ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Автор-составитель :

ТАИРОВА СВЕТЛАНА ЕВГЕНЬЕВНА,

учитель математики,

высшая квалификационная категория

ЕГЭ. Математика.

С1 для «чайников»

(пособие для учащихся 10-11 классов)

г. Югорск, 2014 год

Оглавление

Пояснительная записка

Актуальность пособия

ЕГЭ по математике — это очень важный экзамен для большинства старшеклассников, результаты которого напрямую повлияют на их шансы поступления в желаемый ВУЗ, а значит и на дальнейшую судьбу. Основная масса конкурентных баллов заложена во второй части ЕГЭ по математике, обычно ее называют частью С («Це) ЕГЭ по математике. Во многом именно процент выполнения этой части решает дальнейшую траекторию жизни школьника.

Проведенный мною анализ задач С1 ЕГЭ по математике помогает сделать следующий вывод: задание С1 по математике никогда не бывает осложнено так, чтобы его невозможно было решить стандартными подходами. Вывод: не надо бояться браться за решение задания С1 ЕГЭ по математике. Особенное если это тригонометрическое уравнение.

Но, согласно анализа ФИПИ¹за 2012-2013 гг., к выполнению, к примеру, уравнения приступило 72% выпускников, получили 2 балла – 34,5%,получили 1 балл –10,1%, 0 баллов – 27,4%, не приступали к решению – 28%. Если взять уравнение к выполнению задания приступили 27%, 2 балла получили 10,1%, 1 балл – 6,8%, 0 баллов – 10,1%, не приступали к решению – 73%.(Хотя по технике исполнения второе уравнение гораздо легче первого). Я выделила 1 балл потому что именно за решение С1 дается 1 балл. И это только первичный. Если смотреть по шкале перевода первичного балла, то получение пятнадцатого первичного балла добавляет к результату три вторичных.

И ещё один момент- на сегодня в открытом банке заданий ЕГЭ размещено всего 17 тригонометрических уравнений. Получается, что как такового банка заданий пока не существует. И выпуск этого пособия – возможность систематизировать материал по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Цель пособия

Целью выпуска данного учебного пособия является помощь школьникам в подготовке к ЕГЭ по математике по разделу «Решение тригонометрических уравнений» и создание базы данных заданий для подготовки к ЕГЭ по данной теме.

Практическая новизна и главная идея пособия

В данном пособии приводятся подробныерешения типовых задач по решению тригонометрических уравнений, предлагаемых с 2007 года по 2013 год Московским институтом открытого образования в различных контрольных, диагностических, тренировочных, демонстрационных и экзаменационных работах по математике для школьников 10 и 11 классов и размещенных в открытом банке заданий ФИПИ². Изложение материала построено на решении примеров и сопровождается всеми необходимыми для этого теоретическими сведениями. Практическая новизнапредставлена,во-первых, тем, что сведения предоставляются по ходу решения задач, чтобы было наглядно видно, как именно на данном шаге можно применить конкретнуюформулу или правило. Предложенная форма подачи материала позволяет систематизировать знания, облегчает понимание сложных понятий и решений. Во-вторых, нет разбиения по способам решения. Каждый раз уравнение несет в себе новый элемент: запись, способ решения, формулу и пр. Это заставляет, даже решая готовое, думать и предполагать, какой шаг в данный момент можно предпринять. В-третьих, будет собран материал из различных источников по подготовке к экзаменам: открытого банка заданий, тренировочных и диагностических работ.

Успешность выполненной работы в основном зависит от знаний и опыта школьника. Но  в условиях стресса влияют и другие факторы. Часто забываешь о тонкостях, нюансах, вариантах, частных случаях, различных методах. Поэтому главная идея пособия – научить применять общие способы решения тригонометрических уравнений.

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2»

г.Югорск 2014

Предисловие

В этой части пособия для «чайников» будут рассмотрены подробные решения тригонометрических уравнений. Раздел получится довольно большим, ноне отказываться же из-за этого от возможности заработать неплохой балл на ЕГЭ. Прежде чем приступить к рассмотрению решений уравнений, запомните – тригонометрия очень проста, ну очень! Сложности в ней не больше, чем в таблице умножения. Ну не буду сейчас это все рекламировать – увидите сами. Задание С1 на решение тригонометрических уравнений состоит из двух частей. За каждую начисляется по 1 баллу первичному, они же по три бала вторичных. В этой части пособия мы рассмотрим пока только решение уравнений.

Что надо знать прежде всего?

Углы можно измерять в градусах, можно в радианах. Это как сахар можно покупать килограммами, а можно мешками. Например,. Кстати 3,14 радиан принято заменять символом , а слово радиан не прописывать. Для того же угла А запишем: .

Градусы можно переводить в радианы и наоборот.

