Сборник задач по теории вероятностей с решениями

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС (УМК)

Сборник задач по теории вероятностей с решениями

«Профильная инверсия в теории вероятностей»

Автор: Ерёмина Мария Олеговна,
учитель химии и математики
МБОУ «Хабарская СОШ №2»

Классы: 7–9

УМК: любой

2026 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Введение

В современной школе изучение теории вероятностей часто сводится к заучиванию формул и решению абстрактных задач с монетами, кубиками и урнами. При этом ученики не видят связи между вероятностными закономерностями и реальными процессами, происходящими в окружающем мире. Особенно остро эта проблема стоит в 7–9 классах, где закладывается основа стохастической грамотности.

Предлагаемый УМК реализует принцип «профильной инверсии»: ученик не просто решает готовые задачи на вероятность, а исследует реальную проблему из естественно-научной области, которая естественным образом приводит к «открытию» вероятностного закона. Такой подход позволяет:

1. Преодолеть формализм — формула перестаёт быть абстракцией, она «вырастает» из эмпирических данных.

2. Сформировать межпредметное мышление — вероятность становится языком описания биологических, химических и физических процессов.

3. Повысить мотивацию — задачи обретают смысл, так как связаны с реальными науками.

Методическая концепция «Профильная инверсия»:

Структура каждой задачи:

1. Описание — краткое пояснение, о чём задача и какой закон открывается.

2. Профильная проблема — описание реальной ситуации из биологии, химии, физики или географии.

3. Решение — пошаговый вывод с обоснованием.

4. Открываемый закон — указание на вероятностный закон, который «открывается» через данную задачу.

5. Методический комментарий — рекомендации для учителя по организации инверсивного урока.

Методические рекомендации по использованию ресурса

Работу можно применить:

• при проведении уроков по систематизации и закреплению знаний учащихся;

• при проведении консультаций и факультативных занятий;

• при организации проектно-исследовательской деятельности;

• для подготовки к ОГЭ по математике (задания №10).

Алгоритм инверсивного урока:

Источники информации: Открытый банк ЕГЭ ФИПИ (http://fipi.ru/), реальные статистические данные, эмпирические наблюдения.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК

Основные формулы и определения

1. Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: , где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.

Профильная интерпретация: в биологии — это отношение особей с нужным признаком к общему числу особей в популяции. В химии — отношение благоприятных исходов реакции к числу всех возможных столкновений молекул.

2. Противоположные события

Событие, противоположное событию A, обозначают  . При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий:

Профильная интерпретация: «Растение будет жёлтым» и «растение будет зелёным» — противоположные события при моногибридном скрещивании.

3. Объединение несовместных событий

Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.

Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей:

Профильная интерпретация: В генетике — вероятность получить либо AA, либо Aa (несовместные генотипы).

4. Пересечение независимых событий

Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Событие C называют пересечением событий A и B ( ), если событие C означает, что произошли оба события A и B. Если события A и B независимы, то:

Профильная интерпретация: Вероятность независимого наследования двух признаков при дигибридном скрещивании.

5. Формула сложения вероятностей совместных событий

Если события A и B совместны (могут произойти одновременно), то:

6. Формула полной вероятности (для 9 класса)

Пусть события   образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события A:

7. Формула Байеса (для 9 класса)

8. Формула Бернулли (для 8–9 классов)

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно k раз:

БЛОК ДЛЯ 7 КЛАССА (15 ЗАДАЧ)

«Первые шаги в вероятности: от наблюдений к закону»

Для 7-го класса задачи строятся на простых экспериментах, которые можно провести в классе, и на понятных биологических/химических примерах. Главная цель — сформировать интуитивное понимание вероятности как частоты событий.

Задача 7-1. Цвет глаз в классе

Описание: Классическая задача на введение понятия вероятности через реальные данные самого класса. Ученики собирают статистику и вычисляют долю кареглазых. Подводит к пониманию вероятности как частоты.

Профильная проблема: в вашем классе 25 человек. Из них 10 имеют карие глаза, 8 — голубые, 5 — зелёные, 2 — серые. Учитель случайным образом вызывает одного ученика к доске. Какова вероятность, что у вызванного ученика будут карие глаза?

Решение:

• Всего исходов: 25 (учеников в классе)

• Благоприятных исходов: 10 (кареглазых)

• 

Ответ: 0,4 (или 40%)

Открываемый закон: Классическое определение вероятности как частоты события в группе.

Методический комментарий: Попросите учеников собрать свои данные по классу. Спросите: «Если бы в классе было 50 человек, как бы изменилась вероятность?» Подведите к идее, что вероятность — это доля.

Задача 7-2. Любимый предмет

Описание: Задача на закрепление классического определения вероятности на материале, близком к жизненному опыту учеников.

