Урок по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Эпиграф урока.

Закончился XX век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:

“Прогрессио – движение вперёд”.

Цели:

Образовательные:

обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической и геометрической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п члена и суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессии с помощью формул;

Развивающая:

развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

Воспитательная:

способствовать формированию общекультурных компетенции на уроке при изучении арифметической и геометрической прогрессии, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Тип урока: 

урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Содержание темы:

данная тема по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.

Оборудование: 

мультимедийный проектор; раздаточный дидактический материал; справочный материал.

Структура урока:

Орг. момент, приветствие, пожелания.

Сообщение темы и целей урока.

Историческая справка.

Актуализация опорных знаний и умений: работа в парах - лото.

Решение исторических задач – работа в парах.

Физминутка.

Связь математики с жизнью.

Индивидуальная работа на местах – тест.

Подведение итогов. Выставление оценок.

Дифференцированное домашнее задание.

Рефлексия.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

Сегодня речь пойдёт о прогрессиях. Мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть занимательной, связана c жизнью. Нам предстоит услышать исторические факты, поработать с формулами, решить задачи, посмотреть применение прогрессий в жизни и написать тест. Задания на прогрессию присутствуют в КИМах государственной итоговой аттестации. Сегодня на уроке вы можете получить несколько оценок.

III. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в “Книге абака” (1202 г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке “Наука о числах”, увидевшей свет в 1484 году.

IV. Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях теоретического материала и формул, поиграем в лото.

За эту игру вы можете получить баллы.

Вам предлагаются карточки, в которых вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», поставив их вместе.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Определение

геометрической

прогрессии

b_n=b₁q^n-1

b_n+1=b_nq(g0)

Формула

n – ого члена геометрической

прогрессии

S_n =

Формула знаменателя геометрической прогрессии.

= ∙

Свойства каждого члена геометрической прогрессии

S_n =

q =

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Определение арифметической

прогрессии

=

Формула

n – ого члена арифметической

прогрессии

d =

Формула разности арифметической прогрессии.

S_n=

Свойства каждого члена арифметической прогрессии

Учитель в момент работы учащихся проходит и смотрит правильность выполнения задания. Проверяют учащиеся свои результаты с помощью интерактивной доски.

V. Работа в парах.

На местах учащиеся решают задачи по одной. После того, как дети закончили решение задачи, проверяют правильность решения, один учащийся выходит к доске, оглашает задачу и комментирует решение по презентации, делает вывод.

Магнитский.Эта задача из старинного учебника арифметики Магнитского.

Мужик и купец.

Однажды купец заключил выгодную, как ему казалось, сделку с мужиком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца купец должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил купец и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Решение:

Считают “мужик” и “купец”

“Мужик” заплатил: S₃₀ = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q= =2.

S₃₀ =1• (2³⁰ – 1):(2-1)= 2 ³⁰ - 1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.), т.е. 10 738 418 руб.23коп

Вывод:

Не стоит жадничать так, чтобы потом остаться бедным.

Вознаграждение воина.

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1- копейку, за другую – 2 копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение:

b₁=1, b₂=2, b₃=4

S_n= 655,36. g = = 2, S_n = 2ⁿ – 1=65535, 2ⁿ =65536, n=16

Вывод:

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых.

VI. Физминутка.

VII. Применение прогрессий.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии.

Следующая задача предлагается для решения детям в течении трёх минут. После того, как учащиеся решили предложенную задачу, они проверяют решение на интерактивной доске с комментариями одного из ребёнка по желанию.

1. ИНФУЗОРИИ…

Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.

Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Решение:

последовательность чисел

1, 2, 4, 8…; q = = 2;

= = 32 767

Следующий материал даётся учащимся для ознакомления. Читает каждый материал один из учащихся по желанию. Возможно обсуждение.

2. БАКТЕРИИ…

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

3. ПЛОДОВИТОСТЬ РЫБ.

4. ВОРОБЬИ.

Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

VIII. Индивидуальная работа.

В этом году вы принимаете эстафетную палочку от 11 классов и тоже сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Текст теста по вариантам).

Тест решается в тетради, там же записываются номера ответов.

Вариант 1.

1. (а_n ) – арифметическая прогрессия, а₁ =13; d = - 4. Найди а₄.

1) 0; 2) 6; 3) - 1; 4) 1 .

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; -8;…. Найди b₁.

1) 1; 2) - 1; 3) 28; 4) .

3. (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₈ , если b₁ =; q = 2

1) 16; 2) 24 ; 3) 8 ; 4) 1,6.

4. Найди сумму – 16 первых членов арифметической последовательности (x _n ), если x _n =6n +1.

1)864; 2) 848; 3)792; 4) 832.

5. Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ =, q = 3.

1); 2); 3); 4).

Код ответов:4114 3

Вариант 2.

1. (а_n ) – арифметическая прогрессия, а₁ =10; d = – 0,1. Найди а₄.

1) 9,7; 2) 97; 3) –97; 4) 10,3.

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁.

1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8.

3. (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2

1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5.

4. Найди сумму 100 – первых членов последовательности (x _n ), если x _n =2n +1.

1)10200; 2) 20400; 3)1200; 4) 102.

5. Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 3.

1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80.

