Статья на тему: «Теоретические основы формирования у младших школьников навыков сложения и вычитания чисел от 11 до 20»

Статья на тему:Теоретические основы формирования у младших школьников навыков сложения и вычитания чисел от 11 до 20 на уроках математики.

В программе Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями.

Формирование понятий о натуральном числе и арифметических действиях начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Такой подход дает возможность использовать ранее накопленный детьми опыт, их первоначальные знания о числе и счете. Это позволяет с самого начала вести обучение в тесной связи с жизнью. Приобретаемые знания дети могут использовать при решении разнообразных задач, возникающих в их игровой и учебной деятельности, а также в быту.

Содержание курса арифметики в разные времена у разных народов было весьма различно. Индийцы, например, причисляли извлечение кубического корня к элементарным арифметическим операциям. С другой стороны, руководство профессора Пурбаха (1423-1491гг.) первого профессора Венского университета, читавшего лекции по математике, содержащий только материал, изучаемый ныне в начальной школе.

Л.Ф. Магницкий, определив арифметику или числительницу, как "художество честное, независимое и всем удобопонятное, многополезнейшее и многопохвальнейшее", рассматривает в своей книге пять "определений" или арифметических действий: "нумерацию или счисление, аддицию или сложению, субтракцию или вычитание, мультипликацию еже есть умножение и дивизио еже есть деление". Различно было понимание того, что называется арифметическими действиями. В латинских учебниках, которыми в течение нескольких веков пользовались школы всех народов, эти действия назывались виды (действия) (от лат. species). Это наименование определения арифметических действий впервые встречается в рукописяхXIII в. В XVI в. оно становится общеупотребительным и вытесняет термин часть арифметическая (от лат. рагsarthmetika). Индийские математики рассматривали шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней.

Так как индийцы этих действий не употребляли, то в этом нужно видеть собственную идею аль - Хорезми или влияние Египта через арабов.

Через перевод книги аль - Хорезми в XII в. на латинский язык эти действия вошли впервые европейские руководства Иордана Неморария (XIII в) и через него в монастырские школы. Лишь в конце XV столетия итальянский автор Лука Пачиоли заявляет, что удвоение и раздвоение чисел являются частными случаями умножения и деления и отбрасывает их.

Учебники для монастырских и сборных школ продолжали сохранять эти действия.

Из представителей университетской науки первыми от лишних действий отказались видные деятели математического образования в XVI в. Грамматеус (Шрейбер) в Венском университете и Гемма Фризиус.

Последний впервые дает определение: "арифметическим действием (от лат. Species) мы называем способ нахождения числа".

Психология много внимания уделяет проблеме механизмов формирования навыков, имеющей большое практическое значение. Доказано, что механическое заучивание гораздо менее эффективно, чем заучивание при участии сознания. Полезен практический принцип «повторение без повторения», когда при отработке навыка не затверживается одно и то же действие, но постоянно варьируется в поисках оптимальной формулы движения. При этом осознанию принадлежит очень важная роль.

Формирование вычислительных умений и навыков – это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов.

Устные вычисления имеют большое образовательное, воспитательное и практическое и чисто методическое значение. Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека, умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счет всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках математики теоретических знаний.

Профессор Московского университета С. А. Рачинский (1836 – 1902) обращал внимание на то, что способность к устному счету полезна и в практическом отношении, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он учил детей решать задачи быстро, оригинально, учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.

Прививая любовь к устным вычислениям, учитель помогает ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждает у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, заменяя менее рациональные более современными. А это важнейшее условие сознательного освоения материала.

Устный счет имеет широкое применение в обыденной жизни; он развивает сообразительность учащихся, ставя их перед необходимостью подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет облегчает письменные вычисления.

В настоящее время во всех областях жизни громадное значение имеют письменные вычисления, но и в то же время повседневная практика на заводе, в совхозе, в колхозе, а также военное дело требуют умения производить необходимый расчет быстро, точно, подчас на ходу.

Беглость в устных вычислениях достигается достаточным количеством упражнений. Ввиду этого в школе почти каждый урок начинается с устного счета ( в течение 7 – 10 минут ) и, кроме того, устный счет применяется во всех подходящих случаях не только на небольших числах, но также и на больших, но удобных для устного счета (например,18000:2, 15000:4 и т. п.). В большинстве случаев продолжительность устных вычислений определяет сам учитель, т. к. время, отводимое на устный счет, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала.

Таким образом, у каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет, развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий. Хотя они являются условными действиями, как в математике, так и в практической деятельности людей. Изучение истории развития любого понятия являются интересным не только для учеников, но и для нас самих, а изучение истории развития арифметических действий, безусловно, помогает заинтересовать младших школьников математикой.

Остановимся на некоторых понятиях:

Вычислительный приём- это ряд последовательных операций над данными числами, выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия над данными числами.

Вычислительное умение- предполагает ксвоение вычислительного приёма.

Правильность- это правильный выбор и выполнение операций, входящих в вычислительный приём.

Осознанность- это способность в любой момент объяснить, как выполнено вычисление и почему именно так.

Рациональность- это выбор из возможных вычислительных операций тех, выполнение которых легче и быстрее других приводит к результату.

Обобщенность- это перенос вычислительного приёма на большое число новых случаев.

Автоматизм- это выполнение операций входящих в вычислительный приём быстро.

Прочность- это сохранение вычислительного навыка на долгое время.

Навык- это действие, сформированное путем повторения, характерное высокой степенью освоения и отсутствием поэлементарной сознательной регуляции и контроля;

Сложение- это одно из четырех арифметических действий, посредством которого из двух или нескольких чисел (слагаемых) получают новое (сумму), содержащее столько единиц, сколько было во всех данных числах вместе обозначается знаком плюс.