Профильная проблема: в классе 20 учеников. Любимый предмет — математика у 8 человек, биология у 5, химия у 3, остальные любят другие предметы. Какова вероятность, что случайно выбранный ученик любит биологию?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 7-3. Всхожесть семян

Описание: Задача вводит статистическое определение вероятности через реальный сельскохозяйственный эксперимент. Ученики вычисляют частоту события и понимают, что это оценка вероятности.

Профильная проблема: Садовод посадил 50 семян огурцов. Через неделю проросло 40 семян. Какова «вероятность» того, что случайное семя прорастёт? (Оценка вероятности по частоте.)

Решение:

Ответ: 0,8 (или 80%)

Открываемый закон: Статистическое определение вероятности (частота как оценка вероятности).

Методический комментарий: Это первый шаг к пониманию закона больших чисел. Спросите: «Если бы он посадил 500 семян, точность оценки была бы выше?»

Задача 7-4. Горох Менделя

Описание: Историческая задача, показывающая, как Мендель экспериментально пришёл к вероятностным закономерностям. Сравнение эмпирической частоты с теоретической вероятностью 0,75.

Профильная проблема: Мендель скрещивал растения гороха и получил 929 семян: 693 жёлтых и 236 зелёных. Какова вероятность, что случайное семя окажется жёлтым?

Решение:

Ответ: ≈ 0,746 (≈ 74,6%)

Методический комментарий: Сравните с теоретической вероятностью 0,75 (из решётки Пеннета). Обсудите отклонение. Подведите к идее, что на малых выборках отклонения больше — это проявление закона больших чисел.

Задача 7-5. Дни рождения

Описание: Задача на равномерное распределение. Ученики понимают, что вероятность — это отношение части к целому, если все исходы равновозможны.

Профильная проблема: в вашем классе 25 человек. Какова вероятность, что у случайного ученика день рождения летом (июнь, июль, август)?

Решение:

• Летних месяцев — 3 из 12

• 

Ответ: 0,25

Открываемый закон: Вероятность как отношение части к целому в равномерном распределении.

Задача 7-6. Наследование цвета глаз у дрозофил

Описание: Генетическая задача, показывающая, как из решётки Пеннета «рождается» вероятность. Ученики видят, что закономерность 3:1 — это вероятностная, а не детерминированная.

Профильная проблема: При скрещивании красноглазых (доминантный признак) и белоглазых (рецессивный) дрозофил в первом поколении все особи красноглазые. При скрещивании гибридов красных особей получается соотношение 3:1 (красные: белые). Какова вероятность рождения белоглазой особи?

Решение:

• Из 4 возможных комбинаций (AA, Aa, aA, aa) только aa — белые

• 

Ответ: 0,25

Задача 7-7. Монеты у детей

Описание: Бытовая задача на классическое определение вероятности. Ученики считают общее число монет и число благоприятных исходов.

Профильная проблема: в кармане у Пети 3 монеты по 10 рублей и 2 монеты по 5 рублей. Петя достаёт одну монету наугад. Какова вероятность, что это монета в 10 рублей?

Решение:

• Всего монет: 3 + 2 = 5

• Благоприятных: 3

• 

Ответ: 0,6

Задача 7-8. Доминантный признак у растений

Описание: Задача на применение решётки Пеннета для вычисления вероятности фенотипа. Ученики сами строят решётку и «открывают» отношение 3:1.

Профильная проблема: У томатов красный цвет плодов (R) доминирует над жёлтым (r). При скрещивании Rr × Rr получено 4 растения. Какая доля потомства будет красноплодной?

Решение:

• Решётка Пеннета: RR, Rr, rR, rr

• Красные: RR, Rr, rR — 3 из 4

• 

Ответ: 0,75

Задача 7-9. Любимое мороженое

Описание: Ещё одна задача на частотную интерпретацию вероятности на материале, понятном каждому школьнику.

Профильная проблема: в школьном буфете продают мороженое: 4 вида. Из 20 опрошенных учеников 8 любят шоколадное, 5 — ванильное, 4 — клубничное, 3 — фруктовое. Какова вероятность, что случайный ученик любит шоколадное?

Решение:

Ответ: 0,4

Задача 7-10. Частота аллелей

Описание: Задача вводит понятие частоты аллеля в популяции как вероятности. Это первый шаг к закону Харди-Вайнберга.

Профильная проблема: в популяции 100 кроликов: 64 серых (доминантный признак) и 36 белых (рецессивный). Какова частота белых кроликов в популяции?

Решение:

Ответ: 0,36

Открываемый закон: Частота признака в популяции как оценка вероятности.

Задача 7-11. Таблица умножения

Описание: Простая задача на вычисление вероятности среди чисел от 1 до 10. Ученики перебирают все варианты.

Профильная проблема: Петя случайным образом называет число от 1 до 10. Какова вероятность, что это число делится на 3?

