КОС по ОУП.05 Математика

Вариант 1

1. 120.

2. 100.

3. 36.

4. 177.

5. 23/59.

6. 5/8

Вариант 2

1. 720.

2. 48.

3. 28.

4. -36.

5. 19/65.

6. 1/9.

Контрольная работа

Уравнения и неравенства

Вариант 1

1. Решите уравнения:

а)

б) ;

в) ;

г)^* 2. Решите неравенства:
а) ;

б)
в)^* .

3. Решите систему уравнений:

а)_;

б)

Вариант 2

1. Решите уравнения:

а)

б) ;

в) ;

г)^*

2. Решите неравенства:
а) ;

б)
в)^*.
3. Решите систему уравнений:

а)_;

б)

Практические работы

Практическая работа

Тема: «Параллельность прямых и плоскостей»

Цель: закрепить навыки решения задач о параллельных прямых и плоскостях в пространстве.

Основные теоретические положения и примеры решения типовых заданий

Дано:KLMN – прямоугольник

D  (KLM)

Доказать: MN || (DKL)

Доказательство.

K,L  (DKL)  прямая KL (DKL)

KLMN – прямоугольник  KL||MN

Таким образом, по признаку параллельности прямой и плоскости MN || (DKL) ч.т.д.

Пример 2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках A₁,B₁ и M₁ соответственно. Найдите длину отрезкаMM₁, если AA₁=9м,BB₁=5м, причем отрезок AB не пересекает плоскость α.

Дано:АВ – отрезок

А, В  АВ

М – середина АВ

АА₁// ММ₁//BB₁

А₁, М₁,B₁ α

AA₁=9м,BB₁=5м

Найти:MM₁

Решение.

Прямые АА₁, ММ₁, ВВ₁ лежат в одной плоскости β. Значит точки А₁, В₁ и М₁ лежат на прямой А₁ В₁ пересечения плоскостей α и β. Рассмотрим далее картинку в плоскости β. По теореме Фалеса М₁- середина отрезка А₁В₁ . А, значит, ММ₁ — средняя линия трапеции АА₁ В₁ В и по теореме о средней линииMM₁=(AA₁+BB₁):2=7(м).

Ответ: 7м.

Практическая часть.

Вариант №1.

З адание №1. По рисунку найдите указанные точки и плоскости. Запишите решение, используя математические символы.

Задание №2. Решите задачу:

Задание №3.

Задание №4. Решите задачу:

Задание №5. Решите задачу:

Контрольные вопросы:

1. Какое может быть расположение двух прямыхa и b в пространстве?

2. Какие прямые называются скрещивающимися?

3. Как могут быть расположены прямая a и плоскость α в пространстве?

4. Сформулируйте Признак параллельности прямой и плоскости.

5. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основание, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Практическое занятие: нахождение перпендикуляра и наклонных.

Цель работы: овладение навыком нахождения перпендикуляра и наклонных.

Критерии оценивания:

Каждое задание оценивается в 1 балл. Всего 6 баллов.

«5» - если вы набрали 6 баллов;

«4» - если вы набрали 5 баллов;

«3» - если вы набрали 3-4 балла;

«2» - если вы набрали 0-2 балла.

Ход работы.

Практическая работа

Тема: Тригонометрические формулы.

Цель: Отработать навыки работы с тригонометрическими формулами.

Методические рекомендации

I. Основные тригонометрические тождества.

1.  ;  ; 

2.       

3.   

4. 

5. 

II. Формулы сложения.

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  6. 

III. Формулы двойного угла.

1. 

2.  ;  ; 

3. 

IV. Формулы приведения.

,,  ,

;     

;  ; ; 

  ;    

; ; ; 

, где   и  , где   

;  ;  ;   

Варианты заданий практической работы

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:

1. Дано: ,

Найти

1. Вычислите: а)

б)

4. Вычислите, не пользуясь калькулятором

a) 2sin30⁰cos30⁰

b)сos²30⁰–sin²30⁰

c)

1. Вычислить с помощью формулы приведения:

1. ; 2.; 3. ;

. Упростите выражения:

а)    б)   ;

7. Доказать тождество:

Варианты заданий практической работы

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

2. Дано: ,

Найти

3. Вычислите: а)

б)

4. Вычислите, не пользуясь кaлькулятором

a) 2sin45⁰cos45⁰

b)сos²45⁰–sin²45⁰

c)

1. Вычислить с помощью формулы приведения:

1. ; 2. ; 3.

