- Курс-практикум «Педагогический драйв: от выгорания к горению»
- «Формирование основ финансовой грамотности дошкольников в соответствии с ФГОС ДО»
- «Патриотическое воспитание в детском саду»
- «Федеральная образовательная программа начального общего образования»
- «Труд (технология): специфика предмета в условиях реализации ФГОС НОО»
- «ФАООП УО, ФАОП НОО и ФАОП ООО для обучающихся с ОВЗ: специфика организации образовательного процесса по ФГОС»
Свидетельство о регистрации
СМИ: ЭЛ № ФС 77-58841
от 28.07.2014
- Бесплатное свидетельство – подтверждайте авторство без лишних затрат.
- Доверие профессионалов – нас выбирают тысячи педагогов и экспертов.
- Подходит для аттестации – дополнительные баллы и документальное подтверждение вашей работы.
в СМИ
профессиональную
деятельность
Тренажер для подготовки к итоговой аттестации по математике в 8 кл
246
0
Подготовка к итоговой аттестации за 8 класс (2024-2025 уч.год)
Составитель преподаватель высшей квалификационной категории Кондрикова Л.Ю.
Ревдинский филиал ГБПОУ «СОМК», лицей.
№ | тема | задания |
ЧастьI. Алгебра ( 13 баллов, по 1 баллу за каждую задачу). | ||
1 | Числовые неравенства, координатная прямая | Решу ОГЭ, задание 7, неравенства. |
2 | Числовые неравенства, координатная прямая | Решу ОГЭ, задание 7, сравнение чисел. |
3 | Числовые неравенства, координатная прямая | Решу ОГЭ, задание 7, числа на прямой. |
4 | Числовые неравенства, координатная прямая | Решу ОГЭ, задание 7, выбор верного или неверного утверждения. |
5 | Числа, вычисления и алгебраические выражения | Решу ОГЭ, задание 8, рациональные алгебраические выражения. |
6 | Числа, вычисления и алгебраические выражения | Решу ОГЭ, задание 8, степени и корни. |
7 | Уравнения, системы уравнений | Решу ОГЭ, задание 9, квадратные уравнения . |
8 | Статистика, вероятности | Решу ОГЭ, задание 10, классические вероятности. |
9 | Графики функций | Решу ОГЭ, задание 11, чтение графиков функций (только квадратичная функция) |
10 | Графики функций | Решу ОГЭ, задание 11, растяжения и сдвиги (только квадратичная функция) |
11 | Расчеты по формулам | Решу ОГЭ, задание 12. |
12 | Неравенства, системы неравенств | Решу ОГЭ, задание 13, линейные неравенства |
13 | Неравенства, системы неравенств | Решу ОГЭ, задание 13, системы неравенств (только линейных) |
ЧастьI. Геометрия ( 4 балла, по 1 баллу за каждую задачу). | ||
14 | Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы | Решу ОГЭ, задание 15, параллелограмм, ромб, трапеция, многоугольники. |
15 | Окружность, круг и их элементы | Решу ОГЭ, задание 16, центральные и вписанные углы, касательная, хорда, секущая, радиус |
16 | Площади фигур | Решу ОГЭ, задание 17, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция. |
17 | Анализ геометрических высказываний | Решу ОГЭ, задание 19, теория за 7-8 классы. |
ЧастьII. С развернутым решением. Алгебра ( 4 балла, по 2 балла за каждую задачу). | ||
18 | Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы | Решу ОГЭ, задание 20, уравнения, системы уравнений. |
19 | Текстовые задачи | Решу ОГЭ, задание 21, задачи на движение, задачи на работу. |
ЧастьII. С развернутым решением. Геометрия ( 4 балла, по 2 балла за каждую задачу). | ||
20 | Геометрические задачи на вычисление | Решу ОГЭ, задание 23, четырехугольники. |
21 | Геометрические задачи на доказательство | Решу ОГЭ, задание 24, четырехугольники и их элементы, окружности и их элементы. |
Критерии оценки:
«5» | «4» | «3» | «2» |
23-25 | 16-22 | 8-15 (из них min 2б по геометрии) | 0-7 баллов |
Тренажер для подготовки к итоговой аттестации 8кл.
ЗАДАНИЕ 1.
1.О числах a и b известно, что 
Среди приведенных ниже неравенств выберите верные.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) Верно 1, 2 и 3
2.На координатной прямой изображены числаa и c. Какое из следующих неравенств неверно?
1) 
2) 
3) 
4) 
3.Какое из следующих неравенств не следует из неравенства 
?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
4.Известно, что 
Какое из указанных утверждений верно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
5.На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
6.На координатной прямой изображены числаa и c. Какое из следующих неравенств неверно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
7.На координатной прямой отмечено число а.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
8.На координатной прямой отмечено число а.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
9.На координатной прямой отмечено число а.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 4) 
10.На координатной прямой отмечено число а.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 4) 
11.На координатной прямой отмечены числа а и с. Какое из следующих утверждений неверно?
В ответе укажите номер выбранного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
12.На координатной прямой отмечены числа а и b. Какое из следующих утверждений неверно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
13.На координатной прямой отмечено число 
В ответе укажите номер правильного варианта.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) 2) 3) 4)
14.На координатной прямой отмечены числа a и b.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Какое из следующих неравенств верно?
1) 
2) 
3) 
4) 
15.На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из приведенных утвержденийневерно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4)
16.На координатной прямой отмечены числа a и b.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Какое из следующих утверждений является верным?
1) 
2) 3) 
4) 
17.На координатной прямой отмечены числа a, b, и c.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Укажите номер верного утверждения.
1) 2) 
3) 4) 
18.На координатной прямой отмечены числа a и b.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Какое из следующих утверждений относительно этих чисел является верным?
1) a3>0 2) a − b > 0 3) ab < 1 4) a + b > 1
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 1.
№п/п | Правильныйответ |
1 | 3 |
2 | 3 |
3 | 2 |
4 | 4 |
5 | 3 |
6 | 3 |
7 | 2 |
8 | 3 |
9 | 1 |
10 | 4 |
11 | 1 |
12 | 4 |
13 | 1 |
14 | 2 |
15 | 1 |
16 | 4 |
17 | 4 |
18 | 3 |
ЗАДАНИЕ 2.
1.Сравните числа x и y, если 
В ответ запишите значение меньшего из чисел.
2.О числах a,b,c и d известно, что 
. Сравнитe числа d и a.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) Сравнить невозможно
3.Известно, что 
Выберите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 
2) 
3) 
4) 
4.Известно, что 
Выберите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 
2) 
3) ab 4) 
5.Числаa и b отмечены точками на координатной прямой. Расположите в порядке возрастания числа
и 1. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
6.Какому из данных промежутков принадлежит число 
В ответе укажите номер правильного варианта. 1) [0,5;0,6] 2) [0,6;0,7] 3) [0,7;0,8] 4) [0,8;0,9]
7.На координатной прямой отмечено число
Расположите в порядке убывания числа c,
и
В ответе укажите номер правильного варианта. 
