Компьютерное моделирование

Урок № 1 - 2

Вопросы.

Модель. Моделирование. Роль моделирования в научных и практических исследованиях. Типы моделей.

Компьютерное моделирование. Построение компьютерной модели.

Ход урока

Организационный момент.

Объявить результаты зачетной работы № 1. Провести анализ.

Актуализация опорных знаний.

Повторение технологической цепочки решения задач с помощью ЭВМ:

постановка задачи;

разработка математической модели;

выбор метода решения;

разработка алгоритма;

составление программы;

отладка программы;

получение и анализ результата

3. Беседа учителя о роли моделирования в научных и практических исследованиях.

В 1870 г. английское Адмиралтейство спустило на воду новый броненосец “Кэптен”. Корабль вышел в море и перевернулся. Погиб корабль. Погибли 523 человека.

Это было совершенно неожиданно для всех. Для всех, кроме одного человека. Им был английский ученый-кораблестроитель В.Рид, который предварительно провел исследования на модели броненосца и установил, что корабль опрокинется даже при небольшом волнении. Но ученому, проделывающему какие-то несерьезные опыты с “игрушкой”, не поверили лорды из Адмиралтейства. И случилось непоправимое...

С понятием “модель” мы сталкиваемся с детства. Игрушечный автомобиль, самолет или кораблик для многих были любимыми игрушками равно как и плюшевый медвежонок или кукла. Дети часто моделируют (играют в кубики, обыкновенная палка им заменяет коня и т.д.).

Модели и моделирование используются человечеством давно. С помощью моделей и модельных отношений развились разговорные языки, письменность, графика. Наскальные изображения наших предков, затем картины и книги - это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям.

Модель - неоценимый и бесспорный помощник инженеров и ученых.

Технология моделирования требует от исследователя умения ставить корректно проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки, решать задачи с использованием компьютерных систем, проводить анализ компьютерных экспериментов. Для успешной работы исследователю необходимо проявлять активный творческий поиск, любознательность и обладать максимумом терпения и трудолюбия.

Навыки моделирования очень важны человеку в жизни. Они помогут разумно планировать свой распорядок дня, учебу, труд, выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, разрешать удачно различные жизненные ситуации.

Приведем несколько примеров, поясняющих, что такое модель.

Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как 6оно будет выглядеть. Это модель.

Для того, чтобы объяснить, как функционирует система кровообращения, лектор демонстрирует плакат, на котором стрелочками изображены направления движения крови. Это модель.

Перед тем как запустить в производство новый самолет, его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью соответствующих датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции. Это модель.

На стене висит картина, изображающая яблоневый сад в цвету. Это модель.

Глобус - это модель земного шара. Манекен в магазине - модель человека.

Перечислять примеры моделей можно сколь угодно долго. Предложить учащимся привести примеры моделей.

Попытаемся понять, какова роль моделей в приведенных примерах.

Конечно, архитектор мог бы построить здание без предварительных экспериментов с кубиками. Но он не уверен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо. Если оно окажется некрасивым, то многие годы потом оно будет немым укором своему создателю, лучше уж поэкспериментировать с кубиками.

Конечно, лектор мог бы для демонстрации воспользоваться подробным анатомическим атласом. Но эта подробность ему совершенно не нужна при изучении системы кровообращения. Более того, она мешает изучению, т.к. мешает вниманию сосредоточиться на главном. Лучше уж воспользоваться плакатом.

Конечно, можно запустить самолет в производство и не зная, какие напряжения возникают, скажем, в крыльях. Но эти напряжения, если они окажутся достаточно большими, вполне могут привести к разрушению самолета. Лучше уж сначала исследовать самолет в трубе.

Конечно, богатейшие эмоциональные впечатления можно получить стоя в благоухающем яблоневом саду. Но если мы живем на Крайнем Севере и у нас нет возможности увидеть яблоневый сад в цвету (была такая замечательная песня "Яблони в цвету, какое чудо..."). Можно посмотреть на картину и представить этот сад.

Во всех перечисленных примерах имеет место сопоставление не которого объекта с другим, его заменяющим: реальное здание из кубиков; серийный самолет -единичный самолет в трубе; система кровообращения - схема на плакате; яблоневый сад-картина, его изображающая.