. Упростите выражения:

а)   б)   ;

7. Доказать тождество:

_{ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА}

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения

Цель:Выработать навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

Теоретические сведения

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида:sinx = a,cosx = a,tgx = a,ctgx=a.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

ПРИМЕР 1. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ. По формуле частного случая:

.

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Разделим левую и правую части уравнения на 2: .

По формуле x = arccosa +2n получаем:

Разделим левую и правую части уравнения на 3: .

Ответ: .

ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Выразим : .

По формуле x = arctga +n получаем: .

Разделим левую и правую части уравнения на : .

Ответ: .

Пример 4. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ. Произведение равно нулю, если: 1. , то ;

2. , то , значит, .

Ответ: .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Вычисление производных

Цель: совершенствовать умения вычислять производные элементарных функций и составлять уравнения касательных к графику функции по заданным условиям.

Методические указания и теоретические сведения

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Определение производной функции через предел

Общепринятые обозначения производной функции в точке

Таблица производных

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называетсядифференцированием. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• 

• 

• 

• 

• 

• …(g ≠ 0)

Пример №1. Найти производную функции .

Решение. .

Пример №2. Найти производную функции .

Решение.

Пример №3. Найти производную функции .

Решение.

Пример№4. Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 2x² + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.Следуем алгоритму.

1) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования.

f ′(x) = 3х² – 2 ∙ 2х = 3х² – 4х.

2) Точка касания x_о = 2.

Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(x_о):

f ′(x_о) = f ′(2) = 3 ∙ 2² – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Вычислим f(x_о):

 f(x_о) = f(2) = 2³ – 2 ∙ 2² + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

4) Итак, у нас есть все необходимые данные: x_о = 2, f(x_о) = 1, f ′(x_о) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f(x_о) + f ′(x_о) (x – x_о); у = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ. у = 4х – 7.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Вариант 1

1. Найдите производные следующих функций:

1. х⁴;

2. sin x cos x;

3. ;

4. x⁴2x ;

5. ;

6. ;

7. ln x + 5^x;

8. 3sin(5x1);

9. (2x3)⁵;

1. Вычислите значение производной функции в точке х₀

, х₀= 2.

1. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Вариант 2

1. Найдите производные следующих функций:

1. x⁵;

2. sin x + cos x;

3. ;

4. x²6x + ;

5. ;

6. ;

7. 2 ln x 3^x;

8. 2соs(3x2);

9. (3x + 5)⁴;

1. Вычислите значение производной функции в точке х₀

, х₀= 1.

1. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀.

Практическая работа

Тема: "Исследование графиков функций с помощью производной".

Цель работы: закрепить знания и совершенствовать умения по нахождению монотонности функции, экстремумов функции, наименьшего и наибольшего значение функции, и построение графиков функций с помощью производной.

Ход работы:

1. Ответить на контрольные вопросы:

1). Определение производной функции

2). Определение монотонности функции

3). Определение экстремума функции

2. Выполнить контрольное задание.

Образец выполнения заданий.

1. Найти интервалы возрастания и убывания (монотонность) функции f(x)=

1. ООФ

2.

3.

- стационарные точки

4.

0 2

5. Ответ: при

при - функция убывает

2. Найти точки экстремума функции f(x)=

1. ООФ

2.

3.

- стационарные точки

4.

0 3

5. Ответ:

3. Построить график функции f(x)=

1. ООФ

2.

3.

- стационарные точки

4.

1

5.

6.C осью Оx (y=0):

С осью Oy - точки пересечения

7.

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=на отрезке

1.

2.

3. -11; 14; 5; -11

Ответ: наибольшее значение 14; наименьшее значение -11.

Практическая работа по теме: «Нахождение геометрических характеристик призмы»

Цель: закрепить понятия призма, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, диагональ, площадь боковой и полной поверхности призмы, объем.

Теоретический материал

Образец решения задач

1)В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1200 см³

2) По стороне основания, равной 5 см, и боковому ребру, равному 8 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

3) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

4)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Задания для самостоятельного выполнения

ВариантI

1.В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1170 см³.

2. По стороне основания, равной 6 см, и боковому ребру, равному 5 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 9 см, 15 см и 25 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 18 см и 24 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

ВариантII

1.В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1380 см³.

2. По стороне основания, равной 8 см, и боковому ребру, равному 2 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 6 см и 12 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 24 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Практическая работа

По теме: «Пирамида»

Цели:закрепление понятий: пирамида, площадь боковой и полной поверхности пирамиды; воспитание познавательной активности, показать возможность применения пирамиды в различных областях.