Решение:

• Числа от 1 до 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

• Делятся на 3: 3, 6, 9 — 3 числа

• 

Ответ: 0,3

Задача 7-12. Бросание кубика

Описание: Классическая задача на равновозможные исходы. Ученики считают число благоприятных граней.

Профильная проблема: Петя бросает игральный кубик один раз. Какова вероятность, что выпадет число очков больше 3?

Решение:

• Всего исходов: 6

• Благоприятных: 4, 5, 6 — 3 исхода

• 

Ответ: 0,5

Задача 7-13. Живые организмы в капле воды

Описание: Биологическая задача. Ученики работают с данными микроскопического наблюдения, вычисляя долю организмов определённого вида.

Профильная проблема: в капле воды из пруда под микроскопом обнаружено 10 организмов: 4 инфузории, 3 амёбы, 2 эвглены и 1 циклоп. Какова вероятность, что случайно выбранный организм — амёба?

Решение:

Ответ: 0,3

Задача 7-14. Лекарство действует

Описание: Задача на статистическую вероятность в медицине. Ученики оценивают эффективность лекарства по данным клинических испытаний.

Профильная проблема: Врач выписал лекарство 20 пациентам. У 12 пациентов наступило улучшение. Какова «вероятность» того, что лекарство помогает?

Решение:

Ответ: 0,6 (60%)

Задача 7-15. Какая буква чаще?

Описание: Задача на частотность букв в слове. Это первый шаг к пониманию статистической лингвистики и распределения Ципфа.

Профильная проблема: в слове «ВЕРОЯТНОСТЬ» (11 букв) наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это буква «О»?

Решение:

• Букв «О» в слове: 2

• Всего букв: 11

• 

Ответ: ≈ 0,182

Методический комментарий: Посчитайте частоту букв в предложении — это подводка к статистической лингвистике.

БЛОК ДЛЯ 8 КЛАССА (15 ЗАДАЧ)

«Вероятность и комбинаторика в естественных науках»

Для 8-го класса задачи усложняются: появляются элементы комбинаторики (число сочетаний), умножение вероятностей для независимых событий, элементарная формула Бернулли.

Задача 8-1. Наследование двух признаков

Описание: Задача на дигибридное скрещивание. Ученики строят решётку Пеннета 4×4 и находят вероятность конкретного генотипа. «Открывается» правило умножения вероятностей.

Профильная проблема: При скрещивании дигетерозиготных растений (AaBb × AaBb) по законам Менделя получается 16 комбинаций. Какова вероятность получить растение с генотипом AABB?

Решение:

• Всего 16 равновозможных комбинаций

• Благоприятная — 1 (AABB)

• 

Ответ: 0,0625 (6,25%)

Открываемый закон: Правило умножения вероятностей (независимое наследование признаков).

Методический комментарий: Постройте с учениками решётку Пеннета 4×4. Пусть они сами посчитают число комбинаций.

Задача 8-2. Группа крови (задача с независимостью)

Описание: Задача на применение правила умножения вероятностей для независимых событий в медицинской генетике.

Профильная проблема: Вероятность того, что у человека I группа крови, равна 0,35, а вероятность того, что у него резус-положительная кровь, равна 0,85. Считая эти события независимыми, найдите вероятность того, что у человека I группа крови и резус-положительная.

Решение:

• События независимы

• 

Ответ: 0,2975

Открываемый закон: Правило умножения вероятностей для независимых событий.

Задача 8-3. Вероятность наследования гемофилии

Описание: Задача на сцепленное с полом наследование. Ученики вычисляют вероятность больного сына, используя умножение вероятностей.

Профильная проблема: Гемофилия — рецессивное заболевание, сцепленное с X-хромосомой. Женщина-носитель (XᴴXʰ) и здоровый мужчина (XᴴY) имеют 4 детей. Какова вероятность того что, хотя бы один сын будет болен?

Решение:

• Вероятность рождения больного сына: 0,5 (пол сына) × 0,5 (получение Xʰ) = 0,25

• Для 4 детей: 

Ответ: ≈ 0,684

Открываемый закон: Биномиальное распределение (элементарное введение).

Задача 8-4. Белки и аминокислоты

Описание: Задача на понимание, что вероятность случайного выбора конкретной аминокислоты равна 1/20.

Профильная проблема: в белке 10 позиций. В каждой позиции может быть одна из 20 аминокислот. Какова вероятность, что в случайной позиции окажется глицин?

Решение:

Ответ: 0,05

Задача 8-5. Два кубика

Описание: Классическая задача на число исходов при двух бросках. Ученики составляют таблицу всех 36 исходов и находят благоприятные.

Профильная проблема: Петя бросает два игральных кубика и складывает выпавшие числа. Какова вероятность, что сумма очков равна 7?

Решение:

• Всего исходов: 6⋅6=36

• Благоприятные исходы (сумма 7): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 исходов

• 

Ответ: ≈ 0,167

Открываемый закон: Произведение числа исходов при независимых событиях.

