Полное исследование функции: от области определения до экстремумов с помощью производной

Опорный конспект

«Исследование функции с помощью производной»

ГАОУ СПО ВПТК

Зотова И.В., преподаватель математики

Найти область определения: D (f);

Все значения, которые принимает независимая переменная

Найти область значения: E (f);

Все значения, которые принимает функция

Определить четность / нечетность функции;

Функция y = f (x) называется четной (нечетной), если для любого x из области определения функции выполняется равенство f (-x) = f (x) (f (-x) = -f (x))

Свойства четных (нечетных) функций:

Если функция является четной (нечетной), то её график симметричен относительно оси ординат (начала координат).

Определить нули функции (точки пересечения с осями координат);

Точки пересечения с OY: f (x)=0

Точки пересечения с OX: f (0)

Определить промежутки знакопостоянства (график расположен выше оси OX или ниже этой оси);

Промежутки знакопостоянства - множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Определить промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания);

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует (f^,(x) = 0 или f^,(x) не существует), называются критическими.

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна в промежутке Х во всех внутренних точках этого промежутка имеет неотрицательную производную (f^,(x)≥0), тогда функция у = f(x) возрастает на промежутке Х.

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна в промежутке Х во всех внутренних точках этого промежутка имеет неотрицательную производную (f^,(x)≤ 0), тогда функция у = f(x) убывает на промежутке Х.

Определить точки экстремума;

Необходимое условие экстремума: Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = а, то либо f^,(а) = 0, либо f^, (а) не существует.

Пусть х=а – критическая точка функции у = f(x), и пусть существует интервал (b;с), содержащий точку а внутри себя и такой, что на каждом из интервалов (b;а), (а;с) производная f^, (x) существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

если на (b;а) производнаяf^, (x)>0, а на (а;с) производная f^,(x)<0, то х=а – точка максимума функции у = f(x) ( если производная в критической точке меняет свой знак с + на -, то эта точка - точка максимума).

если на (b;а) производнаяf^, (x)<0, а на (а;с) производная f^,(x)>0, то х=а – точка минимума функции у = f(x) ( если производная в критической точке меняет свой знак с - на +, то эта точка - точка минимума).

Достаточное условие экстремума: Если и на (b;а), и на (а;с) производнаяf^, (x)<0 или f^, (x)>0, то х=а не является точкой экстремума функции у = f(x) (если производная не меняет знак при переходе через критическую точку, то эта точка не точка экстремума).

Определить наибольшее и наименьшее значения функции.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то своё наибольшее (наименьшее) значение на этом отрезке она принимает либо на конце отрезка, либо в критической точке.

Таким образом, для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке, на котором она непрерывна, достаточно:

- найти критические точки функции, принадлежащие отрезку;

- вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;

- из найденных значений выбрать наибольшее (наименьшее).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/59495-issledovanie-funkcii-s-pomoschju-proizvodnoj