Итак, можем дать определение модели:

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Как мы уже говорили, человек применяет модели с незапамятных времен при изучении сложных явлений, процессов, конструировании новых сооружений. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, нежели реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом: недопустимы, например, эксперименты с экономикой страны в познавательных целях; принципиально неосуществимы эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Солнечной системы и т.п.

Модель позволяет научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта. Экспериментировать в этих целях с реальным объектом в лучшем случае бывает неудобно, а зачастую просто вредно или вообще невозможно в силу ряда причин (большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в нежелательное и необратимое состояние и т.п.)

Процесс построения модели называется моделированием.

Другими словами, моделирование - это процесс изучения строения и свойств оригинала с помощью модели.

Различают материальное и идеальное моделирование. Материальное моделирование, в свою очередь, делится на физическое и аналоговое моделирование.

Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

Примеры: в астрономии - планетарий, в архитектуре - макеты зданий, в самолетостроении - модели летательных аппаратов и т.п.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями).

Например,

a1x1+b1x2=c1

a2x2+b2x2=c2

Что скрывается за этими знаками?

Математик: “Это система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Но что именно она выражает, сказать не могу”.

Инженер-электрик: “Это уравнения электрического напряжения или токов с активными напряжениями”.

Инженер-механик: “Это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин”.

Инженер-строитель: “Это уравнения, связывающие силы деформации в какой-то строительной конструкции”.

Инженер-плановик: “Это уравнения для расчета загрузки станков”.

Каков же из ответов правильный? - Не удивляйтесь, каждый из них верен. Да, одна и та же система линейных алгебраических уравнений может отображать разные действия. Все зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами a, b, c, и символами неизвестных x1 и x2.

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Основным типом идеального моделирования является знаковое моделирование. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики. Классическим примером математического моделирования является описание и исследование законов механики Ньютона средствами математики.

Процесс моделирования состоит из следующих этапов:

Объект ® Модель ® Изучение модели ® Знания об объекте

Основной задачей процесса моделирования является выбор наиболее адекватной к оригиналу модели и перенос результатов исследования на оригинал. Существуют достаточно общие методы и способы моделирования.

В настоящее время весьма эффективным и значимым является метод компьютерного моделирования.

4. Компьютерное моделирование. Построение компьютерной модели.

В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных инструментов познания.

Компьютерное моделирование начинается как обычно с объекта изучения, в качестве которого могут выступать: явления, процесс, предметная область, жизненные ситуации, задачи. После определения объекта изучения строится модель. При построении модели выделяют основные, доминирующие факторы, отбрасывая второстепенные. Выделенные факторы перекладывают на понятный машине язык. Строят алгоритм, программу.

Когда программа готова, проводят компьютерный эксперимент и анализ полученных результатов моделирования при вариации модельных параметров. И уже в зависимости от этих выводов делают нужные коррекции на одном из этапов моделирования: либо уточняют модель, либо алгоритм, либо точнее, более корректнее определяют объект изучения.

Компьютерные модели проходят очень много изменений и доработок прежде, чем принимают свой окончательный вид. Этапы компьютерного моделирования можно представить в виде схемы:

Объект ® Модель ® Компьютер ® Анализ ® Информац. модель

!________! !______! !_________! !______!

модел-е прогр-е к. эксперимент знание

В методе компьютерного моделирования присутствуют все важные элементы развивающего обучения и познания: конструирование, описание, экспериментирование и т.д. В результате добываются знания об исследуемом объекте-оригинале.

Однако важно не путать компьютерную модель (моделирующую программу) с самим явлением. Модель полезна, когда она хорошо согласуется с реальностью. Но модели могут предсказывать и те вещи, которые не произойдут, а некоторые свойства действительности модель может и не прогнозировать. Тем не менее, полезность модели очевидна, в частности, она помогает понять, почему происходят те или иные явления.

Современное компьютерное моделирование выступает как средство общения людей (обмен информационными, компьютерными моделями и программами), осмысления и познания явлений окружающего мира (компью-терные модели солнечной системы, атома и т.п.), обучения и тренировки (тренажеры), оптимизации (подбор параметров).

Компьютерная модель - это модель реального процесса или явления, реализованная компьютерными средствами.

Компьютерные модели, как правило, являются знаковыми или информационными. К знаковым моделям в первую очередь относятся математические модели, демонстрационные и имитационные программы.

Информационная модель - набор величин, содержащий необходимую информацию об объекте, процессе, явлении.

