- Курс-практикум «Педагогический драйв: от выгорания к горению»
- «Формирование основ финансовой грамотности дошкольников в соответствии с ФГОС ДО»
- «Патриотическое воспитание в детском саду»
- «Федеральная образовательная программа начального общего образования»
- «Труд (технология): специфика предмета в условиях реализации ФГОС НОО»
- «ФАООП УО, ФАОП НОО и ФАОП ООО для обучающихся с ОВЗ: специфика организации образовательного процесса по ФГОС»
- Курс-практикум «Цифровой арсенал учителя»
- Курс-практикум «Мастерская вовлечения: геймификация и инновации в обучении»
- «Обеспечение безопасности экскурсионного обслуживания»
- «ОГЭ 2026 по русскому языку: содержание экзамена и технологии подготовки обучающихся»
- «ОГЭ 2026 по литературе: содержание экзамена и технологии подготовки обучающихся»
- «ОГЭ 2026 по информатике: содержание экзамена и технологии подготовки обучающихся»
Свидетельство о регистрации
СМИ: ЭЛ № ФС 77-58841
от 28.07.2014
- Бесплатное свидетельство – подтверждайте авторство без лишних затрат.
- Доверие профессионалов – нас выбирают тысячи педагогов и экспертов.
- Подходит для аттестации – дополнительные баллы и документальное подтверждение вашей работы.
в СМИ
профессиональную
деятельность
Учебно-методическое пособие «Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства»
В пособии содержится теоретический материал по темам раздела, приведены решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств, методы решения тригонометрических уравнений, задания для самостоятельных работ, практическая работа по данному разделу.
Пособие содержит большое количество разнообразных задач, что даёт возможность осуществить индивидуальный подход к обучающимся.
238
1
| Автономное учреждение профессионального образования Ханты – Мансийского автономного округа - Югры |
«СУРГУТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» |
Методическое пособие по математике
Тема: «Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства»
Сургут, 2023
Методические пособие по алгебре «Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства»
Сургутский политехнический колледж - 2023
Редакционная коллегия:
Е.А.Рязанцева, преподаватель математики, высшая категория
А.Н.Макарова, преподаватель математики, высшая категория
Методическое пособие «Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства» предназначено для оказания помощи студентам при изучении тригонометрических функций, простейших тригонометрических уравнений, выборе методов решения тригонометрических уравнений и решении тригонометрических неравенств.
Одобрено на заседании методического объединения «Математика, информатика, физика»
Протокол № 8 от « 13 » мая 2023 г.
Рекомендовано к печати Методическим советом Сургутского политехнического колледжа.
Протокол № от « » мая 2023 г.
Пояснительная записка
Пособие предназначено для оказания помощи студентам при изучении раздела «Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства».
В пособии содержится теоретический материал по темам раздела, приведены решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств, методы решения тригонометрических уравнений, задания для самостоятельных работ, проверочная работа по данному разделу.
Пособие содержит большое количество разнообразных задач, что даёт возможность осуществить индивидуальный подход к обучающимся.
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Функция
, ее свойства и график.
График функции называется синусоидой
Свойства:
1.D(y) = R;
2.E(y) = 
;
3. Периодическая, период 2
;
4. Нечетная: sin(-x) = -sinx. График функции симметричен относительно начала координат;
5. Нули функции: y=0 при x = 
;
6. Возрастает при 
; убывает при 
.
Функция
, ее свойства и график.
График функции y=cos x называется синусоидой
Свойства:
1.D(y) = R;
2.E(y) = ;
3. Периодическая, период 2 ;
4. Четная: cos(-x) = cosx. График функции симметричен относительно оси ординат;
5. Нули функции: y=0 при x = 
;
6. Возрастает при 
; убывает при 
.
Функция
, ее свойства и график.
График функции y=tgx называется тангенсоидой
Свойства:
1. D(y) = 
;
2.E(y) = R;
3. Периодическая, период ;
4. Нечетная: tg(-x) = -tgx. График функции симметричен относительно начала координат;
5. Нули функции: y=0 при x = ;
6. Возрастает при 
; промежутков убывания нет.
