Разработка урока математики в 11 классе по теме «Основы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания»

Урок алгебры в 11 классе

Тема урока: Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.

Цели урока:

Образовательная:

• познакомить с понятием «комбинаторика»;

• познакомить с правилами комбинаторики;

• обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний;

• сформировать умения решать комбинаторные задачи.

Воспитательная:

• воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений;

• воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

Развивающая:

• развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности;

• развитие функциональной грамотности в учебном предмете;

• развитие математической речи, внимания.

Обучающийся должен:

знать:

• определения трех важнейших понятий комбинаторики:

• размещения из n элементов по m;

• сочетания из n элементов по m;

• перестановки из n элементов;

• основные комбинаторные формулы

уметь:

• отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

• применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

Оборудование: проектор, ноутбук, магнитная доска, дидактический материал (карточки-задания).

Методы обучения: 

• словесно-информационный (рассказ),

• словесно-репродуктивный(опрос),

• практически-репродуктивный( выполнение заданий),

• наглядно-иллюстративный.

Структура урока

1. Организационный момент

2. Мотивация учебной деятельности

3. Сообщение темы и постановка цели урока.

4. Объяснение нового материала.

5. Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

6. Домашнее задание

7. Подведение итогов, рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку.

Устный счет: (слайды 2 - 4)

1.

2.

2! =

3! =

5! =

3.

1. Мотивация учебной деятельности

Задача из басни С. Крылова «Квартет»

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

- Как вы думаете, сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)

-В конце урока вы узнаете, кто дал правильный ответ.

3. Сообщение темы и цели урока

Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания». А что означает слово «КОМБИНАТОРИКА»?(учащиеся предлагают свои варианты).

Да, действительно, слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Давайте попробуем поставить цель нашего урока. (Изучить правила комбинаторики и научиться их применять).

Сегодня на уроке вам предстоит ознакомиться с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие комбинаторные задачи.

4.Объяснение нового материала

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

История развития комбинаторики насчитывает многие века, уже в Древнем Китае люди увлекались составлением магических квадратов.Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н.э. индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания».  В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями.Предполагалось, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Исследованиями комбинаторных задач в разные времена и в разных странах занимались многие ученые.

Первоначально комбинаторика возникла в XVI веке в связи с распространением различных азартных игр.Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр.Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

А давайте попробуем назвать еще области применения комбинаторики

(Работа в парах – после чего взаимоответы) – «Перестрелка»

Как видите, комбинаторика применяется в очень разных областях, и это конечно же еще далеко не все перечисленные области.

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называютсякомбинаторными.

Различают три типа комбинаторныхзадач:

• перестановки из n элементов;

• размещения из n элементов по m;

• сочетания из n элементов по m (m < n).

Перестановки

Перестановки – соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определенном порядке.

P_n=n!

Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Пример: Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: n =8Р₈=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

Размещения

Размещения – соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m различных элементов.

Порядок следования элементов важен.

Число размещений из m элементов по n обозначают символом и вычисляют по формуле:

Пример: Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение: Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A₉⁴:

Сочетания

Сочетания – соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит n элементов, выбранных из m различных элементов.

Порядок следования элементов неважен.

Число сочетаний из m элементов по n обозначают символом

Число сочетаний из n элементов по m обозначают   (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример: Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных?

Решение: n =24,m=2

5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач

При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:

• Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

• Все ли элементы входят в соединение?

Определить к какому типу соединений относится задача.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

• Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

• Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

1. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

• Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

• Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

• Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

• Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

А сейчас посмотрим, как вы усвоили новый материал.

Работа в группе: Разобрать задачи по типам и решить

При решении не забывайте ставить вопросы: 

• Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

• Все ли элементы входят в соединение?

1.     Сколькими способами можно 7 книг расставить на полке?

2.     Сколькими способами можно выбрать делегацию на конференцию из 5 человек, если в коллективе 24 человека?

3.     Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2;4;6;9, если цифры не повторяются?

4.     Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

5.     Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

6.     Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове «книга» (смысл слов не учитывается)?

7.  Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

8.     В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

9.     В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно выбрать командира  и  его заместителя?

10. Сколько существует вариантов выполнения очередности домашнего задания по 6 предметам?

11. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1;3;4;6;7;8, если все цифры должны быть различными?

12. Сколько существует вариантов составления букета из трех различных цветов, если в саду растет 15 различных видов?

13. Сколько существует вариантов назначения двух дежурных из группы 25 человек?

14. Сколькими способами можно выстроить в шеренгу 9 человек?

15. Сколько слов из трех букв можно составить из слова «стекло» (смысл слов не обязателен)?

16. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один раз)?

17. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить пошколе?

18. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Проверка решения у доски. Обсуждение.

По каждому типу задач ребята выходят по одному к доске и заполняют таблицу.

Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

Решение. 

• Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

• Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

Р_n =  n! n =4 Р₄ =  4! =4 · 3 · 2 ·1=24

6. Домашнее задание

Выучить конспект и формулы.

Решить задачи по карточками

Карточка - домашнее задание

1.В классе из 16 обучающихся нужно выделить четырех для работы на пришкольном участке. Сколькими способами это можно сделать?

2.Сколькими способами могут быть присуждены первая, вторая и третья премии трём лицам из 10 соревнующихся?

3.Сколькими различными способами могут сесть на скамейку 5 человек?

7. Подведение итогов урока

• Какие типы соединений вы знаете?

• В чем отличие перестановок и размещений?

• В чем отличие размещений и сочетаний?

Рефлексия

Лист самооценки

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/532284-razrabotka-uroka-matematiki-v-11-klasse-po-te