Методические указания.

Пирами́да — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды.

DN – высота пирамиды

DВ,DС,DА - боковые ребра — общие стороны боковых граней;

DВА,DАС,DВС - боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды

DК,DL - апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней.

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулу:

S_б.п.= •Р_осн•d, где Р – периметр основания, d – апофема.

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Вариант 1

1. 1	2	3	4	5
   6	7	8	9	10

   Среди изображенных тел выберите те, которые являются пирамидами.

2. Постройте правильную четырёхугольную пирамиду и назовите:

а)вершину;

б)основание;

в)боковые ребра;

г)боковые грани;

д)апофему;

е)высоту.

3.Закончите предложения.

1. Высотой пирамиды называется...

2. Апофемой пирамиды называется...

3. Диагональным сечением пирамиды называется сечение плоскостью,
   проходящей через ...

4. Площадью боковой поверхности пирамиды называется…

5. Площадью полной поверхности пирамиды называется…

6. У правильной пирамиды:

• Боковые ребра….

• Боковые грани….

1. основания усеченной пирамиды -...;

2. боковые грани правильной усеченной пирамиды...

4.Ответьте на вопросы:

1). Сколько ребер у шестиугольной пирамиды: а)6; б)12; в)18; г)24;

2). Какое наименьшее число граней может иметь пирамида: а)5; б)4 в)10; г)6

5.Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет

1) Многогранник, составленный изn-треугольников, называется пирамидой; 2) Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник; 3) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой;

6.Задача.
Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 м, а высота 18 м. Сколько понадобится плиток на покрытие этой крыши, если каждая плитка имеет вид прямоугольника со сторонами 22 см и 18 см.

Вариант 2

1. Среди изображенных тел выберите те, которые являются пирамидами.

2. Постройте правильную треугольную пирамиду и назовите:

а)вершину;

б)основание;

в)боковые ребра;

г)боковые грани;

д)апофему;

е)высоту.

3. Закончите предложения.

1. Высотой пирамиды называется...

2. Апофемой пирамиды называется...

3. Диагональным сечением пирамиды называется сечение плоскостью,
   проходящей через ...

4. Площадью боковой поверхности пирамиды называется…

5. Площадью полной поверхности пирамиды называется…

6. У правильной пирамиды:

• Боковые ребра….

• Боковые грани….

1. основания усеченной пирамиды -...;

2. боковые грани правильной усеченной пирамиды...

4.Ответьте на вопросы:

1). Сколько граней у шестиугольной пирамиды: а)6; б)7; в)8; г)10;

2). Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида: а)6; б)5; в)4; г)7;

5. Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет

1) Высота пирамиды называется высотой грани; 2) Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту; 3) Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;

6.Задача.

Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите площадь боковой поверхности.

Практическая работа

Тема: "Многогранники".

Цель работы: закрепить знания и совершенствовать умения в решении геометрических задач на пространственные фигуры.

Ход работы:

1. Ответить на контрольные вопросы:

1). Записать формулу нахождения для призмы.

2). Записать формулу нахождения для пирамиды.

3).Записать формулу нахождения для прямой и правильной призмы.

4). Записать формулу нахождения для правильной пирамиды.

2. Выполнить контрольное задание.

Образец выполнения заданий.

1. Нарисовать параллелепипед. Записать и перечислить все вершины, ребра и грани параллелепипеда.

Р ешение:

1)Вершины:A,B,C,D,A₁,B₁,C₁,D₁.

2)Ребра: AB, BC, CD, DA, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

3)Грани: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, ADD₁A₁.

2 .ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого 10 см и 15 см, а его боковое ребро равно 6 см. Найти параллелепипеда.

Дано:ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

АВ=10 см, ВС=15 см, АА₁=6 см

Найти:

Решение:

Ответ:

3 . В основании правильной пирамиды – треугольник со стороной 12 см. Высота боковой грани равна 20 см. Найти пирамиды.

Дано:SABC – правильная пирамида

АВ=12 см, SК=20 см

Найти:

Решение:

Так как в основании правильный треугольник, то, отсюда следует

Ответ:

Выполнить самостоятельно:

Практическая работа

Тема:«Вычисление площади поверхности цилиндра, конуса, шара»

Цель: формирование умений и навыков при решении задач на вычисление площади поверхности цилиндра, конуса, шара.