Таблица 1. Значения величины угла в градусах и радианах

Таблицу надо выучить. При этом помните, что вместо надо подставлять 180⁰:

Значения тригонометрических функций для некоторых значений углов:

Таблица 2. Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса для некоторых углов

Существуют простейшие тригонометрические уравнения, решения к которым надо запомнить:

Таблица 3. Запись решений для простейших тригонометрических уравнений

Общие виды решений уравнений:

Таблица 4. Общие виды решений тригонометрических уравнений

Примеры решений тригонометрических уравнений

Пример 1. Ре­ши­те урав­не­ние .

Решение:

- синус двойного аргумента

- формула приведения

Подставим:

Перенесем в левую часть cosx, изменив знак:

Вынесем общий множитель cosx за скобки:

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:

Ответ:

+ πn,n,
.

Замечание:

В некоторых решебниках можно в качестве ответа на второе уравнение встретитьЭто тоже правильный ответ. Просто мы записали в общем виде.

Где брать ?В таблице 2. Сообразили? Правильно! ищем внутри таблицы в строке cинусsin. - в соответствующем столбике.

Почему в первом случае k заменили на n? Ну вроде как положено – решения разные, в одном решении записывается k, в другом n.

Что касается формул приведения. Выучить их наизусть невозможно, поэтому познакомимся с ними поближе.

Надо знать знаки тригонометрических функций по четвертямкоординатной плоскости. Правило простое – синус это у, косинус – это х, тангенс – отношение у к х, котангенс – отношение х к у.

Таблица 6. Знаки тригонометрических функций

Формулы приведения – это формулы, в которых находятsin,cos,tg,ctgвыражений типа . Причем выражения в скобках приводятся к х.

Если в скобках целое число π, то sin,cos,tg,ctgприсутствуют в начальной формуле и остаются в конечной формуле.

Если в скобках целое число , то в конечной формуле sinзаменяют на cos,cosнаsin,tgнаctg,ctgнаtg.

В конечной формуле может поменяться знак. Это зависит от исходной функции.

Например,

а) находим . В формуле π. Синус останется в конечной формуле. π это 180⁰. Угол π + х попадает в 3 четверть. В третьей четверти синус отрицательный. Получаем .

б) находим . В формуле π. Синус останется в конечной формуле. π это 180⁰. Угол π -хпопадает во 2 четверть. Во второй четверти синус положительный. Получаем .

в). В формуле . Значит синус поменяем на косинус. это 90⁰. попадает во вторую четверть. Во второй четверти синус положительный. Получаем:.

(В перечень примеров)

Пример 2. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

- формула приведения. Косинус меняем на синус. .возвращаемся в 3 четверть. В 3 четверти cosотрицательный.

Подставим:

Перенесем все в левую часть (не забываем при переносе менять знак):

Вынесем общий множитель за скобки:

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 3³. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

- косинус двойного аргумента (УЧИТЬ)

- формула приведения. Косинус поменяется на синус. попадает в 1 четверть. В 1 четверти косинус положительный.

Подставим:

Из основного тригонометрического тождества выразим

Подставим и перенесем все в одну часть:

Приведем подобные:

Вынесем общий множитель за скобки:

=0

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 4. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

- формула приведения. Синус поменяется на косинус. возвращаемся в 3 четверть. Синус отрицательный.

Получаем:

Перенесем в одну часть:

Вынесем общий множитель за скобки:

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:

Ответ:

+ πn,n

(В перечень примеров)

Пример 5. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

- формула приведения. Синус меняем на косинус. попадаем в 4 четверть. Синус отрицательный.

Заменяем и переносим все в одну часть (часто повторяющаяся операция. Не знаешь что делать – перенеси в одну часть все выражения. Или вынеси за скобки).

Вынесем общий множитель за скобки:

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:

Ответ:

+ πn,n

(В перечень примеров)

Пример 6. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

- косинус двойного аргумента.

- формула приведения. Косинус меняем на синус. попадает в 1 четверть. Косинус положительный.

Заменяем и переносим все в одну часть:

Из основного тригонометрического тождества выразим и подставим:

Приведем подобные:

Вынесем общий множитель за скобки:

=0

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример7. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

Произведение двух выражений равно 0, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла. Получаем:

Ответ:

,

(В перечень примеров)

Пример8. Ре­ши­те урав­не­ние

Решение:

Произведение двух выражений равно 0, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла. Получаем:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 9. Ре­ши­те урав­не­ние .

Решение:

Косинус меняем на синус. попадает в 4 четверть. Косинус положительный.

– синус двойного угла

Получаем:

Ответ:

+ πn,n

(В перечень примеров)

Пример 10. Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение:

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 11. Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение:

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 12. Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение:

. Синус меняем на косинус. Угол попадает в 3 четверть. Синус отрицательный.

Получаем:

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 13. Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение:

сначала применим формулу разности квадратов, затем формулу косинуса двойного угла.