Главной задачей компьютерного моделирования выступает построение информационной модели объекта, явления.

Самое главное и сложное в компьютерном моделировании - это построение или выбор той или иной модели.

При построении компьютерной модели используют системный подход, который заключается в следующем. Рассмотрим объект - солнечную систему. Систему можно разбить на элементы - Солнце и планеты. Введем отношения между элементами, например, удаленность планет от Солнца. Теперь можно рассматривать независимо отношения между Солнцем и каждой из планет, затем обобщить эти отношения и составить общую картину солнечной системы (принципы декомпозиции и синтеза).

Некоторые характеристики моделей являются неизменными, не меняют своих значений, а некоторые изменяются по определенным законам. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае - статическими.

При построении моделей используют два принципа: дедуктивный (от общего к частному) и индуктивный (от частного к общему).

При первом подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. Здесь при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Например, можно построить модель свободно падающего тела на основе известного закона Ньютона ma=mg-Fсопр. и в качестве допустимого приближения принять модель равноускоренного движения для малого промежутка времени.

Второй способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем синтез. Здесь широко используется подобие, аналогичное моделирование, умозаключение с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Например, подобным способом происходит моделирование строения атома. Вспомним модели Томсона, Резерфорда, Бора.

Метод имитационного моделирования (метод Монте - Карло)

p = 3,1415922653... .

Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа.

Само название “Монте-Карло” происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из механических приборов для получения случайных величин является рулетка. Для вычисления площади круга единичного радиуса проведем эксперимент.

Постановка задачи вычисления числа p методом Монте-Карло

Для вычисления числа p с помощью метода Монте-Карло рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке (1,1). Его площадь равна p . Круг вписан в квадрат, площадь которого равна 4. Выбираем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим Nкр число точек, попавших при этом внутрь круга. Геометрически очевидно, что Sкруга/Sквадрата=Nкр./N (5.bmp)

Формула (1) дает оценку числа p . Чем больше N, тем больше точность этой оценки. Следует заметить, что данный метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не "просто случайными", а еще и "равномерно разбросанными" по всему квадрату. Для моделирования равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1 в языке программирования Паскаль используется датчик случайных чисел - функция RANDOM. Это специальная компьютерная программа, которая выдает последовательность случайных величин равномерно распределенных от 0 до 1.

Таким образом, суть компьютерного эксперимента заключается в обращении к функции RANDOM для получения координат точки x и у N раз. При этом определяется попадет ли точка (х,у) в круг единичного радиуса. В случае попадания увеличивается на 1 значение величины Nкр.

5. Домашнее задание.

Выучить конспект.

Составить алгоритм и программу вычисления числа p по методу Монте-Карло.

Урок 3 -4

Вопросы.

Имитационное моделирование.

Применение моделирования.

Ход урока

Актуализация опорных знаний.

Вариант №1.

Что такое модель?

Какая модель называется статической?

Роль моделирования в научных и практических исследованиях.

Этапы моделирования.

Что такое компьютерное моделирование?

Вариант №2.

Что такое моделирование?

Какая модель называется динамической?

Типы моделей.

Этапы компьютерного моделирования.

Принципы построения моделей.

Проверка д.з.

начало

ввод N

Nкр.:=0

I = 1, N, 1

p =4Nкр./N

X:=2random

Y:=2random вывод p

нет конец

(x-1)2+(y-1)2Ј 1

да

Nкр:=Nкр+1

Программа

program monte_karlo;

var i,n,n1:longint; q,x,y,pi:real;

begin

randomize;

write('Введите n=');

readln(n);

for i:=1 to n do

begin

x:=2*random; y:=2*random;

if sqr(x-1)+sqr(y-1)<=1 then n1:=n1+1;

end;

pi:=4*n1/n;

writeln('pi=',pi);

end.

3. Имитационное моделирование.

Процессы в системе могут протекать по-разному в зависимости от условий, в которых находится система. Следить за поведением реальной системы при различных условиях, пробовать всевозможные варианты бывает трудно, а иногда и невозможно. В таких случаях выручают модели. Построив модель, можно многократно возвращаться к начальному состоянию и наблюдать за поведением модели.

Такой метод исследования систем называется имитационным моделированием. Имитационное моделирование применяют в тех случаях, когда нужно учесть возможно большее разнообразие исходных данных, изучить протекание процессов в различных условиях.