Код ответов: 12312

После того, как дети решили задания, они обмениваются работами. Проверяют их по коду ответов и выставляют оценку соседу:

3 задания «3»

4 заданий «4»

5 заданий «5»

IX. Подведение итогов.

Итак, сегодня мы с помощью различных заданий обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, услышали исторические факты, вспомнили формулы, порешали задачи с использованием данных, встретились с занимательной математикой, написали тест.

Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
Спасибо за урок!

Выставление оценок. Их объяснение.

За работу с формулами, задачами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.

X. Домашнее задание – творческое:

1 уровень – найти по две задачи по теме «Прогрессии».

2 уровень – составить две задачи по теме «Прогрессии».

3 уровень – составить более двух задач по теме «Прогрессии».

XI. Рефлексия.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Свойства каждого члена арифметической прогрессии

b_n=b₁g^n-1

Определение

геометрической

прогрессии

b_n+1=b_ng(g0)

Формула

n – ого члена геометрической

прогрессии

S_n =

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

=

= ∙

S_n =

Свойства каждого члена геометрической прогрессии

S_n=

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

d =

Формулазнаменателя геометрической прогрессии.

Определение арифметической

прогрессии

Формула

n – ого члена арифметической

прогрессии

Формула разности арифметической прогрессии.

Вариант 1.

1. (а_n ) – арифметическая прогрессия, а₁ =13; d = - 4. Найди а₄.

1) 0; 2) 6; 3) - 1; 4) 1 .

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; -8;…. Найди b₁.

1) 1; 2) - 1; 3) 28; 4) .

3. (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₈ , если b₁ =; q = 2

1) 16; 2) 24 ; 3) 8 ; 4) 1,6.

4. Найди сумму – 16 первых членов арифметической последовательности (x _n ), если x _n =6n +1.

1)864; 2) 848; 3)792; 4) 832.

5. Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ =, q = 3.

1); 2); 3); 4).

Вариант 2.

1. (а_n ) – арифметическая прогрессия, а₁ =10; d = – 0,1. Найди а₄.

1) 9,7; 2) 97; 3) –97; 4) 10,3.

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁.

1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8.

3. (b_n) – геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2

1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5.

4. Найди сумму 100 – первых членов последовательности (x _n ), если x _n =2n +1.

1)10200; 2) 20400; 3)1200; 4) 102.

5. Найди S₄ , (b_n) – геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 3.

1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80.

Вознаграждение воина.

Служившему воину, дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую – 2 копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.

Мужик и купец.

Однажды купец заключил выгодную, как ему казалось, сделку с мужиком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца купец должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил купец и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Вознаграждение воина.

Служившему воину, дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую – 2 копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.

Мужик и купец.

Однажды купец заключил выгодную, как ему казалось, сделку с мужиком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца купец должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил купец и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Вознаграждение воина.

Служившему воину, дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую – 2 копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.

Мужик и купец.

Однажды купец заключил выгодную, как ему казалось, сделку с мужиком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца купец должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил купец и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Вознаграждение воина.

Служившему воину, дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую – 2 копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.

Мужик и купец.

Однажды купец заключил выгодную, как ему казалось, сделку с мужиком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца купец должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил купец и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Самоанализ урока.

Данный урок входит в обязательный базисный курс алгебры в теме «Прогрессии». Тема урока «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Урок связан с предыдущими темами, опирается на знания учащихся понятия Числовые последовательности. Задания, связанные с данной темой, присутствуют в текстах ГИА.

Опираясь на диагностики (уровень обученности, обучаемости), темперамент детей, можно прийти к выводу, что данный классотносится к среднему. При планировании урока мною были учтены следующие особенности учащихся: активность, подвижность, желание работать самостоятельно и у доски.

Цели урока:

Образовательные:

обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической и геометрической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п- ого члена и суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессии с помощью формул;

Развивающая:

развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

Воспитательная:

способствовать формированию общекультурных компетенции на уроке при изучении арифметической и геометрической прогрессии, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Считаю, что структура урока рациональна для достижения целей урока, так как между этапами урока существует логическая связь. Время для этапов урока выделено рационально.

Главныйакцент на уроке делается на возможности учащихся оперировать свойствами, понятиями, формулами и применять их на практике.

Для раскрытия главного материала был использован частично – поисковыйметод, репродуктивный, объяснительно – иллюстративный.

На уроке использовались такие педагогические технологии, как технология индивидуализации и дифференциации, а так же формы обучения: фронтальная, групповая, индивидуальная, что способствовало формированию общекультурных компетенций на уроке при изучении арифметической и геометрической прогрессии.

Контроль усвоения знаний, умений и навыков: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль учителя.

На данном уроке в учебном кабинете использовались ИКТ.

Высокаяработоспособность учащихся в течении всего урока обеспечивалась благодаря смене форм и видов деятельности, применение пед. технологий, физ. минутка, использование ИКТ.

Положительнаяпсихологическая атмосфера на уроке поддерживалась благодаря созданию ситуации успеха, доброжелательному отношению между учащимися и учителем и учащимися.

Рациональное использование времени и предупреждение перегрузок обеспечивалось за счёт чёткой подготовки урока и применение различных пед.технологий.

Дополнительные ходы для непредвиденных ситуаций: подготовлены на слайдах задачи с практическим применением прогрессий.

Считаю, что цели, поставленные мной, реализованы полностью.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/54996-urok-po-temearifmeticheskaja-i-geometricheska