенев. — М.: Просвещение, 1976.— 95 с.

2.  Буслаева И. П. Методика формирования готовности учащихся старших классов к решению нестандартныхматематических задач: Дис.. канд. пед. наук. — М., 1996. — 217 с.

2.  Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера / Е. В. Галкин. — М.: Просвещение; Учебная литература, 1996. — 1 60 с.

3.  Губа С. Г. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей / С. Г. Губа // Математика в школе, 1972. № 3.- С. 19-22.

4. Канель-Белов А.Я., А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. — M.: МЦНМО, 2006.

5.  Колягин Ю. М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Дис. . д-ра пед. наук. М., 1977. - 398 с.

6. Шаповалов А. В. Принцип узких мест — М.: МЦНМО, 2006. — 24 с.

7. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математике - М.: Просвещение, 1995. - 544 с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/470601-issledovatelskaja-rabota-princip-uzkih-mest-p