Пример имитационного моделирование мы уже рассмотрели на примере вычисления числа p .

4. Примеры использования моделирования [12].

А) моделирование в художественной графике (файлы m1.pas, m2.pas.)

Б) геометрическое моделирование (файлы m3.pas, m4.pas)

В) построение графиков (m5.pas, m6.pas)

Г) построение диаграмм (m7.pas, m8.pas)

Д) моделирование игр (m9.pas - m14.pas)

5. Практическая работа на ЭВМ.

1) произвести вычислительный эксперимент (файл pi.pas)

Оформление результатов в виде таблицы:

Cделать вывод.

2) Загрузите программу ARAL.

3) Используя модель “Аральское море”, найдите ответы на следующие вопросы (Все эксперименты начинайте с состояния Арала на 1989 г.):

а) что произойдет с Аралом в ближайшие 150 лет при современных значениях стока (суммарный сток практически равен 0) и в реальных значениях осадков и испарения (120 и 1000 мм соответственно)?

б) как будет вести себя Арал, если суммарный сток Сырдарьи и Амударьи будет равен 25 куб.км/год, осадки и испарение реальные?

в) за сколько лет произойдет восстановление объема воды в Арале до первоначального уровня (1960 г. –1069 куб.км) при естественных значениях суммарного стока (55-60 куб.км), если испарение и осадки реальные?

г) смоделируйте ситуацию изменения климата, когда значения осадков и испарения стали равны средним значения Подмосковья (600 и 400 мм соответственно), а суммарный сток рек естественный. Что произойдет с Аральским морем?

д) каким должен быть суммарный сток Амударьи и Сырдарьи, чтобы удержать Арал в современном состоянии, осадки и испарение реальные?

Ответы:

а) уже через 143 г. Аральское море существовать не будет; б) уменьшится площадь и объем; в) 77 лет; г) вышло из берегов. д) » 38 куб.км/год

6. Домашнее задание.

Разработать математическую модель решения задачи: Имеется квадратный лист бумаги со стороной а. Из листа делается коробка следующим образом: по углам листа вырезаются четыре квадрата и коробка склеивается по швам. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость. Решить задачу при а=6.

Урок 5 -6

Вопросы.

1. Дополнительные возможности пакета EUREKA.

2. Задачи планирования.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний.

а) Выдача листочков с опросом.

б) Проверка домашнего задания.

Решение.

Если обозначить через Х сторону вырезаемых квадратиков, то получится, что коробка будет иметь квадратное основание со стороной (А-2*Х) и высоту Х.

(А-2*Х)2*X

Следовательно, вместимость коробки будет равна:

G(x)= (А-2*Х)2*X=(A2-4XА+4X2)*X=A2 *X-4АX2+4X3=4X3 -4АX2 +A2 * X

Далее, из необходимого условия максимума (G’(x)=0) получаем уравнение:

12x2 – 8ax+a2=0.

Решаем полученное уравнение при соответствующих а и анализируем корни:

х1=1; x2=3; х2 нам не подходит, т.к. 0<X<A/2.

Задача совсем просто решается в пакете EUREKA.

Дополнительные возможности пакета EUREKA.

А) Домашняя задача.

$ settings

accuracy=1.0e-6

digits=3

$ end

$ max (y)

a=6

g(x)=x*(a-2*x)^2

y=g(x)

0<x<a/2

Ответ:

Variables Values

a = 6.0000000

x = 1.0000000

Y = 16.0000000

Где

Settings - задание установок системы:

accuracy - задание погрешности вычислений;

digits - определяет число цифр у результатов вычислений.

При решении оптимизационных задач с ограничениями Eureka выводит в окне Solution сообщение о том, насколько полно удовлетворены ограничения. В идеальном случае выводится 100 %. Если это число значительно меньше чем 100 %, то это может служить признаком неточного нахождения экстремума. Пока не существует программа, которая была бы способна решить любую оптимизационную задачу. Поэтому надо быть готовым к тому, что Eureka может не справиться с предложенным ей заданием.

Задачи планирования.

Задача № 1. Задача распределения ресурсов (ИНФО, 7/98, с.67)

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию каждого из четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4 для получения максимальной прибыли при имеющихся ограничениях на ресурсы. Для изготовления данных типов продукции требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество единиц ресурса, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, прибыль (в некоторых единицах), получаемая от реализации каждого типа продукции, и количество единиц имеющихся в наличии ресурсов приведены в таблице. 1 и 2.

