Практическая работа по интегралам: методы, площади фигур и объемы тел

Зотова Ирина Валерьевна

ГАОУ СПО Волгоградский профессионально-технический колледж, г. Волгоград

Преподаватель математики

Методические рекомендации

для выполнения практической работы

по дисциплине «Математика»

раздел «Интеграл»

Данная работа содержит методические указания к практической работе по дисциплине «Математика», раздел «Интеграл» и предназначена для обучающихся профессиям начального профессионального образования и специальностям среднего профессионального образования.

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по предмету «Математика», раздел «Интеграл».

Разработчик:

ГАОУ СПО ВПТК преподаватель И.В. Зотова

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

Пояснительная записка

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.

Зачет по каждой практической работе студент получает после её выполнения и предоставления в рукописном виде, оформления отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.

Содержание

Практическая работа Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл………………………………………………………...5

Рекомендуемая литература………………………………………………….13

Практическая работа

Тема: Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.

Цель: ввести понятие интеграла и видов интегралов, сформировать умение вычислять неопределенные и определенные интегралы, используя различные методы интегрирования, а также вычислять площади фигур с помощью определенного интеграла.

Теоретические сведения к практической работе

Функция , определенная на интервале , называется первообразнойдля функции , определенной на том же интервале , если

Если— первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. где .

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18.

Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.

Проверка:

Проверка:

Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интегралот функции , непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

(1)

где — первообразная для функции , т. е.

Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

6) Если для всех , то

7) Если для всех , то (2)

Пример 2. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями, где для всех,и прямыми,,то ее площадь вычисляется по формуле:

(3)

Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

Для построения прямой достаточно двух точек, например и .

Найдем координаты точек и пересечения параболы и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (3), в которой

поскольку для всех . Получим:

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Вычислить определенный интеграл.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Рекомендуемая литература

Основные источники

Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.:Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011

Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/59497-integral