Вычитание - это арифметическое действие, обратное сложению, т. е. нахождение одного из слагаемых (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному другому слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком - (минус) [31, с.20].

Работа по формированию понятий любого из арифметических действий (в данном случае сложение и вычитание) строится по одному и тому же плану.

- усвоение конкретного смысла арифметического действия.

- изучение свойств или правил арифметического действия.

- установление связи между компонентами и результатом арифметического действия.

- изменение результата арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Изучение свойств арифметических действий

Все свойства арифметических действий в начальной школе могут изучаться по одному и тому же методическому плану. Рассмотрим его.

Методический план по раскрытию свойств арифметических действий

- на наглядной основе составить простую задачу на раскрытие смысла арифметического действия.

- решить задачу несколькими различными способами.

- записать все решения задачи.

- сравнить записанные решения, выяснив:

а) сходства (задания и результат);

б) различие (способы вычислений).

- сделать частный вывод.

- пронаблюдать то же самое на других частных фактах.

- сделать общий вывод (сформулировать свойство).

В качестве примера рассмотрим работу над переместительным свойством сложения.

- На наглядной основе составляют задачу на раскрытие конкретного смысла действия сложения. (На наборном полотне выставлены кружки)

Задача. На наборном полотне 1 большой кружок и 3 маленьких. Сколько всего кружков на наборном полотне?

- задачу решают двумя различными способами.

1 способ: 1+3=4

Затем учитель меняет местами на наборном полотне большой и маленькие кружки.

способ решения задачи: 3+1=4

- Решения задачи записывают друг под другом:

1+3=4

3+1=4

- Решения сравнивают. Выясняют сходство (выполнив одно и тоже арифметическое действие – сложение; складывались одни и те же числа – 1 и 3; получился один и тот же результат - 4). Выясняют различие (при сложении числа 1 и 3 поменяли местами).

- делают частный вывод (только для чисел 1 и 4): числа 1 и 3 при сложении можно менять местами сумма при этом не меняется.

- то же самое наблюдается на других частных фактах.

Рассматривают пары примеров:

4+3=7 6+2=8

3+4=7 2+6=8

В них выделяют сходство (одно и тоже арифметическое действие, одинаковые слагаемые, одинаковая сумма). Делают вывод о том, что числа 3 и 4; 6 и 2 при сложении можно менять местами сумма при этом не меняется.

- делают общий вывод (формулируют свойство): от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Работа по усвоению свойства

Свойство закрепляется на системе специально подобранных заданий четырёх видов.

- Прочитать выражения (примеры) и найти их значения различными способами: 3+6; 2+8; 5=3.

- Прочитать выражения (примеры) и найти их значения удобным способом: 1+7; 2+6; 5+2.

- Преобразовать выражение: 5+4=4+… ; 7+1=…+7; 6+…=3+6.

- Решить задачу различными способами. Задача: «В яхт-клубе было 5 парусников. Построили ещё 2 парусника. Сколько парусников стало в яхт-клубе?»

Учащиеся знакомятся с теми свойствами арифметических действий, которые являются теоретической основой изучаемых приёмов устных и письменных вычислений. Изученные свойства позволяют рационально выполнять вычисления, отыскивать наиболее рациональный способ решения задач.

Теоретико-множественный смысл сложения

Определение. Для ¥ а, b € No суммой а+б называется число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и B таких, что а=n(А),b=n(B), А ∩ В=ø

a+b=n(A)+n(B)=n(Aобъдинение B).

Например, если множество А содержит 6 элементов, а множество В – 2 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 6+2, то есть 6+2=n(A)+n(B)=n(AобъединениеВ)=8;

6+2=8

Таким образом, сложение натуральных чисел, как действие нахождения суммы, связано с объединением суммы, связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Выясним теоретико-множественный смысл равенства а+0=а. Если

а= n(A), 0=n(Ǿ), то а+0=n(А)+n(Ǿ)=n(Aобъед Ǿ)=n(A)=a, откуда а+0=а.

Итак, сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Такая взаимосвязь позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А объединяется с В = В объединяется с А. Действительно, если а=n(A),b=n(B) и A∩В=Ǿ, то а+b=n(A объединяется с В)= n(B объединяется с А)=b+a/

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет также обосновать выбор действий при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается сложением: «Катя нашла 3 гриба, а Маша- 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А – грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(A)=3,n(B)=4 и А∩В, то n(A объединяется с В)= 3+4.

Вычислим значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3+4=7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.

Теоретико-множественный смысл вычитания

Определение. Для ¥ а, b € No разностью a-b называется число элементов в дополнении множества В до множества А таких, что а=n(A),b=n(B) и В € А. а-b=n(A)-n(B)=n(A\B)/

Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 3 элемента и В € А, то число элементов в дополнении множества В до множества А равно радости 5-3, то есть

5-3=n(A)-n(B)=n(A\B)=2; 5-3=2.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А\Ǿ=А, А\А=Ǿ, то а-0=а и а-а=0.

Таким образом, вычитание целых неотрицательных чисел, как действие нахождения разности, связано с вычитанием конечных непересекающихся множеств.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается вычитанием: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 берёзы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев; множество В берёз, оно является подмножеством множества А; и множество С лип – оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условиюn(A)=7,n(B)=4 и В € А, то n(C)=n(A\B)=n(A)-n(B)= 7-4/

Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи:

7-4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы [31, с.20].

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/48172-statja-na-temuteoreticheskie-osnovy-formirova