Построение многоуровневой системы задач по теме: «Трапеция»

Задача №1- 3

Дано.ABCD- трапеция

A=8 , b=6 , R=5.

Найти. AB , СD,площадьABCD,h_1, h₂.

1случай.Решение.

ABCD- равнобедренная трапеция. Из Δ ОАН₂ прямоугольного по теореме Пифагора ОН₂=2 Аналогично из ΔОВН₁ ОН₁=4, тогда Н₁ Н₂ =1.

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ= .

S_тр=h= 1=7

2случай.

ABCD- равнобедренная трапеция .Из ΔODH₂ прямоугольного по теореме Пифагора ОН₂=3 ,из ΔОСН₁ прямоугольного по теореме Пифагора ОН₂=4, тогда Н₁ Н₂=7

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ= .

S_тр=h=·7=49.

Ответ:

Задача № 4

Найдите угла А, В ,С и D трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция,

ВС=6, AD=8

Найти:

Решение:

Из вершины опустим высоту .

Из задачи 1 следует, что .

По свойству равнобедренной трапеции .

Так же по свойству равнобедренной трапеции .

Рассмотрим - прямоугольный. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника получим:

По условию задачи трапеция вписана в окружность. Следовательно, .

Ответ:

Задача № 5

Найти диагонали трапеции.

Д ано: –трапеция, . Найти: .

Решение:

По свойству равнобедренной трапеции .

Рассмотрим – прямоугольный. По теореме Пифагора

Ответ:

Задача № 6

Найти угол между диагоналями трапеции.

Д ано: –трапеция,

.

Найти: .

Решение:

Пусть

Площадь трапеции можно найти по формуле:

По свойству равнобедренной трапеции Следовательно, формула принимает вид:

Из задачи 3 известно, что Составим и решим уравнение:

Ответ:

З адача №7

Найти длину отрезка МN, параллельного АD, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.

Решение:

Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям, есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Значит, МN = , где и основания трапеции МN= = =6

Ответ: 6

Задача №8

Найти длину отрезка средней линии трапеции АВСD, заключенного между диагоналями (длину отрезка ЕF).

Решение:

В треугольнике АСD ЕN – средняя линия ЕN АD и ЕN=АD.

В треугольнике ВСD FN – средняя линия FN ВС и FN=ВС. Тогда ЕF= ЕN- FN=( АD- ВС)

Значит, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Длина отрезка равна =1

Ответ: 1

Задача №9

В каком отношении отрезок МN делит площадь трапеции (вычислить ).

Решение:

= , где и высоты трапеций MNCB и ADNM соответственно. Так как , то = .

Значит, = =

Ответ: .

Задача №10.

Н айти высоту треугольника ADF, где F – точка пересечения продолжений боковых сторон.

Решение: 1 способ.

Рассмотрим прямоугольный

=

Ответ: 28

2 способ.

Треугольники и подобны по двум углам (угол -общий, угол равен углу как соответственные углы при параллельных прямых и ).

Значит,, где .

Пусть =, тогда = +7 ( = 7 из задачи № 1)

=21. Значит,

Ответ:28

Задача №11

Известны длины оснований a=8 см и b=6 см вписанной в окружность трапеции АВСD, ВС||АD и радиус окружности R=5 см. Найдите площади четырех треугольников, на которые делят диагонали трапецию.

Задача №12

а) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две равновеликие трапеции.

б) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две подобные трапеции.

Задача №13

Можно ли в трапецию вписать окружность?

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.(БЗ2.5)

Проверим АВ + СD = ВС + АD,

8 см + 6 см 5 см+5 см

В данную трапецию окружность вписать нельзя.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/62208-postroenie-mnogourovnevoj-sistemy-zadach-po-t