Функция
, ее свойства и график.
График функции y=ctgx называется тангенсоидой
Свойства:
1.D(y) = 
;
2.E(y) = R;
3. Периодическая, период ;
4. Нечетная: ctg(-x) = -ctgx. График функции симметричен относительно начала координат;
5. Нули функции: y=0 при x = ;
6. Убывает при 
; промежутков возрастания нет.
Обратные тригонометрические функции
Арксинус ( y = arcsin x) – это функция, обратная к синусу (x = sin y)
| Свойства: 1.D(y) = 2.E(y) = 3. Нечетная: arcsin (-x) = -arcsinx. График функции симметричен относительно начала координат; 4. Возрастает при |
Арксинусом числа a | |
; промежутков убывания нет.
Арккосинус (y = arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x = cos y)
| Свойства: 1.D(y) = 2.E(y) = 3. Ни четная, ни нечетная; 4. Убывает при |
Арккосинусом числа a | |
Арктангенс (y = arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x =tg y)
| Свойства: 1.D(y) = R; 2.E(y) = 3. Нечетная: arctg (-x) = - arctgx. График функции симметричен относительно начала координат; 4. Возрастает при |
Арктангенсом числа a | |
; промежутков убывания нет.
Арккотангенс (y = arcctg x) – это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y)
| Свойства: 1.D(y) = R; 2.E(y) = 3. Нечетная: arctg (-x) = - arctgx. График функции симметричен относительно начала координат; 4. Убывает при |
Арккотангенсом числа a | |
Примеры:
Вычислить:
1)
, так как 
и 
;
2)
, так как 
и 
;
3)
, так как 
и 
;
4)
, так как 
и 
;
5)
, так как 
и 
;
6)
, так как 
и ;
Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид 
.
вид уравнения | значенияa | формула |
| a=1 |
|
a= - 1 |
| |
a=0 |
| |
0<a<1 |
| |
-1<a<0 |
| |
| a=1 |
|
a= - 1 |
| |
a=0 |
| |
0<a<1 |
| |
-1<a<0 |
| |
| а – любое число |
|
| а – любое число |
|
тригонометрическое уравнение | шаги решения | математическая запись |
| Обращаем внимание на число стоящее в правой части уравнения (0< |
|
Находимarcsin |
| |
Ответ: |
| |
| Преобразуем к стандартному виду простейшего тригонометрического уравнения |
|
Обращаем внимание на число стоящее в правой части уравнения (-1< |
| |
Находимarccos |
|
<1), так как оно положительное, решаем по соответствующей формуле из таблицы
;
;
<0), так как оно отрицательное, решаем по соответствующей формуле из таблицы
по таблице значений тригонометрических функций и подставляем в формулу
Ответ: |
| |
| Обращаем внимание на то, что аргументом данной тригонометрической функции является выражение |
|
Находимarctg |
| |
Выражаем в левой части уравнения x |
| |
Ответ: |
| |
| Преобразуем левую часть данного уравнения с помощью формулы приведения, а правую часть по таблице значений тригонометрических функций |
|
Обращаем внимание на число стоящее в правой части уравнения: а= - 1 и решаем по соответствующей формуле из таблицы |
| |
Ответ: |
|
. Решаем уравнение для этого аргумента
) по таблице значений тригонометрических функций и подставляем в формулу
;
.
Пример.Решите уравнение 
Решение:
|
так как 6>1, то это уравнение не имеет решения. |
Ответ:
.
Задания для самостоятельного решения.
|
|
Ответы:
|
|
;
;
;
;
;
;
;
Методы решения тригонометрических уравнений
Имеются три основных метода решения тригонометрических уравнений:
Уравнения, сводящиеся к квадратным;
Однородные уравнения I и II степени;
Уравнения с применением формул тригонометрии.