1) 
2) 
3) 
4) 
8.На координатной прямой отмечены числа a и x. 
Какое из следующих чисел наименьшее? В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 
2) 
3) 4) 
9.На координатной прямой отмечено число a.
Найдите наименьшее из чисел a2,a3,a4. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) a2 2) a3 3) a4 4) не хватает данных для ответа
10.На координатной прямой отмечено число 
Расположите в порядке возрастания числа 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
11.На координатной прямой отмечено число a.
Найдите наибольшее из чисел a2,a3,a4.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) a2 2) a3 3) a4 4) не хватает данных для ответа
12.Известно, что a и b — положительные числа и Сравнитеи
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 
3) 
4) сравнить невозможно
13.Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
14.На координатной прямой точками отмечены числа 
Какому числу соответствует точка B?
1) 
2) 
3) 0,42 4) 0,45
15.Между какими числами заключено число 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 20 и 22 2) 7 и 8 3) 59 и 61 4) 3 и 4
16.Какому из данных промежутков принадлежит число
?
1) [0,4; 0,5] | 2) [0,5; 0,6] | 3) [0,6; 0,7] | 4) [0,7; 0,8] |
17.Какое из данных ниже чисел принадлежит отрезку [3; 4]?
1) 
2) 
3) 
4) 
18.Какое из данных чисел принадлежит промежутку [7; 8]? В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 2) 
3) 4) 
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 2.
№п/п | Правильныйответ |
1 | 0,0066 |
2 | 2 |
3 | 3 |
4 | 1 |
5 | 1 |
6 | 1 |
7 | 2 |
8 | 1 |
9 | 1 |
10 | 4 |
11 | 3 |
12 | 2 |
13 | 4 |
14 | 4 |
15 | 2 |
16 | 3 |
17 | 3 |
18 | 4 |
ЗАДАНИЕ 3.
1.Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 4) 
2.Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 
Какая это точка? 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) A2) B3) C4) D
3.Одно из чисел 
отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число. 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1)
2) 
3) 
4) 
4.Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 
Какая это точка? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) точкаA 2) точкаB 3) точкаC 4) точкаD
5.Какому из следующих чисел соответствует точка, отмеченная на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
6.На координатной прямой точками A, B, C и D отмечены числа 0,098; −0,02; 0,09; 0,11. Какой точкой изображается число 0,09? 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) A2) B3) C4) D
7
.На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу
Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) точкаA 2) точкаB 3) точкаC 4) точкаD
8.Известно, что число m отрицательное. На каком из рисунков точки с координатами 
расположены на координатной прямой в правильном порядке?
1)
| 2)
|
3)
| 4)
|
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
9.На координатной прямой отмечена точка А. 
Известно, что она соответствует одному из четырех указанных ниже чисел. Какому из чисел соответствует точка А?
1) 
2) 
3) 0,6 4) 4
10.На координатной прямой отмечено число a.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) a − 8 > 0 2) 7 − a < 0 3) a − 3 > 0 4) 2 − a > 0
11.На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D. Одна из них соответствует числу 
. Какая это точка? 
1) А | 2) B | 3) C | 4) D |
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 3.
№п/п | Правильныйответ |
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | 3 |
4 | 4 |
5 | 3 |
6 | 2 |
7 | 1 |
8 | 1 |
9 | 2 |
10 | 3 |
11 | 1 |
ЗАДАНИЕ 4.
1.Известно, что 
Какое из следующих чисел отрицательно?
В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 
2) 
3) 
4) 
2.Какое из следующих чисел заключено между числами 
и 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3 4) 0,4
3.На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих утверждений неверно?
1) 2) 
3) 4) 
4.Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a > b?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) b − a < −2 2) a − b > −1 3) a − b < 3 4) b − a > −3
5.На координатной прямой отмечено число a.
Из следующих утверждений выберите верное:В ответе укажите номер правильного варианта.
1) (a − 6)2 > 1 2) (a − 7)2 > 1 3) a2 > 36 4) a2 > 49
6.На координатной прямой отмечены числа x и y. Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
и 
2) 
и 
3) и 4) и
7. Какому промежутку принадлежит число 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [4; 5] 2) [5; 6] 3) [6; 7] 4) [7; 8]
8.На координатной прямой отмечены числа p, q и r.
Какая из разностей p − r,p − q,r − q отрицательна? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) p − r 2) p − q 3) r − q 4) ни одна из них
9.На координатной прямой отмечены числа a, b и c.
Какая из разностей a − b,a − c,c − b положительна?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) a − b2) a − c3) c − b4) ни одна из них
10.Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что x > 0, y < 0?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) xy 2) (x − y)y 3) (y − x)y 4) (y − x)x
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 4.
Тестовая часть
№п/п | Правильныйответ |
1 | 4 |
2 | 2 |
3 | 4 |
4 | 2 |
5 | 3 |
6 | 1 |
7 | 4 |
8 | 3 |
9 | 3 |
10 | 3 |
ЗАДАНИЕ 5.
1. Упростите выражение 
и найдите его значение при 
В ответ запишите полученное число.
2. Упростите выражение 
и найдите его значение при 
В ответ запишите полученное число.
3. Упростите выражение 
и найдите его значение при 
В ответ запишите полученное число.
4. Представьте в виде дроби выражение 
и найдите его значение при 
В ответ запишите полученное число.
5. Упростите выражение 
и найдите его значение при 
6. Найдите значение выражения 
при
7. Найдите значение выражения 
при
8. Найдите значение выражения 
при
9. Упростите выражение 
и найдите его значение при 
В ответе запишите найденное значение.
10. Упростите выражение 
и найдите его значение при 
и
В ответе запишите найденное значение.
11. Найдите значение выражения 
приа = 6.
12. Сократите дробь 
13. Найдите значение выражения 
при
14. Найдите значение выражения 
при
15. Найдите значение выражения 
при
16. Найдите значение выражения 
при
17. Найдите значение выражения 
при
18. Найдите значение выражения 
при
19. Найдите значение выражения 
при
20. Найдите значение выражения 
при
21. Найдите значение выражения 
приa = 7,7.
22. Упростите выражение 
и найдите его значение при a = 1,5. В ответе запишите найденное значение
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 5.
№п/п | Правильный ответ |
1 | -1 |
2 | 0,4 |
3 | 0,25 |
4 | -5 |
5 | 1,7 |
6 | 1 |
7 | 0,8 |
8 | 5,6 |
9 | 4 |
10 | 1,5 |
11 | 0,5 |
12 | 84 |
13 | -2 |
14 | -2 |
15 | 0,25 |
16 | 390 |
17 | 0,75 |
18 | -2,5 |
19 | 31 |
20 | -2,6 |
21 | 0,66 |
22 | 3 |
ЗАДАНИЕ 6.
1. Найдите значение выражения 
2. Найдите значение выражения 
при 
3. Упростите выражение 
и найдите его значение при В ответе запишите полученное число.