Задача 8-6. Комбинаторика в селекции

Описание: Задача вводит понятие числа сочетаний через селекционный эксперимент. Ученики «открывают» формулу  через перебор.

Профильная проблема: Селекционер имеет 6 растений, из которых 3 устойчивы к болезням. Он выбирает 2 растения для скрещивания. Какова вероятность, что оба растения устойчивы?

Решение:

• Всего способов выбрать 2 из 6: 

• Способов выбрать 2 устойчивых из 3: 

• 

Ответ: 0,2

Открываемый закон: Комбинаторика (число сочетаний).

Методический комментарий: Нарисуйте треугольник Паскаля для нахождения .

Задача 8-7. Эпидемия в классе

Описание: Задача на формулу Бернулли в контексте эпидемиологии. Ученики вычисляют вероятность ровно двух заболевших в классе.

Профильная проблема: в классе 20 человек. Вероятность того, что конкретный ученик заболеет гриппом, равна 0,1. Какова вероятность того, что заболеет ровно 2 ученика?

Решение (формула Бернулли):

Ответ: ≈ 0,285

Открываемый закон: Формула Бернулли (биномиальное распределение).

Задача 8-8. Ошибка измерения

Описание: Задача на умножение вероятностей для независимых ошибок измерения. Подводит к теории ошибок.

Профильная проблема: Учёный измеряет длину листа 5 раз. Вероятность ошибки в каждом измерении равна 0,05 (независимо). Какова вероятность, что ошибки не будет ни в одном измерении?

Решение:

Ответ: ≈ 0,774

Открываемый закон: Умножение вероятностей независимых событий.

Задача 8-9. Вероятность двух мутаций

Описание: Задача показывает, как вероятность редких событий перемножается. Ученики понимают, почему одновременные мутации крайне маловероятны.

Профильная проблема: Вероятность мутации в одном гене равна  . Считая мутации независимыми, найдите вероятность того, что в двух разных генах произойдут мутации одновременно.

Решение:

Ответ:   (очень мало!)

Задача 8-10. Шахматная доска

Описание: Простая задача на классическую вероятность с использованием равномерного распределения на шахматной доске.

Профильная проблема: На шахматной доске (8×8) случайно выбрана клетка. Какова вероятность, что она белая?

Решение:

• Всего клеток: 64

• Белых: 32

• 

Ответ: 0,5

Задача 8-11. Анализ крови

Описание: Задача на статистическую вероятность в медицине. Ученики вычисляют частоту повышенного сахара в выборке.

Профильная проблема: У 20 пациентов взяли кровь на анализ. Из них у 12 обнаружен высокий уровень сахара. Какова «вероятность» того, что у случайного пациента повышенный сахар?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 8-12. Две мутации в одном гене

Описание: Задача показывает применение формулы   для вероятности хотя бы одного события.

Профильная проблема: в гене длиной 1000 нуклеотидов вероятность мутации в каждом нуклеотиде равна  . Считая мутации независимыми, найдите вероятность того, что мутация произойдёт хотя бы в одном нуклеотиде.

Решение:

Ответ: ≈ 0,001

Задача 8-13. Окраска цветов

Описание: Задача на анализирующее скрещивание. Ученики определяют вероятность фенотипа при скрещивании Rr × rr.

Профильная проблема: У растения красный цвет (R) доминирует над белым (r). При скрещивании Rr × rr какова вероятность получить красный цвет?

Решение:

• Гаметы: Rr (R или r); rr (только r)

• Потомство: Rr (красный) или rr (белый) в отношении 1:1

• 

Ответ: 0,5

Задача 8-14. Вероятность дождя

Описание: Задача на применение правила умножения для вероятности хотя бы одного события через противоположное.

Профильная проблема: По прогнозу вероятность дождя в субботу равна 0,4, а в воскресенье — 0,3. Считая дни независимыми, найдите вероятность дождя хотя бы в один из двух дней.

Решение:

Ответ: 0,58

Задача 8-15. Биологический эксперимент

Описание: Задача вводит понятие математического ожидания как среднего числа успехов. Ученики вычисляют ожидаемое число заражённых мышей.

Профильная проблема: в эксперименте 20 мышей. Вероятность того, что мышь заразится вирусом при контакте, равна 0,3. Сколько мышей в среднем заразится?

Решение:

• Математическое ожидание: 

Ответ: ≈ 6 мышей

Открываемый закон: Математическое ожидание биномиального распределения.

БЛОК 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ (9 КЛАСС)

Раздел 1. Биология и генетика

Задача 9-1. Наследование окраски у гороха

Описание: Классическая задача Менделя на моногибридное скрещивание. Ученики «открывают» отношение 1:2:1 и вычисляют вероятность гомозиготного доминантного генотипа.

