Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме: «Уравнения в ЕГЭ»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза

А.А. Винокурова р.п. Сура Никольского района Пензенской области

Урок в 11 классе по теме:

«Уравнения

в ЕГЭ»

Учитель математики

Новикова Светлана Николаевна

Цели урока:

Образовательная – повторение, обобщение, систематизация знаний об основных методах решения уравнений; проверка усвоения знаний на обязательном уровне.

Развивающая – развитие умения работать с тестовыми заданиями, умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации; развивать навыки самостоятельной работы.

Воспитательная – воспитание самооценки, коммуникативных способностей, самостоятельности, развивать познавательный интерес к предмету и творческих способностей учащихся.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, доска и мел, раздаточный материал .

Тип урока: обобщающий

План урока

1 Организационный момент.

1 этап - мотивационно - ориентировочный: разъяснение целей учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 Актуализация опорных знаний

3 этап -основной: осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап –самостоятельна работа

5 этап - заключительный: подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

Ход урока.

1.Организационный момент.(3 минуты)

Здравствуйте, ребята.
Урок хотелось бы начать притчей. Жил мудрец, который знал всё. Один человек захотел доказать, что мудрец не такой уж и мудрый и всё знать не может. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: «Скажи мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?» А сам думает: « Скажет живая- я её умерщвлю, скажет мёртвая выпущу» Мудрец подумав, ответил: « Все в твоих руках»

В наших руках возможность создать на уроке такую атмосферу, в которой будем чувствовать себя уютно, успешно, комфортно « как дома» (слайд 1)

Для того чтобы хорошо работать на уроке, нужен настрой. Решим задачи на повторение из КИМов (слайд 2 и 3)

№1 Стоимость проезда в электричке составляет 132 рубля. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоит проезд для 2 взрослых и 11 школьников.(ответ: 726)

№2Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок, 6 сумок имеют срытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется с дефектом.

(ответ: 0,03)

Что записано на доске? (уравнения)

А как вы думаете, чем мы будем сегодня заниматься на уроке? (решать уравнения)

( слайд 4)

В современных контрольно измерительных материалах ЕГЭ по математике уравнения явно или неявно присутствуют в заданиях.

Для того чтобы успешно сдать ЕГЭ по математике целесообразно заново переосмыслить общие идеи и методы решения уравнений, которые мы с вами изучали. Этим мы и займемся сегодня на уроке.

А эпиграфом к нашему уроку станут слова Станислава Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Т.е другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться. (слайд 5)

2. Актуализация знаний (3 минуты)

И так тема нашего урока « Уравнения в ЕГЭ», как вы думаете какие цели перед нами стоят сегодня? (дети говорят) Правильно, мы сегодня должны рассмотреть методы решения всех уравнений базового и профильного уровней.-( Слайд 7)

Давайте вернемся к уравнениям.

А какие вообще виды уравнений вы знаете?( линейные, рациональные, дробно – рациональные, , иррациональные , показательные, логарифмические, тригонометрии

ческие )

Что называется уравнением? ( Уравнение – равенство двух выражений.)

Как назовём значение х? (Корень уравнения)

Что называется корнем уравнения? ( Корень уравнения – такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.)

Как найти корень уравнения? (Решить его)

Что значит решить уравнение? ( Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.) Так чем же мы будем заниматься сегодня? (Решать уравнения)

3. Отработка умений и навыков. Работа в группах ( 12 минут)

1 группа «Решение дробно-рациональных и целых уравнений»

Решить уравнения (слайды с 8 по 11)

№3Найдите корень уравнения:

№4Найдите корень уравнения:

(2 человека к доске)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

№5

2 группа «Решение иррациональных уравнений»

Обобщим знания по теме: “Иррациональные уравнения”. Какие уравнения называются иррациональными?

1. Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка)

2. Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений. (подстановка)

3. Сколько решений имеет уравнение х²= а, если а < 0? (ноль)

4. Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная? (иррациональное)

2. Сколько решений имеет уравнение х²=0. (одно)

3. Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? ( постороннний)

4. Какие могут возникнуть неприятности при решении уравнений?

( появление посторонних корней или потеря корня вообще)

Решим иррациональные уравнения. (слайды 12, 13)( 2 человека к доске)

№7

№8

3 группа «Решение показательных уравнений»

Переходим к показательным уравнениям.

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения показательной функции?

3. Какова область значения показательной функция?

4. При каком условии показательная функция является возрастающей?

5. При каком условии показательная функция является убывающей?

Какие вы знаете методы решения показательных уравнений.(отвечают дети)

Учитель обобщает.

а) приведение к одному и тому же основанию;

б) приведение к квадратному уравнению. замена переменной; в) вынесение за скобку общего множителя;

г) деление обеих частей уравнения на одно и, тоже выражение. д) графический способ

Уравнение записано на доске. (3 мин) самостоятельно (проверка слайд 14)

№9

4 группа «Решение логарифмических уравнений»

Кроме всех рассмотренных уравнений существуют ещё логарифмические уравнения.

1. Дайте определение логарифма. 

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

Вы видите равенства содержащие переменную:

Как называют эти равенства?

Что общего у них?

Учащиеся отвечают: Эти равенства содержащие переменную под знаком логарифма называют логарифмическими уравнениями.

1. Используя свойства и определение логарифма. Вычислите устно:

а)

б)

в)

Какое уравнение называется логарифмическим?

Назовите основные методы решения логарифмических уравнений:

1)      по определению логарифма;

2)      метод введения новой переменной;

3)      приведение к одному основанию;

4)      метод логарифмирования.

Решим логарифмические уравнения (слайд15)

4.Физкультминутка.

«Космическая» гимнастика для глаз (1 мин.)

5. Работа в парах ? (7 минут)

С помощью уравнений можно решать задачи(слайды 16-19) С последующем решением у доски.

Итак, мы можем сделать вывод, что язык алгебры — уравнения. Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо перевести текст задачи с родного языка на язык алгебраический.

5 группа «Решение тригонометрических уравнений»(12 минут)

Решимтригонометрическое уравнение. (слайд 20)

Существует 2 основных метода решения тригонометрических уравнений это метод введения новой переменной и метод разложения на множители (слайд 21)

Для отбора корней рассмотрим способ решения двойного неравенства то есть алгебраический способ (слайд 22)

Решаем 2 часть уравнения. Указать корни уравнения принадлежащие промежутку от пи до 3п (на доске вместе)

А вообще существует 4 способа

1 способ мы только что рассмотрели, второй это- арифметический способ, 3- графический. (слайд , 23. 24)

4 способ геометрический способ (слайд 25)

№ 13 Решите тригонометрические равнения:

а ). Указать корни уравнения, принадлежащие промежутку [π;3π].

Б) . Указать корни уравнения, принадлежащие промежутку .

В) . Указать корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Г)

Этот способ очень удобен. Он позволяет найти корни за минимальное время. Все рассмотренные способы можно применить к любому уравнению, кроме уравнений с тангенсом. Для тангенса больше всего подходит способ перебора параметра. На мой взгляд.

Уравнения широко используются в различных разделах математики, а также в повседневной жизни: экономике, сельском хозяйстве и т.д.  поэтому домашним заданием будет задачи и уравнения

Домашнее задание индивидуально на листочках каждому.

Применение уравнений в жизни
Использование уравнений в экономике: 
3адача № 1 Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%? 
Использование уравнений в сельском хозяйстве: 
3адача № 2 Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся, как 3 к 2

Решить 2 уравнения.

Подведение итогов

Сегодня на уроке мы повторили основные методы решения уравнений. Эти методы пригодятся вам при сдаче ЕГЭ по математике

Вы сегодня хорошо потрудились. Я думаю, что ваш труд в дальнейшем принесет положительные результаты.

Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений это золотой ключ, открывающий все сезамы» С. Коваль

Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой золотой ключик. С помощью которого, перед вами открывались любые двери. Я желаю вам достичь заветной цели, а главное стремиться к постоянному самосовершенствованию.

(слайд 26)

Оценки за урок.

А теперь самостоятельная работа из сборников ЕГЭ (листочки)

Решить уравнения.

а)log ₂² x -4 log ₂ x + 3 = 0.

б).

в) 4^х +1 + 8 • 4^х = 3

Литература: 1. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Колмогоров А. Н.

«Просвещение». Москва 2013 год;

2. Типовые тестовые задания для подготовки к ЕГЭ – 2019-23г.г.

3. ЕГЭ. 3000 задач части В. О. В. Шульцева 2014 г

4. ЕГЭ 2019 год Математика. Типовые тестовые задания И. Р. Высоцкий под редакцией И. В. Ященко, издательство « Экзамен»

5 Материалы открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

Приложение

1)А какие виды уравнений вы знаете?

Что называется уравнением?

Как назовём значение х?

Что называется корнем уравнения?

Как найти корень уравнения?

Что значит решить уравнение?

2) Иррациональные уравнения”. Какие уравнения называются иррациональными?

1. Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений?

2. Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений.

3. Сколько решений имеет уравнение х²= а, если а < 0?

4. Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная?

5. Сколько решений имеет уравнение х²=0.

6. Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований?

7. Какие могут возникнуть неприятности при решении уравнений?

3) Показательные уравнения.

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения показательной функции?

3. Какова область значения показательной функция?

4. При каком условии показательная функция является возрастающей?

5. При каком условии показательная функция является убывающей?

Какие вы знаете методы решения показательных уравнений?

4)Логарифмические уравнения.

1. Дайте определение логарифма. 

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

Какое уравнение называется логарифмическим?

Назовите основные методы решения логарифмических уравнений:

1)      по определению логарифма;

2)      метод введения новой переменной;

3)      приведение к одному основанию;

4)      метод логарифмирования.

Работа в классе

№1 Стоимость проезда в электричке составляет 132 рубля. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоит проезд для 2 взрослых и 11 школьников.

№2Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок, 6 сумок имеют срытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется с дефектом.

№3Найдите корень уравнения:

№4Найдите корень уравнения:

(2 человека к доске)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

№5 Найдите корень уравнения

№6 Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

№ 7 Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

№8Найдите корень уравнения

№9 Решите самостоятельно уравнения

№ 10 Решите уравнения а)

Б )

Работа в парах

№11 Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

№ 12 Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

№ 13 Решите тригонометрические равнения:

а ). Указать корни уравнения, принадлежащие промежутку [π;3π].

Б) . Указать корни уравнения, принадлежащие промежутку .

В) . Указать корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Г)

Задача 3

Рабочий день уменьшился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%?

Решение:

Пусть производительность x единиц продукции в час, тогда за смену 8x единиц продукции.

8х единиц продукции составляют 100%,
k единиц продукции составляют 105%
k=8x·105/100=8,4x единиц продукции

Пусть производительность повышена на p %
(x+0,01px)– новая производительность за час,
7·(х+0,01х) – производительность за 7 часов, что равно
8,4х
Составляем уравнение:
7·(х+0,01·p·x)=8,4x
0,07p=1,4
p=20%

О т в е т. на 20%

Задача 4

Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся, как 3 к 2.

1-участок

3 х-время 1 й на обработку всего участка

2 х-время 2 й на обработку всего участка

1/12=1 / (3 х) + 1 / (2 х) умножим на 12 х

х=4+6

х=10

10*3=30 ч - время 1 й

10*2=20 ч - время 2 й

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/616348-urok-po-algebre-i-nachalam-analiza-v-11-klass