4. Чему равно значение выражения 
5. Найдите значение выражения 
6. Найдите значение выражения 
7. Найдите значение выражения 
если
8. Найдите значение выражения: 
если
9. Найдите значение выражения 
10. Найдите значение выражения 
11. Найдите значение выражения 
12. Найдите значение выражения 
13. Найдите значение выражения 
14. Найдите значение выражения 
15. Сколько целых чисел расположено между 
и
?
16. Сколько целых чисел расположено между 
и
?
17. Найдите значение выражения 
18. Найдите значение выражения 
19. Найдите значение выражения 
20. Найдите значение выражения 
при
21. Найдите значение выражения 
при
и
22. Найдите значение выражения 
при
и
23. Найдите значение выражения 
приa = 2.
24. Найдите значение выражения 
при
и
25. Найдите значение выражения 
приa = 4 и b = 7.
26. Найдите значение выражения 
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 6
№п/п | Правильный ответ |
1 | 220 |
2 | 16 |
3 | 16 |
4 | 18 |
5 | 198 |
6 | 90 |
7 | 12 |
8 | 8 |
9 | 16 |
10 | 2 |
11 | 4 |
12 | 8 |
13 | 72 |
14 | 20 |
15 | 1 |
16 | 7 |
17 | 14 |
18 | 7 |
19 | 4 |
20 | 32 |
21 | 4 |
22 | 50 |
23 | 64 |
24 | 8 |
25 | 320 |
26 | 36 |
ЗАДАНИЕ 7
1. Найдите корни уравнения 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
2. Решите уравнение 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
3. Решите уравнение 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
4. Решите уравнение 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
5. Решите уравнение 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
6. Найдите корни уравнения 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
7. Уравнение
имеет корни −6; 4. Найдите 
8. Квадратный трехчлен разложен на множители: 
Найдите
9. Решите уравнение 
10. Решите уравнение 
11. Решите уравнение 
12. Решите уравнение 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
13. Найдите корень уравнения 
14. Уравнение имеет корни −5; 7. Найдите
15. Решите уравнение 
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
16. Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 7
№п/п | Правильный ответ |
1 | 05 |
2 | -23 |
3 | -41 |
4 | -24 |
5 | -92 |
6 | 14 |
7 | -24 |
8 | 3 |
9 | -9,7 |
10 | 2,25 |
11 | -2,5 |
12 | 06 |
13 | -1 |
14 | -35 |
15 | -3,6-2 |
16 | 0,6 |
ЗАДАНИЕ 8
1. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
2. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.
3. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.
4. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
5. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
6. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.
7. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.
8. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
9.Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.
10. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
11. Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.
12. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?
13. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?
14. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить вещевой выигрыш?
15. Из 900 новых флеш-карт в среднем 54 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи?
16. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?
17. В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски?
18. В коробке 14 пакетиков с черным чаем и 6 пакетиков с зеленым чаем. Павел наугад вынимает один пакетик. Какова вероятность того, что это пакетик с зеленым чаем?
19.Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
20. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командойВ и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.
21. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
22. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
23.Из каждых 1000 электрических лампочек 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
24. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
25. Из 1600 пакетов молока в среднем 80 протекают. Какова вероятность того, что случайно выбранный пакет молока не течет?
26. В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.
27. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.
28. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.
29. Валя выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.
30. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.
31. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.
32. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.
33. В магазине канцтоваров продается 100 ручек, из них 37 — красные, 8 — зеленые, 17 — фиолетовые, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит красную или черную ручку.
34. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.
35. Бабушка покупает платки на базаре. На прилавке лежат 10 платков, из них 1 красный и остальные синие. Найдите вероятность того, что бабушка купит синий платок.
36. В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, двенадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 8
№п/п | Правильный ответ |
1 | 0,88 |
2 | 0,2 |
3 | 0,85 |
4 | 0,25 |
5 | 0,2 |
6 | 0,9 |
7 | 0,5 |
8 | 0,75 |
9 | 0,6 |
10 | 0,05 |
11 | 0,1 |
12 | 0,18 |
13 | 0,9 |
14 | 0,013 |
15 | 0,94 |
16 | 0,75 |
17 | 0,25 |
18 | 0,3 |
19 | 0,2 |
20 | 0,25 |
21 | 0,55 |
22 | 0,45 |
23 | 0,995 |
24 | 0,5 |
25 | 0,95 |
26 | 0,3 |
27 | 0,5 |
28 | 0,5 |
29 | 0,02 |
30 | 0,5 |
31 | 0,375 |
32 | 0,25 |
33 | 0,56 |
34 | 0,25 |
35 | 0,9 |
36 | 0,85 |
ЗАДАНИЕ 9
1. Найдите значение a по графику функции 
изображенному на рисунке.
1) | 2) | 3) | 4) |
2. Найдите значение b по графику функции изображенному на рисунке.
1) | 2) | 3) | 4) |
3. Найдите значение c по графику функции изображенному на рисунке.
1) | 2) | 3) | 4) |
4. На рисунке изображен график функции 
Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.
1) функция возрастает на промежутке 
2) 
3) 
4) прямая 
пересекает график в точках 
и 
5. На рисунке изображен график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны?
Запишите их номера в порядке возрастания.
1
) Функция возрастает на промежутке (−∞; −1].
2) Наибольшее значение функции равно 8.
3) f(−4) ≠ f(2).
6. На рисунке изображен график квадратичной функции y = 
Какое(-ие) из следующих утверждений о данной функции неверно(-ы)? Запишите выбранный(-ые) номер(-а).
1) 
= 
2) Наибольшее значение функции равно 3.
3) 
при 
7. На рисунке изображен график квадратичной функции Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Наибольшее значение функции равно 9.
2) f(0) > f(1).
3) f(x) > 0 при x < 0.
8. На рисунке изображен график функции y = ax2 + bx + c . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведенную в ответе таблицу под
каждой буквой соответствующую цифру.
УТВЕРЖДЕНИЯ |
А) функция возрастает на промежутке Б) функция убывает на промежутке |
ПРОМЕЖУТКИ
1) [1; 2] 2) [0; 2] 3)[−1; 0] 4) [−2; 3]
9
. На рисунке изображен график функции вида 
Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
УТВЕРЖДЕНИЯ |
А) функция возрастает на промежутке Б) функция убывает на промежутке |
ПРОМЕЖУТКИ
1) [0; 3] 2) [−1; 1] 3) [2; 4] 4) [1; 4]
10. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующие ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
Графики
А | Б | В | Г)
|
)
)
)
Знаки чисел
1) a > 0, D > 0 | 2) a > 0, D < 0 | 3) a < 0, D > 0 | 4) a < 0, D < 0 |
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 9
№п/п | Правильный ответ |
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | 4 |
4 | 12 |
5 | 23 |
6 | 2 |
7 | 3 |
8 | 31 |
9 | 23 |
10 | 1243 |
ЗАДАНИЕ 10
1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ФУНКЦИИ
1) 
2) 
3) 
4) 
Г
РАФИКИ
А) Б) В)
2. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1)
2) 
3)
4) 
3
. На одном из рисунков изображен график функции 
Укажите номер этого рисунка.
