Сценарий занятия по элективному курсу на тему «Возведение двучлена в степень. Треугольник Паскаля» с дидактической игрой «Математический лабиринт»

Наименование ОУ: МБОУ СОШ №12 г. Саров

ФИО автора: Градова Юлия Геннадьевна

Должность: учитель математики

Сценарий занятия по элективному курсу на тему «Возведение двучлена в степень. Треугольник Паскаля» с дидактической игрой «Математический лабиринт».

Цели:

Введение понятия степень двучлена.

Построение треугольника Паскаля.

Представление степени двучлена в виде многочлена, используя треугольник Паскаля.

Обобщение знаний и умений по темам "Формулы сокращённого умножения", " Действия с многочленами".

Формирование умений решать задачи повышенной сложности;

Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение, интереса к предмету.

Создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: объяснительно - иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, тетради для лекций у учащихся, схема лабиринта, карточки с заданиями.

Ход занятия.

Организационный момент.

Учитель: На уроках алгебры нами были изучены формулы сокращенного умножения, которые мы применяли при выполнении различного рода заданий. Они имеют огромное значений в алгебре. На уроке мы познакомились лишь с несколькими из них, а именно формулами квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности. Но на этом не стоит останавливаться, поскольку формул сокращенного умножения существует бесчисленное множество. Поэтому, цель нашего сегодняшнего занятия получить формулы n-й степени двучлена a+b при различных значениях n, научится их применять при решении задач повышенной сложности.

Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

Учитель: Прежде, чем приступить к изучению темы «Возведение двучлена в степень», давайте вспомним то, что мы уже знаем с уроков алгебры.

Задание: Прочитайте выражения: (х +3у)², (а-b)³, (c - d)², (а+1)³, (a+b)⁴, (a +b)⁵, (a -2)⁵.

Вопрос: Что общего в заданных выражениях?

Ответ: Каждый случай является какой-либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.

Задание: Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена.

Вопрос: Какими формулы вы использовали при выполнении задания?

Ответ: Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых двух примеров, для третьего, четвертого и пятого придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.

Вопрос: Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?

Ответ: Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.

Вопрос: В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?

Ответ: Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.

И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.

Введение нового материала.

Открываем тетради с лекциями и записываем новую тему "Степень двучлена. Треугольник Паскаля ".

Для того, чтобы заметить закономерность в формуле n-й степени двучлена a + b при различных значениях n, выпишем их значения, начиная с n=1 и заканчивая n=5.

a+ b= a + b

(a + b)² = a² +2ab + b²,

(а + b)³ = а³+ 3а²b + b³,

(a + b)⁴ = a⁴+ 4a³b +6a²b² + 4ac³ +b⁴,

(a + b)⁵ = a⁵+ 5a⁴b +10a²b² +10 a²b³ +5ab⁴+ b⁵.

Что вы заметили?

Объединим ваши замечания в следующие правила: (записывают в тетрадь)

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

В правой части каждой из них записан многочлен, содержащий n + 1 членов, где n – показатель степени двучлена.

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Еслисравнить (a + b)⁵ = a⁵+ 5a⁴b +10a²b² +10 a²b³ +5ab⁴+ b⁵и (a - b)⁵ = a⁵- 5a⁴b +10a²b² -10 a²b³ +5ab⁴- b⁵.Поэтому, при возведении двучлена (a-b) в ту или иную степень, коэффициенты остаются те же, а знаки чередуются.

Сложнее дело обстоит с коэффициентами. Чтобы выявить закономерность в их образовании, выпишем по порядку в строку коэффициенты многочленов при n=2, а затем при n=3:

Во второй строке первый и последний коэффициенты равны 1. Нетрудно заметить, что второй коэффициент можно получить, сложив записанные над ним числа 1 и 2, третий – сложив записанные над ним числа 2 и 1. По тому же правилу получаем строки для n=4 из строки, записанной для n=3:

Аналогичным образом из строчки 1 4 6 4 1

Можно получить строку, в которой выписаны коэффициенты многочлена, полученного при возведении двучлена a+bв пятую степень:

Подмеченную закономерность не трудно обосновать, если проанализировать приведенные ранее примеры на умножение многочлена на двучлен.

