Доклад на тему «Модуль, как расстояние на числовой прямой (геометрическая интерпретация модуля)»

1. Понятие модуля. Основные свойства

Модулем, или абсолютным значением действительного числа называется число, обозначаемое через |а| и определяемое следующим образом:

|а| = {а, если а ≥ 0,

{-a, если ˂ 0

Рассмотрим некоторые свойства модулей (приведённые ниже соотношения верны для любых значений переменных)

1. |a| = |-а| ;

2. |a₁-a₂...a_n|= |a₁|-|a₂|-...-|a_n|

(отсюда, в частности, следует, что |a²| = а² ;

1. | а+b|≤ |a| + |b|

2. | а- b|≥ |a| - |b|

3. а² = |а|

Справедливость свойств 1) и 2) предлагаем вам проверить самостоятельно, а

доказательство свойства 3) рассмотрим подробно.

Запишем два очевидных неравенства, следующих из определения модуля:

- | а|≤ a≤ |a|

- |b|≤ b≤ |b|

Сложим их:

-(|a| + |b|)≤ а+b≤ |a| + |b|

Умножим все входящие сюда выражения на -1 со сменой знака неравенств:

-(|a| + |b|)≤ -(а+b ) ≤ |a| + |b|

Модуль |а+b| равен либо а+b, либо -(а+b) , поэтому в любом случае

\а +b |≤ \а |+|b| , что и требовалось доказать.

Доказательство свойств 4) и 5) оставляем вам в качестве упражнения.

Заметим, что свойство 3) можно обобщить на случай любого числа слагаемых. Запишем это обобщение, как свойство За)

3а) |a₁-a₂...a_n|= |a₁|-|a₂|-...-|a_n|

Можно записать в общем виде метод решения уравнений вида |f(х)| = с , где с — некоторое число.

1. с > 0. Тогда получим равносильный переход:

|f(х)| = с=[|f(х)| = с,

[|f(х)| = -с

1. с = 0. Поскольку модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равняется нулю, то при с=0 уравнение |f(х)| = с, равносильно уравнению f(х) = 0.

2. с < 0. Так как модуль числа не может принимать отрицательных значений, при с < 0 уравнение |f(х)| = с, не имеет решений.

Таким образом,

1. при с > 0 уравнение |f(х)| = с, равносильно совокупности

[|f(х)| = с,

[|f(х)| = -с

1. при с = 0 уравнение |f(х)| = с равносильно уравнению f(х) = 0.

2. при с < 0 уравнение |f(х)| = с не имеет решений.

Можно записать в общем виде способ решения уравнений вида |f(х)| = g(x) где f(х) и g(x) некоторые функции. Справедлив равносильный переход

|f(х)| = g(x) =

Этот переход можно записать и в другом виде. Заметим, что систему (1) можно заменит системой

подумайте самостоятельно, почему так можно сделать).

Выполним равносильные преобразования:

|f(х)| = g(x) =

Таким образом,

|f(х)| = g(x) =

2. Модуль как расстояние на числовой прямой (геометрическая интерпретация модулей

Как известно, каждое действительное число изображается определённой точкой на числовой оси. Расстояние от точки, соответствующей числу а, до начала координат равно|(a)| . Это частный случай более общего утверждения: расстояние между точками с координатами а и b равно [a — b)| . Некоторые задачи с модулями можно решить, используя понятие расстояния. Рассмотрим решение задачи |х+2| = 3.

Переформулируем задачу в терминах расстояний. Поскольку |х+2|= |х—(—2 )| , то значение этого модуля равно расстоянию от точки с координатой х до точки с координатой -2 Таким образом, требуется найти координаты всех точек числовой оси, удалённых от точки с координатой -2 на расстояние 3. Таких точек две: их координаты равны -5 и 1 (Рис. 1).

Решить уравнение |х —3|+|х+5|=10.

Решение. Поскольку |х+5|= |х—(— 5)|, то данная задача равносильна такой: найти координаты всех точек X, сумма расстояний от которых до точек А и В равна 10, где А имеет координату -5, В — координату 3, Запишем соответствующее равенство: АХ+ИХ=10.

Рассмотрим три случая:.j

1) Точка X лежит на отрезке АВ (возможно, совпадая с одним из его концов: рис 2, а).

В этом случае АХ+ВХ=АВ=8 — следова­тельно, точки отрезка АВ нам не подходят.

2) Точка X лежит левее точки А (рис. 2, б). Тогда

АХ+вХ=АХ+(ВА+АХ)=8+2АХ=10. откуда АХ=1, и точка X имеет координату -6. 3)Точка X лежит правее точки В (Рис 2, в). Рассуждая аналогично, находим, что ВХ=1, и координата точки X равна 4.

Ответ. -6; 4.

Заметим, что эту задачу конечно, можно было решить и способом, описанном а п.1, рассмотрев три промежутка (- со ;-5]. (-5;-3]; (3; + со ) и раскрыв на каждом из них знаки модуля. Сравнивая два способа решения подобных задач можно заметить следующее: как правило, геометрическая интерпретация более

наглядна, но решение путём разбиения числовой оси на промежутки и раскрытия знаков модуля на этих промежутках удобнее для записи.