Профильная проблема: При скрещивании двух гетерозиготных растений гороха (Aa × Aa) по законам Менделя потомство распределяется по генотипам в отношении 1:2:1 (AA, Aa, aa). Какова вероятность, что случайно выбранное растение окажется гомозиготным по доминантному признаку (AA)?

Решение:

• Всего 4 равновероятных комбинации при образовании гамет: AA, Aa, aA, aa

• Благоприятных исходов (генотип AA) — 1

• 

Ответ: 0,25

Открываемый закон: Классическое определение вероятности.

Задача 9-2. Вероятность фенотипа у гороха

Описание: Задача на вычисление вероятности рецессивного фенотипа при моногибридном скрещивании. Ученики видят, что это 1/4.

Профильная проблема: При скрещивании Aa × Aa, где A — жёлтая окраска семян (доминантный), a — зелёная (рецессивный). Какова вероятность получить зелёное растение (генотип aa)?

Решение:

• Всего 4 равновозможных исхода: AA, Aa, aA, aa

• Благоприятных (aa) — 1

• 

Ответ: 0,25

Задача 9-3. Группы крови

Описание: Задача на правило сложения вероятностей для несовместных событий в медицинской генетике.

Профильная проблема: в популяции распределение групп крови системы AB0 следующее: I группа — 35%, II группа — 30%, III группа — 20%, IV группа — 15%. Какова вероятность, что у случайного человека будет группа крови I или IV?

Решение:

• События «группа I» и «группа IV» несовместны

• 

Ответ: 0,50

Открываемый закон: Правило сложения вероятностей для несовместных событий.

Задача 9-4. Врождённые заболевания

Описание: Задача на применение правила умножения вероятностей для независимых событий в генетике.

Профильная проблема: Вероятность рождения ребёнка с муковисцидозом у родителей-носителей равна 0,25 (если оба родителя гетерозиготны по рецессивному аллелю). В семье четверо детей. Какова вероятность, что все дети будут здоровы?

Решение:

• Вероятность здоровья для одного ребёнка: 

• Для четырёх независимых детей: 

Ответ: ≈ 0,316

Открываемый закон: Правило умножения вероятностей для независимых событий.

Задача 9-5. Частота аллелей (закон Харди-Вайнберга)

Описание: Задача вводит один из фундаментальных законов популяционной генетики. Ученики «открывают» формулу 

Профильная проблема: в популяции 16% особей имеют рецессивный признак (генотип aa). Считая, что популяция находится в равновесии, определите частоту аллеля a и долю гетерозиготных особей (Aa).

Решение:

• , значит   (частота аллеля a)

•  (частота аллеля A)

• Доля гетерозигот: 

Ответ: частота аллеля a = 0,4; доля гетерозигот = 48%.

Открываемый закон: Закон Харди-Вайнберга .

Методическийкомментарий: Это задача повышенной сложности для 9 класса. Ученики «открывают», что частоты аллелей в популяции подчиняются вероятностному закону.

Задача 9-6. Вероятность выживания

Описание: Задача на умножение вероятностей при независимом выживании особей в популяции.

Профильная проблема: Вероятность выживания одной особи редкого вида в течение года равна 0,8. В популяции 5 особей, выживание каждой независимо. Какова вероятность, что выживут все 5?

Решение:

Ответ: ≈ 0,328

Задача 9-7. Селекция: отбор по признаку

Описание: Задача на применение формулы   для определения необходимого объёма выборки в селекции.

Профильная проблема: Селекционер скрещивает растения, у которых вероятность появления полезного признака равна 0,25. Сколько растений нужно вырастить, чтобы с вероятностью не менее 95% получить хотя бы одно растение с этим признаком?

Решение:

Ответ: 11 растений.

Задача 9-8. Генетика пола

Описание: Простая задача на вероятность рождения детей определённого пола.

Профильная проблема: Вероятность рождения мальчика равна 0,5. В семье трое детей. Какова вероятность, что все они девочки?

Решение:

Ответ: 0,125

Задача 9-9. Эффективность лекарства

Описание: Задача на формулу Бернулли в клинических испытаниях. Ученики вычисляют вероятность данного результата при нулевой гипотезе.

Профильная проблема: Эффективность нового лекарства составляет 80%. В группе из 10 пациентов лечение помогло 6. Какова вероятность такого результата, если лекарство неэффективно (50%)?

Решение:

Ответ: ≈ 0,205

Задача 9-10. Редкие заболевания

Описание: Задача вводит распределение Пуассона как модель для редких событий. Ученики вычисляют вероятность хотя бы одного случая редкого заболевания.

Профильная проблема: Вероятность рождения ребёнка с фенилкетонурией равна 0,0001. В городе рождается 5000 детей в год. Какова вероятность, что за год родится хотя бы один больной ребёнок?

Решение:

Ответ: ≈ 0,394

Открываемый закон: Распределение Пуассона (приближение для редких событий).

