Исследовательская работа "Математика и музыка"

XXIV районный конкурс

творческих исследовательских работ школьников

5-11 классов

Математика и музыка

Авторы: Нагога Ксения,

Чечулина Анастасия,

МКОУ СОШ№47, 9а класс

Научный руководитель:

Мельникова О.В., учитель музыки,

высшей квалификационной категории,

Фадеева Л.В., учитель математики,

высшей квалификационной категории

г. Барабинск, 2021г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом.

Всем известен тот факт, что любое музыкальное произведение записывается по нотам. Если попробовать определенным образом переложить ноты на числа, будет ли наблюдаться в этом числовом ряду какая либо закономерность? Если такая связь есть, то можно предположить обратное: ряд чисел имеет свое музыкальное звучание. Этот вопрос нас очень заинтересовал и мы определились с темой исследовательской работы «Математика и музыка».

Цель исследования: доказать взаимосвязь математики и музыки.

Для достижения поставленной цели нам необходимо выполнение следующих задач:

1. Выяснить, были ли в истории попытки связать математику с музыкой.

2. Провести свои исследования по установлению связи между музыкой и математикой, рассмотрев несколько музыкальных произведений, взятых из разных направлений.

2. Переложить числа (даты рождения учителей и одноклассников) на музыку и установить связь между звуками и способностями личности.

В своей работе мы выдвинули следующуюгипотезу: любое музыкальное произведение можно представить как некую математическую модель. И числовой ряд можно переложить на музыку, и эта музыка будет отражать своим звучанием закономерность числового ряда.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ И МУЗЫКИ

1. 1. История исследования математики и музыки

В прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку как один из объектов изучения математики. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд  - «Compendium Musicae» в переводе «Трактат о музыке»), Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д'Аламбер, Даниил Бернулли и другие [4].

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем к примеру одну из цитат из работы Леонарда Эйлера «Диссертация о звуке», написанная в 1727 году. «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков». Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать». На что Гольдбах ему отвечает: «Музыка - это проявление скрытой математики» [5].

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из семи видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономиейкак научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством [2].

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.

1.2. Сходство музыки и математики

Из сопоставления знаний, полученных на уроках математики и музыки, мы выявили следующие совпадения:

Первое - это цифровые обозначения. Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд – 7 нот, нотный стан – 5 линеек. Интервалы: прима – 1, секунда – 2, терция – 3, кварта – 4, квинта – 5, секста – 6, септима – 7, октава – 8. Обозначения аппликатуры и размер произведения записывается тоже при помощи цифр.

Второе совпадение – это ритм. Ритм важнейший элемент в музыке. Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.

Например, числа кратные 3(трём) обладают следующим ритмом: Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8…. и т.д. Получается красивый, правильный, равномерный ритм, звучащий как трёхдольный музыкальный размер 3/4, который соответствует вальсу.

Если посчитать числа, кратные двум 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д. то увидим, что мы пришли к ритму марша, звучащему как музыкальный размер 2/4. Таким образом, числа тоже обладают ритмом.

Третье совпадение – наличие в музыке и математике противоположностей: 

Табица.1 Наличие противоположностей в музыке и математике

Четвертое совпадение обнаружили при изучении темы по музыке «Длительности». Оказывается, что длительности получаются так же, как и дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать так же как дробные числа: 1/2,1/4, 1/8, 1/16. Следовательно, названия длительностей служат одновременно и названиями чисел.

Пятое совпадение – в музыке существуют параллельные тональности. Также в музыке есть нотный стан, который состоит из пяти параллельных линий. А в математике существуют параллельные прямые.

Найденные выше совпадения подтверждают, что между музыкой и математикой есть связь.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ

2.1. Исследование музыкальных произведений

Мы попробовали сделать математическую модель нескольких музыкальных произведений разного жанра.

Рассмотрим к примеру классическое произведениеФ. Шопена (1810 – 1829) «Мазурка ля минор»(Приложение 1) [3].

Попробуем сделать математическую модель этого произведения.

Каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – I, 9 – II, 0 – III.

Переложили ноты на цифры, получив при этом такой ряд чисел.

5 | 5654 | 5234 | 3432 | 3712 | 1237 | 14576 | 5423 | 1 ||

Черта между цифрами служит тактовой чертой, то есть делит их на такты так, как сделано в произведении. В музыке есть понятие об устойчивых ступенях – ступенях, на которых строится тоника: 1, 3, 5. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.