1) |
| 2) 3) | 4) |
|
|
4. На одном из рисунков изображена парабола. Укажите номер этого рисунка.
1) 2) 3) 4)
|
5. На одном из рисунков изображен график функции 
Укажите номер этого рисунка.
1) 2) 3) 4)
6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А
) Б) В)
Формулы
1) | 2) | 3) | 4) |
7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Г
рафики
|
А) Б) В)
Формулы
1) 2) 
3) 
4) 
8. Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А)
Б)
В)
ГРАФИКИ
2) 3) 4)
9. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.
ГРАФИКИ
А
) Б) В) Г)
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
1) a > 0, c < 0 | 2) a < 0, c > 0 | 3) a > 0, c > 0 | 4) a < 0, c < 0 |
10. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А
) Б) В)
1) 
2) 
3) 
4) 
11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А
) Б) В)
1) 
2) 
3) 
4) 
1
2. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А) Б) В)
1) 2) 
3) 
4)
13. Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) | Б) | В) |
Графики
2) 3) 4)
14. Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) y = −2x + 4 | Б) y = 2x − 4 | В) y= 2x + 4 |
Графики
1
) 2) 3) 4)
15. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0 | Б) a < 0, c > 0 | В) a > 0, c > 0 |
Графики
1
) 2) 3) 4)
16. На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А)
| Б)
| В)
|
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0 | 2) k > 0, b > 0 | 3) k < 0, b < 0 | 4) k > 0, b < 0 |
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 10
№п/п | Правильный ответ |
1 | 142 |
2 | 3 |
3 | 1 |
4 | 1 |
5 | 3 |
6 | 431 |
7 | 314 |
8 | 413 |
9 | 4123 |
10 | 432 |
11 | 134 |
12 | 412 |
13 | 314 |
14 | 432 |
15 | 132 |
16 | 214 |
ЗАДАНИЕ 11
Вычисления по формуле
1. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле 
гдеn — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.
2. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле 
, где n — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.
3. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле 
гдеt — длительность поездки, выраженная в минутах 
Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
4. Площадь параллелограмма 
можно вычислить по формуле 
где
— стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и 
5. Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l = 80 см,n = 1600? Ответ выразите в километрах.
6. Расстояниеs (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формулеs = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, еслиt = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
7. Из формулы центростремительного ускоренияa = ω2R найдите R (в метрах), если ω = 4 с−1 и a = 64 м/с2.
8. Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле 
гдеC — емкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора емкостью 10−4 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.
9. Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погруженное в воду тело, вычисляется по формуле 
где
— плотность воды, 
— ускорение свободного падения, а V — объем тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погруженное в воду тело объемом 0,7 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Линейные уравнения
1. Длину окружности l можно вычислить по формуле 
гдеR — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если ее длина равна 78 м. (Считать 
).
2. Площадь ромба можно вычислить по формуле 
где 
— диагонали ромба (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите диагональ 
если диагональ 
равна 30 м, а площадь ромба 120 м2.
3. Площадь треугольника можно вычислить по формуле 
где a — сторона треугольника, h — высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите сторону 
если площадь треугольника равна 
а высота h равна 14 м.
4. Площадь трапеции можно вычислить по формуле 
где — основания трапеции, h — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту h, если основания трапеции равны 
и 
а ее площадь 
5. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле 
где a и b — катеты, а c — гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите b, если 
и 
6. Объем пирамиды вычисляют по формуле 
где S — площадь основания пирамиды, h — ее высота. Объем пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?
7. Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле 
где — длины его диагоналей, а 
угол между ними. Вычислите 
если 
8.Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
9. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/c2 ) можно вычислить по формуле 
где
— угловая скорость (в с−1), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние R (в метрах), если угловая скорость равна 3 с−1, а центростремительное ускорение равно 45 м/c2.
10. Из закона всемирного тяготения 
выразите массу m и найдите ее величину (в килограммах), если 
и гравитационная постоянная 
11. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле 
гдеm — масса тела (в килограммах), υ — его скорость (в м/с), h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а g — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите h (в метрах), если 
а
12. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 150 ватт, а сила тока равна 5 амперам.
13. Закон Кулона можно записать в виде 
гдеF — сила взаимодействия зарядов (в ньютонах),
и
— величины зарядов (в кулонах), k — коэффициент пропорциональности (в Н·м2/Кл2 ), а r — расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда (в кулонах), если 
Н·м2/Кл2,
Кл,
м, а 
Н.
14. Закон всемирного тяготения можно записать в виде 
гдеF — сила притяжения между телами (в ньютонах),
и
— массы тел (в килограммах), r — расстояние между центрами масс (в метрах), а 
— гравитационная постоянная, равная 6,67 · 10−11 H·м2/кг2. Пользуясь формулой, найдите массу тела (в килограммах), если 
Н,
кг, а 
м.
15. Закон Джоуля–Ленца можно записать в видеQ = I2Rt, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q = 2187 Дж,I = 9 A,R = 3 Ом.
16. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле 
где
и — длины диагоналей четырехугольника, — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали если
a
17. Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P — давление (в паскалях), V — объем (в м3),ν — количество вещества (в молях), T — температура (в кельвинах), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру T (в кельвинах), если ν = 68,2 моль, P = 37 782,8 Па,V = 6 м3.
18. Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью υ м/с, вычисляется по формуле 
и измеряется в джоулях. Известно, что автомобиль массой 2800 кг обладает кинетической энергией 315 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
19. Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле 
где — ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 20 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1568 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Разные задачи
1.Период колебания математического маятника T (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле 
гдеl — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.
2. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле 
где a — сторона треугольника, — противолежащий этой стороне угол, а R — радиус описанной около этого треугольника окружности. Пользуясь этой формулой, найдите если 
а 
3. Длину биссектрисы треугольника, проведенной к стороне a, можно вычислить по формуле 
Вычислите 
если 
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 11
Вычисления по формуле Линейные уравнения Разные задачи
1 | 13 | |
2 | 8 | |
3 | 4 | |
4 | 4 | |
5 | 3,2 | |
6 | 8 | |
7 | 0,4 | |
8 | -14,4 |
9 | 5 | |
10 | 1000 | |
11 | 5 | |
12 | 6 | |
13 | 0,004 | |
14 | 4000 | |
15 | 9 | |
16 | 4 | |
17 | 400 | |
18 | 15 | |
19 | 8 |
1 | 2,25 |
2 | 0,4 |
3 | 0,8 |
1 | 26500 | |
2 | 26500 | |
3 | 183 | |
4 | 60 | |
5 | 1,28 | |
6 | 3 | |
7 | 4 | |
8 | 0,0072 | |
9 | 6860 |
ЗАДАНИЕ 12.
1. Решите неравенство 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Решите неравенство 
и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.
2)
4)
3. Решите неравенство 
и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.
1
) 2)
3
) 4) 
4. Решите неравенство 
и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.