Методические указания по выполнению практической работы

Обучающийся должен уметь:

- вычислять площади боковой и полной поверхностей цилиндра и конуса;

- составлять уравнение сферы;

- вычислять площадь поверхности шара.

Рекомендации по выполнению практической работы:

1. Прочтите задание.

2. Запишите условие задачи.

3. Выполните рисунок.

4. Запишите решение и ответ.

Краткие теоретические сведения:

    Цилиндр (рис. 1.18) Конус (рис. 1.19) 

Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности: 

  S_бок = 2πrhS_бок.=πrl

Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности:

S_цил.= 2πr(h+r)Sкон.=πr·(l + r )

Уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Шар

Площадь поверхности    шара радиуса   определяются формулами:

Задания для практической работы

1. Высота конуса равна 15, а диаметр основания – 16. Найти образующую конуса.

2. Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см². Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найти площадь боковой поверхности получившегося конуса.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16π, а высота – 2. Найти диаметр основания цилиндра.

4. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найти площадь поверхности конуса, деленную на π.

5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π, а высота – 4. Найти площадь поверхности цилиндра, деленную на π.

6. Сфера задана уравнением Назовите координаты центра и радиус сферы.

7. Составьте уравнение сферы, если центр сферы и

8. Найдите площадь сферы, если ее радиус равен см.

________________________________________________________________

1. Дано два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

2. Радиусы двух шаров равны 14 и 48. Найти радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

3. Около конуса описана сфера. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Найти радиус сферы, если образующая конуса равна 40√2.

Практическая работа

по теме «Объём прямой призмы и цилиндра».

Вариант 1

1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ АА₁ = 4 см, АВ = . Найдите объем призмы.

2. Найдите радиус r основания цилиндра, если h =10см.

3. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см³. Найдите: 1) высоту призмы; 2) площадь полной поверхности призмы.

4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна. Найдите: 1) r ; 2) h; 3) площадь основания; 4) площадь боковой поверхности цилиндра; 5) площадь полной поверхности цилиндра; 6)объем цилиндра.

5. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

6. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Практическая работа

по теме «Объём прямой призмы и цилиндра».

Вариант 2

1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ АА₁ = 4 см, АВ = . Найдите объем призмы.

2. Найдите высоту h цилиндра, если r =7см.

3. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите: 1) высоту призмы; 2) площадь полной поверхности призмы; 3) объём призмы.

4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна . Найдите: 1) r ; 2) h; 3) площадь основания; 4) площадь боковой поверхности цилиндра; 5) площадь полной поверхности цилиндра; 6)объем цилиндра.

5. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

6. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Сфера и шар.

Цель: Закрепление и систематизация теоретических знаний по теме и приобретение практических навыков вычисления площадей и объёмов, сформировать представление о шаре и сфере.

Порядок выполнения работы:

1. Используя теоретические сведения и примеры, ответить на вопросы:

1) Дайте определение шара, сферы.

2) Запишите формулы площади сферы, объема шара.

2.Решение задач

Вариант 1

1. Вычислите объём шара, если его радиус R = 6 см.

2. Вычислите диаметр шара, если его объём V = 36π.

3. Объем шара равен 972 см³.Вычислите пло­щадь его по­верх­но­сти.

4. В куб с ребром 3 вписан шар. Вычислите объем этого шара

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Сфера и шар.

Цель: Закрепление и систематизация теоретических знаний по теме и приобретение практических навыков вычисления площадей и объёмов, сформировать представление о шаре и сфере.

Порядок выполнения работы:

1. Используя теоретические сведения и примеры, ответить на вопросы:

1) Дайте определение шара, сферы.

2) Запишите формулы площади сферы, объема шара.

2.Решение задач

Вариант 2.

1. Вычислите объём шара, если его радиус R = 5 см.

2. Вычислите диаметр шара, если его объём V = 32π/3.

3.Объем шара равен 36π см³.Вычислите площадь его поверхности.

4.Диаметр шара равен 12 см. Вычислите площадь поверхности и объем шара.

Практическая работа: Первообразная. Вычисление первообразных.

Вариант 1

1. Показать, что функция F(x) является первообразной для функцииf(x) на всей числовой прямой:

F(x)=x³+3x-1, f(x)=3x²+3

2. Найдите все первообразные функции:

а) f(x)=5x⁴+3x²-14;

б) f(x)=3sinx+2cosx;

в)f(x)=cos(4x+5);

г)f(x)=(3x+6)³.