Раздел 2. Химия (9 класс)

Задача 9-11. Кинетика реакции

Описание: Задача на биномиальное распределение в химической кинетике. Ученики вычисляют вероятность ровно двух успешных столкновений из четырёх.

Профильная проблема: в химической реакции вероятность столкновения двух молекул с энергией, достаточной для реакции, равна 0,15. Какова вероятность, что из 4 столкновений произойдёт ровно 2 реакции?

Решение:

Ответ: ≈ 0,098

Открываемый закон: Биномиальное распределение; теория активных столкновений.

Задача 9-12. Распад радиоактивных ядер

Описание: Задача вводит понятие математического ожидания числа успехов в биномиальном распределении на примере радиоактивного распада.

Профильная проблема: Вероятность распада радиоактивного ядра за 1 секунду равна 0,01. В образце 200 ядер. Каково математическое ожидание числа распавшихся ядер за секунду?

Решение:

Ответ: 2 ядра.

Задача 9-13. Качество продукции

Описание: Простая задача на вероятность качественного реактива. Ученики вычисляют вероятность через противоположное событие.

Профильная проблема: в партии из 1000 химических реактивов в среднем 2% бракованных. Какова вероятность, что случайно выбранный реактив окажется качественным?

Решение:

Ответ: 0,98

Задача 9-14. Кристаллизация

Описание: Задача на применение распределения Пуассона для расчёта вероятности числа дефектов в кристаллах.

Профильная проблема: При кристаллизации вещества вероятность образования дефекта в кристалле равна 0,05. Какова вероятность, что из 100 кристаллов окажется более 5 с дефектами?

Решение (приближение Пуассона с λ=5):

Ответ: ≈ 0,384

Задача 9-15. Титрование

Описание: Задача вводит нормальное распределение ошибок измерений на примере химического титрования.

Профильная проблема: При проведении титрования ошибка измерения имеет нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением 0,1 мл. Какова вероятность, что ошибка превысит 0,2 мл?

Решение:

Ответ: ≈ 0,046

Открываемый закон: Нормальное распределение ошибок измерений.

Задача 9-16. Скорость реакции

Описание: Задача на экспоненциальное распределение времени ожидания события. Ученики вычисляют вероятность столкновения в первые 3 секунды.

Профильная проблема: Время ожидания до первого столкновения молекул распределено экспоненциально со средним 5 секунд. Какова вероятность, что столкновение произойдёт в первые 3 секунды?

Решение:

Ответ: ≈ 0,451

Открываемый закон: Экспоненциальное распределение.

Задача 9-17. Выход продукта

Описание: Обратная задача на нормальное распределение. Ученики вычисляют стандартное отклонение по известному доверительному интервалу.

Профильная проблема: Выход продукта реакции — случайная величина с нормальным распределением. В 95% случаев выход находится в интервале [85%, 95%]. Чему равно стандартное отклонение?

Решение:

Ответ: ≈ 2,55%

Задача 9-18. Контроль качества

Описание: Задача на формулу Бернулли в контроле качества продукции. Ученики вычисляют вероятность ровно двух бракованных проб в выборке.

Профильная проблема: На химическом заводе 3% продукции бракованной. В выборке из 50 проб какова вероятность, что бракованных проб будет ровно 2?

Решение:

Ответ: ≈ 0,255

Задача 9-19. Химическое равновесие

Описание: Задача на биномиальное распределение в обратимой реакции. Ученики вычисляют вероятность образования более 5 молекул продукта.

Профильная проблема: В реакции A + B ⇄ C + D вероятность образования продукта C при одном столкновении равна 0,4. Какова вероятность, что из 10 столкновений образуется более 5 молекул C?

Решение:

Ответ: ≈ 0,166

Задача 9-20. Необратимая реакция

Описание: Задача на вероятность хотя бы одного события в серии испытаний. Ученики применяют формулу 

Профильная проблема: в необратимой реакции вероятность того, что молекула прореагирует за 1 секунду, равна 0,1. Какова вероятность, что за 5 секунд прореагирует хотя бы одна молекула из 10?

Решение:

Ответ: ≈ 0,995

Раздел 3. Физика (9 класс)

Задача 9-21. Броуновское движение

Описание: Задача вводит модель случайного блуждания. Ученики вычисляют вероятность возвращения в исходную точку после 10 шагов.

Профильная проблема: Частица совершает случайное блуждание по прямой, делая шаги +1 и -1 с равной вероятностью. Какова вероятность, что после 10 шагов частица окажется в точке 0?

Решение:

Ответ: ≈ 0,246

Задача 9-22. Тепловая скорость молекул

Описание: Задача знакомит с распределением Максвелла. Ученики узнают, что не все молекулы имеют скорость, близкую к средней.

Профильная проблема: Скорости молекул газа имеют распределение Максвелла. Какова вероятность, что скорость молекулы превышает среднюю скорость?