В первом такте сумма равна 10 (5+5), во II – 8(5+3), в III – 6(3+3), в IV – 4(3+1), в V – 4(1+3), в VI – 6(1+5), в VII – 8(5+3) .

Получили ряд чисел: 10, 8, 6, 4, 4, 6, 8… и т.д. Следовательно, наблюдаем закономерность, что в произведении повторяется группа цифр 10 8 6 4 и наоборот.

Теперь, попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.

Получили числа в соответствии с номерами тактов: 600(5∙6∙5∙4), 120(5∙2∙3∙4), 72(3∙4∙3∙2), 42(3∙7∙1∙2), 42(1∙2∙3∙7), 840(1∙4∙5∙7∙6), 120(5∙4∙2∙3).

То есть имеем следующий ряд 600,120,72,42,42,840,120….

Значения в III(3432) и VI(14576) тактах получились разные за счёт того, что количество нот( 4 и 5) в них различное.

Рассмотрим современное классическое произведениеЯна Тирсена «La Valse D'amelie»(2001 год) (Приложение 2).

Переложим ноты на цифры. Получили следующее:

4 | 443 | 2 | 21 | 4 | 454323 | 2 | 21 | 3 | - такой фрагмент повторяется постоянно.

Сложив номера устойчивых ступеней, получили: 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 11 | 0 | 1 | 3 | - будет повторяться циклически.

Далее рассмотрим фрагмент классического произведения более раннего периода:«Жига» Ж. Обера (1689 – 1753) (Приложение 3) [3].

Получили следующий числовой ряд.

1321351 | 3321 | 7712524 | 321 | 55 | 6456247 | 44 | 5345136 | 33 | 4234725 | 22 | 3123255 | 32123155 | 321231432342 | 55234 | 321517 | 12 | 3123171 | 117 | 6671765 | 465432 | 5765725 | 2432462 | 1321171 | 1321171 | 1321171 | 1475 | 765254 | 55 ||

Сложим подчеркнутые цифры - это устойчивые ступени.

Получили следующее:

14 | 7 | 6 | 4 | 10 | 5 | 0 | 17 | 6 | 8 | 0 | 17 | 18 | 14 | 13 | 10 | 1 | 9 | 2 | 6 | 8 | 15 | 3 | 7 | 7 | 7 | 6 | 10 | 10 ||

Из это видно, что ряд, составленный из суммы устойчивых ступеней не имеет каких либо закономерностей. Причиной этому может быть разное количество нот в тактах.

Кроме классических произведений рассмотрим музыкальное произведение, относящееся к другому направлению. Например рок. Рассмотрим музыкальную команду Rammstien с песней «Duhast»(Приложение 4).

Получили следующее:

4311111111 | 4311111111 | 3444444444 | - повторяется на протяжении всей песни.

Сложив номера устойчивых ступеней, получили:

11 | 11 | 3 | 11 | 11 | 3 | … - и так далее.

Далее рассмотрим песню Е. Крылатова «Крылатые качели» (Приложение 5).

М ы получили:676432/43/676432 /3/456678/8776 / 6523/ /676432/43/4568/778/9999/9666/7765/478/9999/9666/7761/2.

При сложении устойчивых ступеней получили ряд чисел: 3, 3, 3,3, 5, 0, 8, 3, 3, 5, 0, 0, 0, 5.

Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 3,5,0.

Вывод: Любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель. Однако, в ходе выполнения исследования, выше перечисленными способами, мною выявлено, что не каждый числовой ряд имеет свою математическую закономерность (из-за разного количества нот в тактах).

2.2. Исследование дат рождений

Согласно теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, что числа правят музыкой. Он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.

Нумерология – это паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно распространенное название – Магия Чисел. В нумерологии все слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным числам), которые соответствуют различным оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это значит, что каждому однозначному числу, согласно нумерологии, соответствуют определенные свойства, образы и понятия. Нумерологию в основном используют для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личности, предсказания будущего, для выбора наилучшего времени для принятия серьезных решений и начала действий, а также для определения подходящей профессии, места проживания и многих других факторов [1].