Если добавить строку для n=0 (при a≠0илиb≠0),то коэффициенты всех строк можно расположить в виде треугольника:

В нем «боковые стороны» состоят из единиц, а каждая из остальных чисел равна сумме двух чисел, записанных над ним. Этот треугольник называют треугольником Паскаля по имени известного французского ученого Блеза Паскаля (1623 -1662) – математика, физика, философа и литератора, описавшего такой треугольник в своем знаменитом трактате «Об арифметическом треугольнике».

Продолжая запись по подмеченному правилу, мы можем получить строку коэффициентов для n=6, 7, 8 и так далее в формуле

(a+b)ⁿ = aⁿ+ na^n-1 b + a^n-2 b² +..+ nab^n-1 +bⁿ.

Треугольник можно продолжать до бесконечности, но на практике чаще составляют таблицу для первых 10 степеней.

Треугольник Паскаля для n от 1 до 10.

Зарисовывают таблицу в тетрадь.

Существует способ, позволяющий сразу найти коэффициенты многочлена для заданного n. Однако этот способ связан с понятиями, которые вам пока не известны.

Практическая работа.

Здесь учащимся предлагается игра «Математический лабиринт».

Правила игры:Класс делится на две команды. Каждая из них получает схему лабиринта (рисунок). Задача команд – как можно быстрее добраться до сундука с сокровищами, находящегося в центре Лабиринта, собрав афоризм о математике, который зашифрован в путях Лабиринта. Для этого необходимо пройти семь ворот Лабиринта – выполнить семь заданий (на схеме ворота обозначены цифрами со значком). На каждом этапе надо решить задачу определенного типа. Войти в Лабиринт можно через любые ворота и дальше продвигаться только к его центру. У каждой команды свой ассистент (учащиеся старших классов), которые раздают карточки с заданиями и проверяют правильность их выполнения.

Схема Лабиринта

Карточки с заданиями.

Н апишите строки треугольника Паскаля для n=6. (В)

И спользуя формулу четвертой степени двучлена, преобразуйте выражение (a+b)⁴.

П редставьте в виде многочлена выражение (a²+3b³)³. (НЕТ)

Н апишите формулу восьмой степени двучлена. (СИМВОЛЫ)

И спользуя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена a+b. Проверьте результат, умножив на a+b многочлен, равный (a+b)⁵.(ДЛЯ)

П редставьте степень двучлена в виде многочлена, используя треугольник Паскаля: (х+у)⁷.

Представьте в виде многочлена выражение (x+y)⁶ +(x-y)⁶ . (МЫСЛИ)

Напишите строки треугольника Паскаля для n=5.

Используя формулу третьей степени двучлена, преобразуйте выражение (a²+2b)³. (МАТЕМАТИКА)

Представьте в виде многочлена выражение (a⁴+b³)⁴.

Напишите формулу девятой степени двучлена. (СИМВОЛЫ)

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для седьмой степени двучлена a+b. Проверьте результат, умножив на a+b многочлен, равный (a+b)⁶.

Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя треугольник Паскаля: (х+у)⁹ . (НЕЯСНЫЕ)

Представьте в виде многочлена выражение (x+y)⁸+(x-y)⁸. (МЫСЛИ)

Напишите строки треугольника Паскаля для n=7. (В)

Используя формулу пятой степени двучлена, преобразуйте выражение (a²+b)⁵. (МАТЕМАТИКА)

Представьте в виде многочлена выражение (a+2b³)⁶. (НЕТ)

Напишите формулу десятой степени двучлена.

Представьте в виде многочлена выражение (x+y)⁴+(x-y)⁴. (ДЛЯ)

Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя треугольник Паскаля: (х+у)⁸. (НЕЯСНЫЕ)

Афоризм: «В математике нет символов для неясных мыслей». Анри Пуанкаре

Подведение итогов занятия.

Подведение итогов игры. Награждение.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/65110-scenarij-zanjatija-po-jelektivnomu-kursu-na-t