Решение: Для распределения Максвелла ≈ 43% молекул имеют скорость выше средней.

Ответ: ≈ 0,43

Задача 9-23. Ошибки измерений

Описание: Задача на нормальное распределение и теорию ошибок. Ученики вычисляют вероятность ошибки более 1 мм.

Профильная проблема: При многократном измерении одной и той же физической величины ошибки распределены нормально со средним 0 и   мм. Какова вероятность, что ошибка превысит 1 мм?

Решение:

Ответ: ≈ 0,046

Открываемый закон: Нормальное распределение и теория ошибок Гаусса.

Задача 9-24. Радиоактивный распад (Пуассон)

Описание: Задача на применение нормального приближения для распределения Пуассона в ядерной физике.

Профильная проблема: Счётчик Гейгера зарегистрировал 60 распадов за минуту. Какова вероятность, что за следующую минуту распадов будет меньше 50?

Решение:

• P(X<50)≈0,098P(X<50)≈0,098

Ответ: ≈ 0,098

Задача 9-25. Время безотказной работы

Описание: Задача на экспоненциальное распределение в теории надёжности. Ученики вычисляют вероятность безотказной работы лампочки.

Профильная проблема: Время безотказной работы лампочки имеет экспоненциальное распределение со средним 1000 часов. Какова вероятность, что лампочка прослужит более 2000 часов?

Решение:

Ответ: ≈ 0,135

БЛОК 2. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ФОРМУЛА БАЙЕСА (9 КЛАСС)

Задача 9-26. Диагностика заболевания

Описание: Классическая задача на формулу Байеса. Ученики вычисляют вероятность болезни при положительном тесте и часто удивляются результату.

Профильная проблема: Тест на редкое заболевание имеет чувствительность 99% и специфичность 95%. Заболевание встречается у 0,1% населения. Какова вероятность, что человек с положительным тестом действительно болен?

Решение (формула Байеса):

Ответ: ≈ 1,94%

Открываемый закон: Формула Байеса.

Методический комментарий: Этот результат часто шокирует учеников. Это лучший способ «открыть» Байеса.

Задача 9-27. Наследственность и вероятность

Описание: Задача на биномиальное распределение в генетике. Ученики вычисляют вероятность ровно двух больных детей в семье с четырьмя детьми.

Профильная проблема: Вероятность рождения ребёнка с генетическим заболеванием, если болен один из родителей, равна 0,5. В семье 4 детей. Какова вероятность, что ровно двое из них унаследуют заболевание?

Решение:

Ответ: 0,375

Задача 9-28. Эпидемия гриппа

Описание: Задача вводит элементы моделирования эпидемии. Ученики вычисляют число заражённых через 2 дня.

Профильная проблема: в классе из 25 человек один заболел гриппом. Вероятность заражения при контакте с больным равна 0,1. Больной за день контактирует с 5 случайными одноклассниками. Сколько человек будет заражено через 2 дня?

Решение:

• Через 2 дня: 

Ответ: ≈ 11 человек.

Задача 9-29. Эффективность вакцины

Описание: Задача на распределение Пуассона в эпидемиологии. Ученики вычисляют вероятность более 3 заболевших среди 100 привитых.

Профильная проблема: Вакцина снижает вероятность заболевания с 0,1 до 0,01. Какова вероятность, что из 100 привитых заболеет более 3 человек?

Решение:

Ответ: ≈ 0,019

Задача 9-30. Группы крови и переливание

Описание: Задача на вероятность хотя бы одного события в серии испытаний в медицинском контексте.

Профильная проблема: У человека I группа крови (0). В популяции 35% людей имеют I группу. Какова вероятность, что среди 10 случайных доноров найдётся хотя бы один с I группой?

Решение:

Ответ: ≈ 0,987

Задача 9-31. Мутации в ДНК

Описание: Задача на распределение Пуассона в молекулярной биологии. Ученики вычисляют вероятность хотя бы одной мутации в гене.

Профильная проблема: Вероятность точечной мутации в гене равна   на нуклеотид. В гене 1000 нуклеотидов. Какова вероятность, что в гене произойдёт хотя бы одна мутация?

Решение:

Ответ: ≈ 0,001

Задача 9-32. Клинические испытания

Описание: Задача на нормальное приближение биномиального распределения в клинических исследованиях.

Профильная проблема: в клинических испытаниях нового лекарства участвуют 100 пациентов. Вероятность положительного эффекта для каждого пациента равна 0,7. Какова вероятность, что эффект будет у ровно 70 пациентов?

Решение:

Ответ: ≈ 0,087

Задача 9-33. Анализ крови

Описание: Задача на формулу Байеса для отрицательного результата теста. Ученики вычисляют вероятность быть здоровым при отрицательном тесте.