1
) 2)
4)
5. Решите неравенство 
и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.
1
) 2)
3
) 4)
6. При каких значениях a выражение 5a + 9 принимает отрицательные значения? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
7. Решите неравенство 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) (−4; +∞)2) (−12; +∞)3) (−∞; −4)4) (−∞; −12)
8. При каких значениях x значение выражения 9x + 7 меньше значения выражения 8x − 3?В ответе укажите номер правильного варианта.
1) x > 4 2) x < 4 3) x > − 10 4) x < − 10
9. Решите неравенство 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) (− ∞; 8) 2) (− ∞; 1) 3) (8; +∞) 4) (1; +∞)
10. При каких значениях x значение выражения 
больше значения выражения 
?В ответе укажите номер правильного варианта.
1) x > − 10 2) x < − 10 3) x > − 6 4) x < − 6
11. Решите неравенство 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [−0,4; +∞) 2) (−∞; −2] 3) [−2; +∞) 4) (−∞; −0,4]
12. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2)
3
) 4)
13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
) 2)
3
) 3)
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 12.
№п/п | Правильный ответ |
1 | 4 |
2 | 1 |
3 | 2 |
4 | 1 |
5 | 4 |
6 | 4 |
7 | 1 |
8 | 4 |
9 | 4 |
10 | 2 |
11 | 2 |
12 | 4 |
13 | 3 |
З
АДАНИЕ 13.
1. Решите систему неравенств
На каком рисунке изображено множество ее решений? В ответе укажите номер правильного варианта.
1)
| 2)
|
3)
| 4)
|
2. Решите систему неравенств 
На каком из рисунков изображено множество ее решений? В
ответе укажите номер правильного варианта.
1)
| 2)
|
3)
| 4)
|
3. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
4. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
5.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
6. Решите систему неравенств
На каком рисунке изображено множество ее решений? В ответе укажите номер правильного варианта.
1)
| 2) система не имеет решений |
3)
| 4)
|
7. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств
1)
| 2)
|
3) система не имеет решений | 4)
|
8
. Укажите решение системы неравенств:
1)
| 2)
|
3)
| 4)
|
9. Укажите решение системы неравенств:
1)
| 2)
|
3)
| 4)
|
1
0. Укажите решение системы неравенств:
1) (7;8) | 2) |
3) | 4) |
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 13.
№п/п | Правильный ответ |
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | -3 |
4 | -3 |
5 | -3 |
6 | 4 |
7 | 1 |
8 | 2 |
9 | 2 |
10 | 2 |
ЗАДАНИЕ 14.
Параллелограмм
1. ДиагональBD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
2. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
3
. Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
4. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Угол DAC равен 47°, а угол CAB равен 11°. Найдите больший угол параллелограмма ABCD. Ответ дайте в градусах.
5. ДиагональAC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма.
6. На продолжении стороны AD параллелограмма ABCD за точкой D отмечена точка E так, что DC = DE. Найдите больший угол параллелограмма ABCD, если ∠DEC = 53°. Ответ дайте в градусах.
7
. В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.
8. Найдите величину острого угла параллелограммаABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.
9. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и 
Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
1
0. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и 
Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
1
1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, еслиBK = 6,CK = 10.
1
2. Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите бо́льшую высоту.
13. Один из углов параллелограмма равен 41°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
1
4.ДиагоналиAC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O,AC = 12,BD = 20,AB = 7. Найдите DO.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 14. (параллелограмм)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 65 |
2 | 70 |
3 | 60 |
4 | 122 |
5 | 125 |
6 | 106 |
7 | 24 |
8 | 30 |
9 | 5,5 |
10 | 79,5 |
11 | 44 |
12 | 8 |
13 | 139 |
14 | 10 |
Р
омб
1
. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.
2. Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
3. ТочкаO — центр окружности, на которой лежат точкиP, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.
4. ТочкаO — центр окружности, на которой лежат точкиS, T и V таким образом, что OSTV — ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градусах.
5. Площадь ромба равна 54, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
6
. Один из углов ромба равен 43°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
7. В ромбе ABCD угол ABC равен 72°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
8. Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 14. (ромб)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | -3 |
4 | -3 |
5 | -3 |
6 | 4 |
7 | 1 |
8 | 2 |
9 | 2 |
10 | 2 |
Трапеция
1. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.
2. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.
4. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
5
. Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.
6. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.
7
. Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
8
. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 
Найдите ее большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.
9
. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.
10. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 3 и 9.
1
1. Найдите больший угол равнобедренной трапецииABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно.
1
2. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.
13. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
14. Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. Запишите величины углов в ответ без пробелов в порядке не убывания.
15. В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
16. В трапеции ABCDAB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
17. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 
Найдите ее большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 58.
18.УголA трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 81°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
19. ТрапецияABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 11,BC = 6,CD = 9. Найдите AD.
20. Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
21. Основания трапеции равны 4 и 10, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
2
2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 66°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
23. О
дин из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
24. ДиагоналиAC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O,BC = 3,AD = 7,AC = 20. Найдите AO.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 14. (трапеция)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 80 |
2 | 110 |
3 | 60 |
4 | 5 |
5 | 110 |
6 | 45 |
7 | 17 |
8 | 33 |
9 | 120 |
10 | 15 |
11 | 115 |
12 | 16 |
13 | 5 |
14 | 49131131 |
15 | 12 |
16 | 69 |
17 | 203 |
18 | 99 |
19 | 14 |
20 | 6 |
21 | 35 |
22 | 114 |
23 | 116 |
24 | 14 |
Многоугольники
1. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD
Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
3. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
4
. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
5. ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.
6. Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
7
. СторонаAC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A = 75°. Ответ дайте в градусах.
8
. СторонаAC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.
9. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.
10. УголA четырехугольника ABCD, вписанного в окружность,
равен 82°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в
градусах.
1
1. ЧетырехугольникABCD описан около окружности, AB = 7,BC = 10,CD = 14. Найдите AD.
12. Сторона квадрата равна 
Найдите диагональ этого квадрата.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 14. (многоугольники)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 60 |
2 | 95 |
3 | 36 |
4 | 122 |
5 | 135 |
6 | 160 |
7 | 15 |
8 | 46 |
9 | 13 |
10 | 98 |
11 | 11 |
12 | 14 |
З
адание 15.
Центральные и вписанные углы
1. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
3
. Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
4. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
5. Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.
6. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
7. ТочкиA и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
8. В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.
9
. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Величина центрального углаAOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.
1
0. ТочкиA,B,C и D лежат на одной окружности так, что хордыAB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.
11. ТреугольникABC вписан в окружность с центром в точкеO. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.
12. ТочкаО — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рис.). Найдите величину углаACB (в градусах).
13. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что 
Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.
14.На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
1
5. ТочкаO — центр окружности, на которой лежат точкиA, B и C. Известно, что ∠ABC = 15° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
1
6. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
17. В угол C величиной 83° вписана окружность с центром O, которая касается сторон угла в точкахA и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
18. СторонаAC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите 
если
Ответ дайте в градусах.