3. Для функции f(x)=2x³+3 найдите первообразную, график которой проходит

через точку M(-2;-5) .

Вариант 2

1. Показать, что функция F(x) является первообразной для функцииf(x) на всей числовой прямой:

F(x)=x⁴+2x-5, f(x)=4x³+2

2. Найдите все первообразные функции:

а)f(x)=3x⁵-2x³-7;

б)f(x)=4e^x-3cosx;

в)f(x)=sin(5x+2);

г)f(x)=(2x+3)⁵.

3. Для функции f(x)=3x²+2 найдите первообразную, график которой проходит

через точку M(-2;-5) .

Практическая работа «Первообразная функции. Площадь криволинейной трапеции»

Цель: проверка знаний и практических умений, обучающихся по вычислению первообразных и площади криволинейной трапеции.

Краткий теоретический материал

Определение. Функцию  называютпервообразной для функции   на заданном промежутке, если для всех  из этого промежутка  Множество всех первообразных для функции можно представить в виде _, где

Например: f(x)=3х², тогда F(x)=x³, т. к. F^’(x)=3x².

Но дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Действительно, функции

F(x) = x³+5, F(x) = x³-100 , …. , ,

являются первообразными для функции f(x)=3x², где С - любое действительное число

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х.

Решение: sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х , F(х) = sin х+С – множество всех первообразных.

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х²+С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи. 
Следовательно, 4 = 1²+С
С = 3
Ответ. F(х) = х²+3

Определенный интеграл.

Пусть функция f (x) непрерывна и не меняет знак на отрезке [a; b]. Плоскую фигуру Ф, ограниченную графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) первообразная функцииf(x) на[a, b]

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Рис.1

Примеры: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница

1)

2)

3)

4)

Задачи на вычисление площадей плоских фигур решают по следующему плану:

1. Делают схематический чертёж по условию задачи.

2. Составляют формулу для вычисления площади полученной фигуры и находят пределы интегрирования из условия задачи.

3. Вычисляют площадь фигуры по составленной формуле.

Пример 1: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Решение

Строим графики данных линий.  (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c).

Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.

Вершина параболы находится в точке O′(m; n), где

Значит О′(2; 4 вершина параболы.). 

Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

4х-х²=0.

х(4-х)=0.

Отсюда,  х=0 или х=4.  

Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох;

3) х=0 — это ось Оy;

4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по  формуле Ньютона-Лейбница.

У нас 

f (x)=4x-x²,a=0, b=4.

Следовательно, искомая площадь равна

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  ,  ,  ,  .

1. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение   задает ось  ):

1. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому

1. Ответ: 

Задания для самостоятельной работы.

Уровень А

А1.Докажите, что функция F является первообразной для функции f(x)на промежутке

(- ∞; +∞), если:

А2. Вычислите интеграл:

А3.Вычислите, сделав предварительно рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:

Уровень В.

В4.Вычислите интеграл:

Уровень С.

Вариант 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 6х – х² и у= 2х.

Вариант 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью Ох.

Практическая работа

Преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем.

Цели:

знать:

понятие степени с рациональным показателем;

свойства степени с действительным показателем.

уметь:

преобразовывать выражения, содержащие степень с действительным показателем.

Продолжительность занятия: 2 часа

Общие сведения и примеры выполнения заданий:

При выполнении заданий по данной теме нужно помнить:

1. Определение степени: ,

n раз

2. Свойства степени:

1) ; где целое число, а натуральное.

2)

3) ;

4) ;

5) ;

6)

7)

8) .

3. Формулы сокращённого умножения:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a – b)² = a² – 2ab + b²;

a² – b² = (a + b) ∙ (a – b);

Рассмотрим примеры выполнения заданий.

1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем

;; ; ; .

Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения:

3. Найдите значение выражения:

.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1

Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем

Найдите значение выражения

Задание 2

Найдите значение выражения

Задание 3

Найдите значение выражения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Логарифмы. Свойства логарифмов.

Цели:

–  научиться вычислять логарифмы чисел;

–  научиться применять свойства логарифмов при выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы;

–  изучить тему «Десятичные и натуральные логарифмы».

Оснащение занятия: учебник, конспекты, справочник.

Порядок выполнения работы

Определение:Логарифмом положительного числа  по основанию  

(обозначается ) — называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить , где b > 0, a > 0, а≠ 1.