Таблица 1.

Таблица 2.

Решение.

Составим математическую модель, для чего введем обозначения:

х1, х2, х3, х4 – количество выпускаемой продукции типа 1,2,3,4, должно иметь положительное значение.

Составим зависимость от прибыли. Как видно из табл.1, реализация продукции Прод1 дает прибыль 60 единиц, Прод2 – 70 и т.д. Следовательно, общая прибыль составит

60х1+70х2 + 120х3+130х4.

Из табл.2 видно, что для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6х1 единиц сырья. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

6х1 + 5х2 + 4х3 + 3х4Ј 110.

В этом ограничении левая часть равна величине требующего ресурса, а правая показывает количество имеющего ресурса. Аналогично можно записать ограничения для остальных ресурсов.

В итоге математическая модель задачи оптимального распределения ресурсов будет иметь вид:

60х1+70х2 + 120х3+130х4 ® max

x1 + x2 + x3 + x4 Ј 16

6х1 + 5х2 + 4х3 + 3х4Ј 110

4х1 + 6х2 + 10х3 + 13х4Ј 110

x1і 0; x2і 0; x3і 0; x4і 0

В окне редактирования пакета “Эврика” надо набрать текст:

$ settings

accuracy=1.0e-5

digits=3

$ end

$ max(f)

t(x1,x2,x3,x4)=60*x1+70*x2+120*x3+130*x4

x1+x2+x3+x4<=16

6*x1+5*x2+4*x3+3*x4<=110

4*x1+6*x2+10*x3+13*x4<=100

x1>=0: x2>=0: x3>=0: x4>=0

f=t(x1,x2,x3,x4)

Задача № 5. А.Г.Гейн и др. Учебник “ОИВТ”, с. 136.

На участке работает 20 человек; каждый из них в среднем за год работает 1800 часов. Выделенные ресурсы: 32 т металла, 54 тыс. кВтЧ ч электроэнергии. План по реализации: не менее 2 тыс. изделий А и не менее 3 тыс. изделий Б. На выпуск одной тысячи изделий А затрачивается 3 т металла, 3 тыс. кВтЧ ч электроэнергии и 3 тыс. часов рабочего времени. На выпуск одной тыс. изделий Б затрачивается 1 т металла, 6 тыс. кВтЧ ч электроэнергии и 3 тыс. часов рабочего времени.

От реализации 1 тыс. изделий А завод получает прибыль 5 тыс. руб., олт реализации 1 тыс. изделий Б – 7 тыс. руб. Выпуск какого количества изделий А и Б (в тыс. штук) надо запланировать, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей?

Решение.

Х – планируемое количество изделий А,

Y - планируемое количество изделий Б.

план по реализации запишется следующими неравенствами:

xі 2; y і 3.

Поскольку на изготовление изделия А расходуется 3 т металла, а на изготовление изделия Б расходуется 1 т металла, общий расход металла составит 3*x+y т.

По условию, он не должен превышать 32 т, то есть должно быть справедливо неравенство:

3*x+yЈ 32

Аналогично записываются остальные ограничения. Ограничение на расход электроэнергии :

3*x+6*yЈ 54

Ограничение на ресурсы рабочего времени:

3*x+3*yЈ 36

Прибыль от реализации х тыс. изделий А и y тыс. изделий Б равна

5*x+7*y

$ settings

digits=3

$ end

$ max(f)

t(x,y)=5*x+7*y

x>=2: y>=3

3*x+y<=32

3*x+6*y<=54

3*x+3*y<=35

f=t(x,y)

Задача № 6. А.Г.Гейн и др. Учебник “ОИВТ”, с. 243.

Начальник участка изучает возможность расширить ассортимент товаров: добавить к выпускаемым изделиям А и Б еще два изделия: В и Г. Предварительное изучение спроса показало, что можно реализовать не более 5 тыс. изделий В, получив при этом прибыль в размере 12 руб. с каждого изделия. Можно также реализовать не более 6 тыс. изделий Г, получив прибыль 10 руб. с изделия.

На тысячу изделий В расход металла составляет 0,5 т, электроэнергии - 4 тыс. кВтЧ ч, рабочего времени 5 тыс. часов.