1
9. Центр окружности, описанной около треугольникаABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
2
0. В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
21. Центр окружности, описанной около треугольникаABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если 
22. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 15. (Центральные и вписанные углы)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 6 |
2 | 30 |
3 | 144 |
4 | 71 |
5 | 42 |
6 | 6,5 |
7 | 162 |
8 | 55 |
9 | 35 |
10 | 65 |
11 | 24 |
12 | 42 |
13 | 747 |
14 | 52 |
15 | 7 |
16 | 441 |
17 | 97 |
18 | 15 |
19 | 60 |
20 | 23 |
21 | 5 |
22 | 108 |
Касательная, секущая, хорда, радиус
1
. РадиусOB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
2. Найдите величину (в градусах) вписанного углаα, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.
3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
4
. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC = 
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
5. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до
этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
6
. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
7. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
8. ОтрезкиAB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.
9. ОтрезкиAB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18,CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
10. ОтрезокAB = 40 касается окружности радиуса 75 с центромO в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
1
1. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.
12. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите уголABO. Ответ дайте в градусах.
1
3. Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ запишите в сантиметрах.
14. Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.
1
5. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.
1
6. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.
17. Радиус вписанной в квадрат окружности равен
Найдите диагональ этого квадрата.
1
8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 
Н
айдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
19. Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной
в
этот квадрат.
20. Сторона равностороннего треугольника равна
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
21. Сторона равностороннего треугольника равна Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
22. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5. Найдите высоту этого треугольника.
23. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
24. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен Найдите длину стороны этого треугольника.
25. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен Найдите длину стороны этого треугольника.
2
6. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причем AB = 2,AC = 8. Найдите AK.
27. ХордыAC и BD окружности пересекаются в точке P,BP = 15,CP = 6,DP = 10. Найдите AP.
28. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
2 9. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
30. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 12.
Найдите высоту этой трапеции.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 15. (Касательная, секущая, хорда, радиус)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 6 |
2 | 30 |
3 | 5 |
4 | 17,5 |
5 | 90 |
6 | 14 |
7 | 7 |
8 | 48 |
9 | 9 |
10 | 10 |
11 | 40 |
12 | 36 |
13 | 24 |
14 | 6084 |
15 | 4 |
16 | 32 |
17 | 8 |
18 | 4 |
19 | 3 |
20 | 2 |
21 | 1 |
22 | 15 |
23 | 9 |
24 | 12 |
25 | 6 |
26 | 4 |
27 | 25 |
28 | 36 |
29 | 44 |
30 | 24 |
Задание 16.
К
вадрат
1. Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.
2. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рис.). Найдите площадь получившейся фигуры.
3. Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь квадрата.
4
. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
5. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.
6. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 16. (Квадрат)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 100 |
2 | 28 |
3 | 1600 |
4 | 0,5 |
5 | 27556 |
6 | 196 |
Прямоугольник
1. В прямоугольнике одна сторона равна 10, другая сторона равна 12. Найдите площадь прямоугольника.
2. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны 
Найдите площадь прямоугольника, деленную на 
3. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.
4. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 60, а отношение соседних сторон равно 4:11.
5
. В прямоугольнике одна сторона равна 96, а диагональ равна 100. Найдите площадь прямоугольника.
6. ДиагоналиAC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O,BO = 7,AB = 6. Найдите AC.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 16. (Прямоугольник)
№п/п | Правильный ответ |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 |
П
араллелограмм
1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
2.Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
3. Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
4. Периметр ромба равен 24, а синус одного из углов равен 
Найдите площадь ромба.
5. Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.
6. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45°. Найдите площадь параллелограмма,деленную на
7.Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов равен Найдите площадь параллелограмма.
8. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а косинус одного из углов равен 
Найдите площадь параллелограмма.
9. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен 
Найдите площадь параллелограмма.
1
0. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —
а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 30°. Найдите площадь ромба.
11. Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.
1
2. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
1
3.Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до нее равно 1. Найдите площадь ромба.
14. Периметр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
15. ВысотаBH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
16. ВысотаBH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба.
1
7. ВысотаBH ромбаABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 44 и HD = 11. Найдите площадь ромба.
18. Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.
1
9. ДиагоналиAC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O,AC = 26,BD = 30,AB = 7. Найдите DO.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 16. (Параллелограмм)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 40 |
2 | 24 |
3 | 50 |
4 | 12 |
5 | 120 |
6 | 30 |
7 | 20 |
8 | 20 |
9 | 20 |
10 | 50 |
11 | 42 |
12 | 42 |
13 | 18 |
14 | 420,5 |
15 | 1305 |
16 | 156 |
17 | 1815 |
18 | 33 |
19 | 15 |
Т
рапеция
1. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
2
. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
3. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
4. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 
а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.
5. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен Найдите площадь трапеции.
6. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен Найдите площадь трапеции.
7
. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен Найдите площадь трапеции.
8. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
9
. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
1
0. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
11. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
12. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
13. В трапеции ABCDизвестно, что AD = 4,BC = 1, а ее площадь равна 35. Найдите площадь треугольника ABC.
14. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
15. Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции.
16. Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18 , а косинус угла между ней и одним из оснований равен 
Найдите площадь трапеции.
17. Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна 
а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.
18. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC.
19.В трапеции ABCDAD = 5,BC = 2, а ее площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
20. В трапеции ABCDAD = 3,BC = 1, а ее площадь равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
21. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 2 и 9. Найдите длину основания BC.
22. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 14, боковая сторона равна 13. Найдите
длину диагонали трапеции.
2
3. Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен 
Найдите площадь трапеции.
24.В трапеции ABCD известно, что AD = 5,BC = 1, а ее площадь равна 51. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
25. Основания трапеции равны 6 и 24, одна из боковых сторон равна 11, а синус угла между ней и одним из оснований равен 
Найдите площадь трапеции.
2
6. Основания трапеции равны 7 и 63, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен 
Найдите площадь трапеции.
27. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины C, отсекает от основания AD отрезок длиной 2. Длина основания BC равна 7. Найдите длину основания AD.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 16 (трапеция)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 168 |
2 | 28 |
3 | 36 |
4 | 60 |
5 | 30 |
6 | 30 |
7 | 30 |
8 | 168 |
9 | 40 |
10 | 18 |
11 | 324 |
12 | 270 |
13 | 7 |
14 | 88 |
15 | 85 |
16 | 216 |
17 | 105 |
18 | 4 |
19 | 11 |
20 | 3 |
21 | 7 |
22 | 15 |
23 | 378 |
24 | 17 |
25 | 27,5 |
26 | 90 |
27 | 11 |
Задание 17.
1. Укажите номера верных утверждений.
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Вертикальные углы равны.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
2. Укажите номера верных утверждений.
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
3. Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
4. Укажите номера верных утверждений
1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
2) Существует квадрат, который не является ромбом.
3) Сумма углов любого треугольника равна 180° .
5. Укажите номера верных утверждений.
