Неравенство Коши и Коши-Буняковского

Неравенства Коши и Коши-Буняковского

Звездина Ирина Александровна, учитель математики ГБОУ СОШ 692.

I. Неравенство Коши.

Среднее арифметическое — это сумма заданного количества чисел, деленная на количество чисел:

Среднее геометрическое находится как извлечение корня в степени количества чисел, где подкоренное выражение — это произведение этих чисел:

1.Формулировка:

Если

гдеn .

Данное неравенство превращается в равенство, когда

2.Название:

Это неравенство называют неравенством Коши, потому что оно было доказано французским математиком Огюстом Коши в первой половине XIX века. В сокращенном виде неравенство Коши утверждает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. 

3. Доказательство неравенства Коши:

Для его доказательства упростим выражения, представив, что находим среднее арифметическое и среднее геометрическое только двух чисел: a и b. Доказательство неравенства для двух положительных чисел будет верно и для множества положительных чисел.

В данном случае извлекается квадратный корень, так как находится среднее геометрическое только двух чисел.

Из свойств числовых неравенств известно, что если k – m в результате дает положительное число, то k>m; если числа одинаковы, то k = m. Значит, если доказать, что разность среднего арифметического и среднего геометрического есть положительное число (или равное нулю), то значит, будет доказано и само неравенство Коши.

Вычтем из среднего арифметического двух положительных чисел их среднее геометрическое:

Приведем к общему знаменателю:

Многочлен — это квадрат разности . Получаем:

Квадрат любого числа есть число положительное или равное нулю (если a = b). Значит, в числителе будет неотрицательное значение. Знаменатель дроби также положителен. Значит, при вычитании из среднего арифметического среднего геометрического получилось неотрицательное значение. Таким образом, , что и требовалось доказать.

4. Применение в доказательстве неравенств

1)Доказать неравенство

(a+b)(a+1)(b+4)≥16ab,

гдеa ≥0 и b ≥0

Доказательство.

a ≥0 и b ≥0⇒ неравенство Коши принимает вид

a+b ≥2

a+1 ≥2

b+4 ≥2

Отсюда следует, что (a+b)(a+1)(b+4)≥16ab

Неравенство доказано

2)Доказать неравенство

≥8ab

Доказательство.

Согласно неравенству Коши при условии, что n=4, можно записать

=≥

Неравенство доказано

II. Неравенство Коши-Буняковского

Для произвольных действительных чисел справедливо неравенство

+ ( +( +

гдеn

Это неравенство превращается в равенство, когда существует константаa(a такая,чтодля произвольных значений

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/471310-neravenstvo-koshi-i-koshi-bunjakovskogo