Далее мы нашли ещё один способ проверить наличие связи между цифрами и музыкой. Что такое наша дата рождения? Это ни что иное как ряд чисел. Мы попробовали «послушать» как звучат даты рождения разных людей и установить связь между характером звучания и свойствами личности. Для этого были исследованы даты рождений учителей нашей школы и учащихся 9а класса. Предположив, что дата – набор цифр, мы переложили даты на ноты, условившись, что цифра 0– до, 1– ре, 2 – ми, 3 – фа, 4– соль, 5 – ля, 6 – си, 7–до, 8 – ре, 9 –ми.

У каждого учителя получился мотив, который соответствуют дате рождения (Приложение 6). Если сыграть эти ноты одновременно, получаются аккорды. У учителей физкультуры, математики и информатики – мелодия получилась с резкими скачками, а аккорды звучат дисгармонично. У учителя русского языка и литературы аккорд звучал благозвучно, а у учителя музыки аккорд звучал не только благозвучно, но даже звуки слились в унисон и аккорд превратился в благозвучные интервалы терцию и кварту, то есть наши учителя правильно выбрали свою профессию. И только у одного учителя физкультуры мы обнаружили несовпадение. Мелодия звучала благозвучно, интервалы и аккорд тоже. Это даже заставило нас усомниться в теории Пифагора и только когда мы побеседовали с учителем, оказалось, что она хоть и учитель физкультуры, но очень увлекается музыкой, любит петь и очень часто ведет различные мероприятия (дни рождения, свадьбы) в качестве тамады. Вот так пришла разгадка нашего несовпадения.

Такую же работу мы провели с датами рождения учащихся нашего 9а класса (Приложение 7). Мы выяснили, чем каждый ученик увлекается. Оказалось, что в первой группе, где мелодия звучала благозвучно, большинство детей любят заниматься танцами, рисовать, петь и читать книги. То есть данная группа детей обладает творческими способностями, которые косвенно или напрямую связаны с музыкой. Это же подтвердил анализ нашей нотной записи.

Результаты анализа анкетирования и нотной записи представили в виде диаграммы (Приложение 8, 9). Почти половина учащихся нашего класса имеют творческие способности, остальные имеют логический склад мышления. 

Таким образом, мы установили, что цифры (даты рождения) можно переложить на ноты и установить их связь со способностями личности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Всвоей исследовательской работе мы выдвинули гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности.

По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует, что наша первая часть гипотезы верна. Мы можем перевести любое музыкальное произведение в числовой ряд. Способов перевода может быть несколько. В работе рассмотрены два: сложение устойчивых ступеней, произведение устойчивых ступеней. Однако, в ходе выполнения исследований музыкальных произведений выше перечисленными способами нами выявлено, что не каждый числовой ряд имеет какую либо математическую закономерность. Яркий пример тому произведение «Жига».

Что касается обратной гипотезы: что числовой ряд можно переложить на музыку. Предложенный нами способ также позволяет любой числовой ряд переложить на музыку. В своей работе мы провели исследование дат рождений учителей и одноклассников. То, что музыка отражает в себе закономерность числового ряда и как следствие имеется связь между звучанием дат рождений и наклонностями человека находит подтверждение в наших исследованиях.

Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет определенный тип способностей человека, необходимо большее количество исследуемых. Если в последующем, при более глубоком и многочисленных исследованиях, наше предположение будет доказано это даст человеку еще один способ открыть себя, определить род занятий, выбрать профессию где наиболее полно раскроется потенциал личности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего «Я». Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.

1. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.

1. Скрипка: Хрестоматия для 5-7 классов детской музыкальной школы: Глюк Х., Бах И.С., Гуно Ш. и др. (исполнительская ред. Михайловой К.Ф.).М.: Кифара, 2005, 172с.

1. Онлайн энциклопедия «Кругосвет»:http://www.krugosvet.ru/

1. Свободная энциклопедия «Википедия»http://ru.wikipedia.org/

Приложение 1

Партитура «Мазурка ля минор» Ф. Шопена

Приложение 2

Партитура «La Valse D'amelie» Яна Тирсена

Приложение 3

Партитура «Жига» Ж. Обера

Приложение 4

Партитура «Duhast»Rammstien

Приложение 5

Партитура «Крылатые качели» Е. Крылатова

Приложение 6

Нотная запись дней рождения учителей МКОУ СОШ №47

Приложение 7

Нотная запись дней рождения обучающихся 9а класса МКОУ СОШ №47

Приложение 8

Результаты анализа анкетирования

Приложение 9

Результаты анализа нотной записи

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/615542-issledovatelskaja-rabota-matematika-i-muzyka