1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
3) В плоскости все точки, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности.
6. Укажите номера верных утверждений.
1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна 180°.
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
7. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
8. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
3) Через любую точку проходит более одной прямой.
4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.
9. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
4) Через любые три точки проходит не более одной прямой.
10. Какие из следующих утверждений верны?
1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
11. Какие из следующих утверждений верны?
1) Через любые три точки проходит не более одной окружности.
2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.
4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
12. Какие из следующих утверждений верны?
1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.
2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм
13. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.
4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
14. Какие из следующих утверждений верны?
1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
15. Какие из следующих утверждений верны?
1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
4) Около любого ромба можно описать окружность.
16 .Какие из следующих утверждений верны?
1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.
2) Прямая не имеет осей симметрии.
3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
4) Квадрат не имеет центра симметрии.
17. Какие из следующих утверждений верны?
1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
2) Прямая не имеет осей симметрии.
3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
18.Какие из следующих утверждений верны?
1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.
2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.
19. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.
3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
4) ТреугольникABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.
20. Какие из следующих утверждений верны?
1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
21. Какие из следующих утверждений верны?
1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
3) ТреугольникABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
22. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.
2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.
3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.
4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
23.Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.
2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.
4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
24. Укажите номера верных утверждений.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
25. Укажите номера верных утверждений.
1) Через любую точку проходит не менее одной прямой.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
26. Укажите номера верных утверждений.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.
2) Через любые три точки проходит не более одной прямой.
3) Сумма вертикальных углов равна 180°.
27. Укажите номера верных утверждений.
1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.
2) Через любые две точки можно провести прямую.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.
28. Укажите номера верных утверждений.
1) В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
29. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
30. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
2) Диагонали прямоугольника равны.
3) У любой трапеции боковые стороны равны.
31. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника.
3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
32. Укажите номера верных утверждений.
1) Смежные углы равны.
2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
3) Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
33. Укажите номера верных утверждений.
1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.
2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.
34. Укажите номера верных утверждений.
1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.
3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 3.
35. Укажите номера неверных утверждений.
1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.
2) Диагонали ромба перпендикулярны.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.
36. Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали параллелограмма равны.
2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
37. Какие из следующих утверждений верны?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3) Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
38. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.
3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
39. Какое из следующих утверждений верно?
1) Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
2) В параллелограмме есть два равных угла.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
40. Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
2) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
41. Какие из следующих утверждений верны?
1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
2) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
42. Какие из следующих утверждений верны?
1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
2) Смежные углы равны.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
43. Какое из следующих утверждений верно?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2) Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четырехугольники равны.
3) Смежные углы равны.
44. Какое из следующих утверждений верно?
1) Все углы ромба равны.
2) Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четырехугольники равны.
3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
45. Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника.
2) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
46. Какие из следующих утверждений верны?
1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2) Боковые стороны любой трапеции равны.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
47. Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
48. Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3) В любой ромб можно вписать окружность.
49. Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2) В параллелограмме есть два равных угла.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
50. Какое из следующих утверждений верно?
1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
2) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 17
№п/п | Правильный ответ |
1 | 12 |
2 | 23 |
3 | 13 |
4 | 13 |
5 | 23 |
6 | 12 |
7 | 1 |
8 | 13 |
9 | 234 |
10 | 34 |
11 | 124 |
12 | 3 |
13 | 124 |
14 | 12 |
15 | 123 |
16 | 3 |
17 | 13 |
18 | 123 |
19 | 1 |
20 | 24 |
21 | 234 |
22 | 4 |
23 | 234 |
24 | 13 |
25 | 12 |
26 | 12 |
27 | 23 |
28 | 3 |
29 | 123 |
30 | 2 |
31 | 13 |
32 | 3 |
33 | 2 |
34 | 13 |
35 | 13 |
36 | 2 |
37 | 13 |
38 | 23 |
39 | 2 |
40 | 13 |
41 | 13 |
42 | 13 |
43 | 1 |
44 | 3 |
45 | 3 |
46 | 13 |
47 | 1 |
48 | 13 |
49 | 2 |
50 | 3 |
Задание 18 (с развернутым решением)
Уравнения
1. Один из корней уравнения 
равен −1. Найдите второй корень.
2. Решите уравнение: 
3. Решите уравнение: 
4. Решите уравнение: 
5. Решите уравнение 
6. Решите уравнение 
7. Решите уравнение 
8. Решите уравнение 
9. Решите уравнение 
10. Решите уравнение 
11. Решите уравнение 
12. Решите уравнение 
13. Решите уравнение 
14. Решите уравнение 
15. Решите уравнение 
16. Решите уравнение 
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 18 (уравнения)
№п/п | Правильный ответ |
1 | -2/3 |
2 | -2; -1; 1; 2 |
3 | 1 |
4 | 1 |
5 | -5 |
6 | 4; 5 |
7 | -2 |
8 | 0; 1; 2 |
9 | -2; -1 |
10 | 0,1; 0,5 |
11 | 3/2; 7/3 |
12 | 1; 5 |
13 | -2-√5;-2+√5 |
14 | -4 |
15 | -5; 1 |
16 | -2; -1; 1 |
Системы уравнений
1. Решите систему уравнений 
2. Решите систему уравнений 
3. Решите систему уравнений: 
4. Решите систему уравнений 
5. Решите систему 
6. Решите систему уравнений 
7. Решите систему уравнений 
8. Решите систему уравнений 
9. Решите систему уравнений 
10.Решите систему уравнений 
11. Решите систему уравнений 
12. Решите систему уравнений: 
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 18 (системы уравней)
№п/п | Правильный ответ |
1 | (3; −4) |
2 | (−7; −2), (−3; 2) |
3 | (-2;-2), (-2;2), (-1;-2), (-1;2) |
4 | (2;4), (5;13) |
5 | (-1;1/5), (1;5) |
6 | (3; 6) |
7 | (−1; 4); (1; 4) |
8 | (2/3;0), (1;1) |
9 | (−4; 2); (4; 2) |
10 | (−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1) |
11 | (2; −1); (2; 1) |
12 | (0;0), (0,5;0,5) |
Задание 19.
Задачи на движение
1. Катер прошел от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через 
ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.
2. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
3. Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
4. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
5. Пристани
и 
расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
6. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
7. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
8. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.
9. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 76 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.
11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.
12. Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла еще 36 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
13. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 18 (задачи на движение)
№п/п | Правильный ответ |
1 | 4 км/ч |
2 | 2/5 всего пути |
3 | 18 км/ч |
4 | 15 км/ч |
5 | 9 км/ч |
6 | 9 км |
7 | 8 км |
8 | 26 |
9 | 20 км/ч |
10 | 9 км/ч |
11 | 4 |
12 | 15 |
13 | 24 |
Задачи на работу
1. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
2.На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?
3. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
4. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?
5. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 136 литров?
6. Две трубы наполняют бассейн за 6 часов 18 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
7. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
8. Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?
9. Три бригады изготовили вместе 248 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 4 раза больше, чем первая и на 5 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая?