Профильная проблема: Анализ крови выявляет заболевание с вероятностью 0,98 у больных и с вероятностью 0,03 у здоровых. Заболевание встречается у 2% населения. Какова вероятность, что человек здоров при отрицательном анализе?

Решение:

Ответ: ≈ 0,9996

Задача 9-34. Селекция растений

Описание: Задача на классическую вероятность с использованием комбинаторики в селекции. Ученики вычисляют вероятность выбора хотя бы одного устойчивого растения.

Профильная проблема: Селекционер имеет 10 растений, из которых 4 устойчивы к болезням. Он случайно выбирает 3 растения для скрещивания. Какова вероятность, что среди них будет хотя бы одно устойчивое?

Решение:

Ответ: ≈ 0,833

Задача 9-35. Спектроскопия

Описание: Задача на формулу Байеса в химическом анализе. Ученики вычисляют вероятность наличия примеси при положительном результате анализа.

Профильная проблема: При спектроскопическом анализе вероятность обнаружения примеси равна 0,95, если она есть, и 0,02, если её нет. Примесь встречается в 10% проб. Какова вероятность, что примесь есть, если анализ показал её наличие?

Решение:

Ответ: ≈ 0,841

Задача 9-36. Ядерный распад

Описание: Задача на распределение Пуассона в ядерной физике. Ученики вычисляют вероятность ровно трёх распадов.

Профильная проблема: Среднее число распадов радиоактивного вещества за 1 секунду равно 2. Какова вероятность, что за 1 секунду произойдёт ровно 3 распада?

Решение:

Ответ: ≈ 0,180

Задача 9-37. Шумы в электронике

Описание: Задача на нормальное распределение в электронике. Ученики вычисляют вероятность превышения уровня шума.

Профильная проблема: в электронной схеме шум имеет нормальное распределение со средним 0 и   В. Какова вероятность, что напряжение шума превысит 0,05 В?

Решение:

Ответ: ≈ 0,0062

Задача 9-38. Статистическая физика

Описание: Качественная задача, знакомящая с распределением Максвелла как вероятностным законом, родившимся из физики.

Профильная проблема: в модели идеального газа распределение молекул по скоростям — распределение Максвелла. Какая доля молекул имеет скорость в интервале от   до 

Решение (качественное):

Открываемый закон: Распределение Максвелла.

Задача 9-39. Активность изотопа

Описание: Задача на вероятностную интерпретацию закона радиоактивного распада. Ученики понимают, что λ — это вероятность распада.

Профильная проблема: Активность радиоактивного изотопа уменьшается по закону  Как интерпретировать эту формулу вероятностно?

Решение:

• λ— вероятность распада в единицу времени

• 

Открываемый закон: Экспоненциальное распределение времени жизни.

Задача 9-40. Фотосинтез

Описание: Задача на биномиальное распределение в биофизике. Ученики вычисляют вероятность поглощения более 3 фотонов из 5.

Профильная проблема: Вероятность того, что фотон будет поглощён хлорофиллом, равна 0,7. Какова вероятность, что из 5 фотонов будет поглощено более 3?

Решение:

Ответ: ≈ 0,528

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КЛАССАМ И ТЕМАМ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методологические принципы УМК

Предлагаемый сборник задач построен на следующих принципах:

1. Принцип профильной инверсии: Каждая задача начинается с реальной профильной проблемы (из биологии, химии, физики), которая ведёт к «открытию» вероятностного закона, а не наоборот.

2. Принцип эмпирической обоснованности: Вероятностные законы не даются в готовом виде, а «вырастают» из анализа данных и наблюдений.

3. Принцип межпредметности: Теория вероятностей предстаёт как универсальный язык описания естественно-научных процессов.

4. Принцип индуктивного познания: Ученик движется от частного к общему, от фактов — к закономерности, от данных — к формуле.

5. Принцип доступности: Задачи адаптированы для учащихся 7–9 классов, имеют подробные решения и методические комментарии.

Ключевые компетенции, формируемые УМК

1. Стохастическая грамотность: умение интерпретировать вероятностные утверждения в реальных ситуациях.

2. Межпредметное мышление: способность видеть математические закономерности в биологии, химии и физике.

3. Исследовательские навыки: умение собирать данные, выдвигать гипотезы, проверять их.

4. Математическая грамотность: умение переводить реальные ситуации на язык вероятностных моделей.

5. Критическое мышление: умение оценивать достоверность вероятностных прогнозов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ — http://fipi.ru/

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: 7–9 классы. — М.: Мнемозина, 2023.

3. Бродский И.Л. Теория вероятностей и статистика в школе. — М.: Просвещение, 2022.

4. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р. Теория вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО, 2021.

5. Реальные статистические данные по биологии, химии и физике (адаптированы для школьного курса).

УМК разработан в рамках реализации принципа «Профильная инверсия» в обучении теории вероятностей.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/643611-sbornik-zadach-po-teorii-verojatnostej-s-resh