тригонометрическое уравнение | шаги решения | математическая запись |
| Это уравнение является квадратным относительно |
Пусть |
Получим стандартное квадратное уравнение |
| |
Выполним обратную замену. Решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений |
Ответ:
| |
| Выразим
|
|
Получаем уравнение с одной тригонометрической функцией |
| |
Это уравнение является квадратным относительно |
| |
Выполним обратную замену. Решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений |
Ответ: | |
| Данное уравнение является однородным уравнением I степени. При решении этого уравнения делим обе части на |
|
Получим простейшее уравнение, относительно |
Ответ: | |
| Данное уравнение является однородным уравнением II степени. При решении этого уравнения делим обе части на |
|
Получим уравнение, сводящееся к квадратному, относительно |
Пусть
Обратная замена:
Ответ:
| |
| Левая часть данного уравнения представляет собой формулу сложения, преобразуем её. Решим полученное простейшее уравнение |
Ответ: |
| В левой части уравнения применим формулу синуса двойного угла |
|
Вынесем общий множитель за скобки. Т.к. левая часть представлена в виде произведения, а правая часть равна нулю, то приравняем каждый множитель к нулю |
решения нет Ответ: |
. Введём новую переменную, обозначив 
через 
из основного тригонометрического тождества:
. Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые
. Получим стандартное квадратное уравнение
нет решения, т.к. 
;
или 
–Задания для самостоятельного решения
Решите тригонометрические уравнения:
1.8sin2x – 10sin x – 7 = 0
2.2sin2x – 3cos x + 3 = 0
3.2sin2x+11sinxcosx+12cos2x=0
4.4tgx – 14ctg x + 1 = 0
5.4sin 2x + 10cos2x = 1
6.cos 2x + 8sin 2x = 1 – 18cos2x
Тригонометрические неравенства
Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида 
,
,
и т.п.
Рассмотрим на примерах способы их решения.
Решите неравенства: | |
| 1) sinx ≥ - Решение: x1 = arcsin(- x2 = + - |
| 2)cosx ≥ - Решение: x1 = arccos(- = - x2 = - - |
| 3)cosx Решение: x1 = arccos x2 = 2-
|
| 4)sinx Решение: x1 = arcsin x2 = --
|
Задания для самостоятельного решения
Решите тригонометрические неравенства:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
.
Проверочная работа по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»
Вариант №1
1. Решить уравнение:
;
;
;
;
;
;
Решить неравенство:
;
.
Вариант №2
1.Решить уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
2. Решить неравенство:
1)
;
2)
.
Критерии оценивания:
оценка«3» ставится за правильно выполненные задания №1 (1,2,4,5), №2(1); «4» - задания №1 (1-7), №2 (1); «5» - за все правильно выполненные задания.
Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/541191-uchebno-metodicheskoe-posobie-trigonometriche
БЕСПЛАТНО!
Для скачивания материалов с сайта необходимо авторизоваться на сайте (войти под своим логином и паролем)
Если Вы не регистрировались ранее, Вы можете зарегистрироваться.
После авторизации/регистрации на сайте Вы сможете скачивать необходимый в работе материал.
- «Технологии искусственного интеллекта в образовательном процессе»
- «Адаптивная физическая культура: содержание и методы физического воспитания учащихся с ОВЗ по ФГОС»
- «Учебно-воспитательная работа со школьниками в соответствии с ФГОС»
- «Адаптация детей к дошкольной образовательной организации»
- «Реализация инклюзивного образования в детской музыкальной школе (ДМШ) с учетом особых образовательных потребностей детей с ОВЗ»
- «Содержание профессиональной деятельности концертмейстера в ДОУ в условиях реализации ФГОС»
- Логопедия. Коррекционно-педагогическая работа по преодолению речевых нарушений у обучающихся младшего школьного возраста
- Физическая культура и специфика организации адаптивной физической культуры для обучающихся с ОВЗ
- Теория и методика дополнительного образования детей
- Физика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Инклюзивное образование: организация обучения детей с ограниченными возможностями здоровья
- Организация и содержание деятельности младшего воспитателя в дошкольном образовательном учреждении
Чтобы оставлять комментарии, вам необходимо авторизоваться на сайте. Если у вас еще нет учетной записи на нашем сайте, предлагаем зарегистрироваться. Это займет не более 5 минут.