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 18 (задачи на работу)
№п/п | Правильный ответ |
1 | первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч. |
2 | 3 |
3 | 9 |
4 | 33 |
5 | 10 |
6 | 21 |
7 | 10 |
8 | 864 |
9 | 86 |
Задание 20. Четырехугольники
1. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.Найдите площадь трапеции.
2. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
3. ВысотаAH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
4. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24,BF = 32.
5. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.
6.Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны MN и KP в точках и соответственно. Найдите длину отрезка AB, если 
см,
см.
7. ДиагоналиAC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 
и
Найдите площадь трапеции.
8. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
9. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
10. Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов и этой трапеции пересекаются в точке 
биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.
11. Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
12. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.
13. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на сторонеBC. Найдите BC, если AB = 34.
14. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведенная к большему основаниюAD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основаниеBC равно 4.
15. Основания трапеции равны 16 и 34. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
16. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке 
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если 
а
17. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, еслиBC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
18. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
19. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 33.
20. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20,BF = 15.
21. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
22. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, еслиBK = 6,CK = 10.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ 20 (четырехугольники)
№п/п | Правильный ответ | №п/п | Правильный ответ |
1 | 130√2 | 12 | (3√3)/4 |
2 | 60°, 60°, 120°, 120° | 13 | 68 |
3 | 20 | 14 | 12 |
4 | 40 | 15 | 9 |
5 | 27.5 | 16 | 35 |
6 | 30 см | 17 | 266 |
7 | 49 см2 | 18 | 42 |
8 | 3√3 | 19 | 11√3 |
9 | 1 метр | 20 | 25 |
10 | 56 | 21 | 96 |
11 | 20 | 22 | 44 |
Задание 21.
Ч
етырехугольники и их элементы
1. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
2. В треугольнике ABCс тупым угломACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
3. СторонаBC параллелограмма ABCDвдвое больше стороны CD. Точка L — середина стороны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.
4. Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC,CD и AD.
5
. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит ее на две равные по площади части.
6. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
7
. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
8
. В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что 
подобен 
9. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные
на рисунке отрезки AB и CE равны.
10. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
11. Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
12. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырехугольника пересекаются в точкеK. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
13. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что M — середина основания AD.
14. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
15. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
16. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограммаABCD в четыре раза больше площади треугольникаAKD.
17. ТочкаE — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
18.Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольниковBEC и AED равна половине площади параллелограмма.
19. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точкеM. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
20. ОснованияBC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
21. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
22. В выпуклом четырехугольнике ABCDуглы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABDи ACD также равны.
23. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольниковAOB и COD равны.
24. Через точку O пересечения диагоналей параллелограммаABCD проведена прямая, пересекающая стороныAB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
25. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке E стороны BC. Докажите, что E — середина BC.
26. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Окружности и их элементы
1. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикулярыОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
2. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
3. В окружности с центром O проведены две равные хорды 
иMN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.
4. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
5. Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
6. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
7. Окружности с центрами в точках P и 
не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
8. Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причем точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.
Самостоятельная работа №1 (Часть I, №№ 1-4)
Вариант 1
1
.На координатной прямой отмечены числа a, b и c.
Какая из разностей a − b,a − c, c − b отрицательна?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) a – b2) a − c3) c − b4) ни одна из них
2.Известно, что Какое из указанных утверждений неверно?
1) 
2) 
3) 
4) 
3 .Одно из чисел отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
4.Известно, что Выберите наименьшее из чисел.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) ab 4)
5. Известно, что Выберите наименьшее из чисел.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
6
.Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 
Какая это точка?
1) точкаA 2) точка B 3) точкаC 4) точка D
7
.На координатной прямой отмечены числа x и y.
Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно?
1) xy < 0 | 2) x2y > 0 | 3) x + y > 0 | 4) x − y < 0 |
8 .На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из приведенных утверждений неверно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Критерии: «5» - 8б, «4» - 7б, «3» -5-6б
Самостоятельная работа №1 (Часть I, №№ 1-4)
Вариант 2.
1.О числах a и b известно, что Среди приведенных ниже неравенств выберите верные.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4) Верно 1, 2 и 3
2 .На координатной прямой точками A, B, C и D отмечены числа 0,098; −0,02; 0,09; 0,11. Какой точкой изображается число 0,09?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) A2) B3) C4) D
3 .На координатной прямой отмечено числоРасположите в порядке убывания числа c,иВ ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
4
.На координатной прямой отмечены числа p, q и r.
Какая из разностей q − p,q − r, r − p отрицательна?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1 ) q − p 2) q − r 3) r − p 4) ни одна из них
5.На координатной прямой отмечена точка А.
Известно, что она соответствует одному из четырех указанных ниже чисел. Какому из чисел соответствует точка А?
1) 2) 3) 0,6 4) 4
6
.На координатной прямой отмечены числа a и c. Какое из следующих утверждений неверно?
1) 
2) 
3) 
4) 
7.Какому промежутку принадлежит число
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [4; 5] 2) [5; 6] 3) [6; 7] 4) [7; 8]
8.На координатной прямой отмечены числа x и y.
Какое из следующих чисел наименьшее?
1) x + y 2) 2y 3) x2 4) −y
Критерии: «5» - 8б, «4» - 7б, «3» -5-6б
ОТВЕТЫ
Вариант 1 | Вариант 2 | |
1 | 3 | 3 |
2 | 3 | 2 |
3 | 3 | 2 |
4 | 1 | 2 |
5 | 3 | 2 |
6 | 3 | 1 |
7 | 3 | 4 |
8 | 1 | 2 |
Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/609425-trenazher-dlja-podgotovki-k-itogovoj-attestac
БЕСПЛАТНО!
Для скачивания материалов с сайта необходимо авторизоваться на сайте (войти под своим логином и паролем)
Если Вы не регистрировались ранее, Вы можете зарегистрироваться.
После авторизации/регистрации на сайте Вы сможете скачивать необходимый в работе материал.
- «Психологические и социально-педагогические основы социальной работы»
- «Единое образовательное пространство: содержание и особенности федеральной образовательной программы основного общего образования (ФОП ООО)»
- «Основы физического развития и воспитания школьников»
- «Учитель географии и биологии: современные методы и технологии преподавания по ФГОС ООО и ФГОС СОО»
- «Организация дистанционного обучения школьников: технологии, методы и средства»
- «Монтессори-педагогика»
- Инклюзивное образование: организация обучения детей с ограниченными возможностями здоровья
- Педагогика и методика преподавания физики
- Содержание и организация профессиональной деятельности педагога-дефектолога
- Теория и методика преподавания истории и обществознания
- Теория и методика преподавания основ безопасности жизнедеятельности
- Организационно-методическое сопровождение педагогов. Наставническая деятельность в образовательной организации
Чтобы оставлять комментарии, вам необходимо авторизоваться на сайте. Если у вас еще нет учетной записи на нашем сайте, предлагаем зарегистрироваться. Это займет не более 5 минут.