Получаем:

Разделим обе части уравнения на (эту фразу обязательно пишем, в смысл вдаваться необязательно).

Воспользуемся формулой :

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 14. Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение:

.

Сначала формула квадрата разности двух выражений. Затем основное тригонометрическое тождество ( ) и синус двойного угла ( ). Получаем:

Разделим обе части уравнения на (эту фразу обязательно пишем)⁴.

Воспользуемся формулой :

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 15. Ре­ши­те урав­не­ние:

Решение:

-синус двойного угла.

Группируем:

Выносим в первой скобке общий множитель:

Ещё раз выносим общий множитель:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 16. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

-синус двойного угла.

Разделим каждое слагаемое на 2.

Группируем:

Выносим общие множители в каждой группе:

Выносим общий множитель:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 17. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

-синус двойного угла.

Разделим каждое слагаемое на 2.

Группируем:

Выносим общие множители в каждой группе:

Выносим общий множитель:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 18. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Преобразуем правую и левую части:

. В левой части просто поменяли местами, в правой применили формулу для косинуса двойного угла. В левой части вынесем минус за скобки:

. В левой части в скобках косинус двойного угла:

.

.

Перенесем в одну сторону:

Вынесем общий множитель:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

Ответ:

+ πn,n

(В перечень примеров)

Пример 19. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

В левой части косинус двойного угла, в правой части – формула приведения (синус меняем на косинус. Угол попадает в 1 четверть. Синус положительный).

.

Теперь в правой части косинус двойного угла, в левой – сокращение.

Из основного тригонометрического тождества:

.

Получаем:

.

Раскроем скобки,приведем подобные, перенесем все в одну часть:

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 20. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

В левой части синус двойного угла и перенесем все в одну часть:

.

Сгруппируем:

В первой скобке вынесем общий множитель за скобки:

Ещё раз выносим общий множитель:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 21. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Используем формулу синус двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

.

Раскроем скобки, перенесем все в одну часть:

Приведем подобные:

Умножим каждое выражение на (-1):

Разделим каждое выражение на . (Это предложение прописываем обязательно).

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 22. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Воспользуемся формулой синус двойного углаи основным тригонометрическим тождеством:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Разделим каждое выражение на . (Это предложение прописываем обязательно).

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 23. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Преобразуем выражение

Получаем уравнение

Вынесем общий множитель за скобки:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

Ответ:

+ πn,n

(В перечень примеров)

Пример 24. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

Вынесем общий множитель:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 25. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла:

Приведем подобные:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 26. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество и формулы приведения:

Умножим обе части равенства на (-1):

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В переченьпримеров)

Пример 27. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

.

Сгруппируеми вынесем общий множитель:

Вынесем общий множитель:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 28. Ре­ши­те урав­не­ние: .

Решение:

.Разделим обе части на . Получим:

. Основания равны, значит показатели тоже равны.

.

Перенесем в одну часть, получим однородное уравнение первой степени.

Разделим обе части уравнения на (эту фразу обязательно пишем).

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 29.Ре­ши­те урав­нение .

Решение:

Введем переменную t = 5x.

Вынесем общий множитель:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 30. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Введем переменную .

- косинус двойного угла.

Сделаем замену и подставим в уравнение:

Рассчитаем дискриминант :

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 31. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 32. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 33. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

. Синус меняем на косинус. Угол попадает во 2 четверть. Синус имеет знак «+». Плюс возводим в квадрат.

.

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 34. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 35. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Разделим обе части на .

Основания равны, значит показатели равны:

Разделим обе части на

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 36⁵. Ре­ши­те урав­нение

Решение:

При возведении степени в степень показатель перемножаются:

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ:

+ πn,n,
.

(В перечень примеров)

Пример 37.⁶ Ре­ши­те урав­нение

Решение:

–косинус двойного угла

(из основного тригонометрического тождества)

Разделим каждое выражение на 2:

Введем переменную . Произведем замену:

уравнение имеет два корня

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 38.⁷ Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Дробь равна нулю, если знаменатель не равен нулю, а числитель равен нулю.

2)

Ответ:

,

(В перечень примеров)

Пример 39.⁸ Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 40.⁹ Ре­ши­те урав­нение

Решение:

. Но мешает число 7. Делаем следующее:

Введем переменную

Ответ:

(В перечень примеров)

Пример 41.¹⁰Ре­ши­те урав­нение

Решение:

Ответ:

(В перечень примеров)

Задания для самостоятельного решения

Перечень уравнений пособия

Источники информации

Открытый банк заданий ЕГЭ

МИОО «СтатГрад»

Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания общеобразовательных предметов (на основе анализа типичных затруднений выпускников при выполнении заданий ЕГЭ 2013). Математика. http://www.fipi.ru/view/sections/231/docs/666.html

Официальный информационный портал ЕГЭ. ЕГЭ по математике

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/51792-egje-matematika-s1-dlja-chajnikov