Для выпуска одной тыс. изделий Г требуется 1,5 т металла, 4 тыс. кВтЧ ч электроэнергии, 6 тыс. часов рабочего времени.

Расширение ассортимента изделий потребует приобретения дополнительного оборудования на сумму 8 тыс. руб. (в конце года она будет возмещена из прибыли участка). Можно ли спланировать выпуск товаров А, Б, В, Г так, чтобы получить большую прибыль, чем при выпуске только товаров А и Б (то есть целесообразно ли расширение ассортимента выпускаемых товаров).

Решение.

Х1 – планируемое количество изделий А,

Х2 - планируемое количество изделий Б.

Х3 – планируемое количество изделий В,

Х4 - планируемое количество изделий Г.

Надо произвести не менее 2 тыс. изделий А и 3 тыс изделий Б:

х1і 2; х2 і 3.

Нельзя расходовать больше 32 т металла:

3x1+х2+0,5х3+1,5х4Ј 32

Нельзя расходовать больше 54 тыс кВтЧ ч:

3x1+6х2+4х3+4х4Ј 54

Ограничение на ресурсы рабочего времени:

3x1+3х2+5х3+6х4Ј 36

Нельзя реализовать больше 5 тыс. изделий В:

х3Ј 5;

Нельзя реализовать больше 4 тыс. изделий Г:

х4Ј 4;

Прибыль

5x1 + 7х2 + 12х3 + 10х4 – 8.

$ settings

digits=2

$ end

$ max(f)

t(x1,x2,x3,x4)=5*x1+7*x2+12*x3+10*x4-8

x1>=2: x2>=3

3*x1+x2+0.5*x3+1.5*x4<=32

3*x1+6*x2+4*x3+4*x4<=54

3*x1+3*x2+5*x3+6*x4<=36

x3<=5

x4<=4

x3>=0

x4>=0

f=t(x1,x2,x3,x4)

4. Практическая работа на ЭВМ.

Открыть файлы с решениями задач № 1,5,6 и д.з. Запустить программы на выполнение. Получить результаты и проанализировать их.

5. Домашнее задание.

Выучить конспект, разобрать решенные задачи.

Урок 7-8

Ход урока

Практическая работа на ЭВМ.

Решить задачу № 2,3,4,7,8.

Задача № 2. Задача линейного программирования.

Пусть некий цех с производительностью 450 тонн продукта в месяц способен производить три разновидности этого продукта. Согласно договорам цех должен изготовить не менее 40-ка тонн первой, 60-ти тонн второй, 80-ти тонн третьей разновидности продукта за месяц. Для изготовления этих разновидностей продукта используются четыре материала в различных соотношениях. Цех располагает следующими запасами материалов: первого - 100 тонн, второго - 150 тонн, третьего - 120 тонн и четвертого – 180 тонн. Данные о расходах материалов на производство одной тонны каждой разновидности продукта сведены в таблицу3.

Таблица 3.

Требуется найти оптимальное (в смысле максимизации прибыли) количество каждого вида изготавливаемого продукта при условии, что стоимости разновидностей этого продукта равны: первого - 13.5, второго -11.3 и третьего - 8.2 денежные единицы за тонну.

Решение.

Для решения приведенной выше задачи при помощи системы Eureka нужно сделать следующую запись в окне Edit.

$ max(f)

z(x,y,v)=13.5*x+11.3*y+8.2*v

0.3*x+0.2*y+0.2*v<=100

0.2*x+0.1*y+0.5*v<=150

0.4*x+0.3*y+0.2*v<=120

0.4*x+0.6*y+0.3*v<=180

x>=40: y>=60: v>=80

x+y+v<=450

f=z(x,y,v)

Задача № 3. Е.К.Хеннер, А.П.Шестаков. Математическое моделирование, с. 203.

При подкормке посевов необходимо внести на 1 га почвы не менее 8 единиц химического вещества А, не менее 21 единиц химического вещества В и не менее 16 единиц химического вещества С. Фермер закупает комбинированные удобрения двух видов I и II. В таблице 4 указаны содержание количества единиц химического вещества в 1 кг каждого вида удобрений и цена 1 кг удобрений. Определить потребность фермера в удобрениях I и II вида на 1 га посевной площади при минимальных затратах на потребление.

Таблица 4.

Решение.

$ settings

accuracy=1.0e-12

digits=5

$ end

$ min(f)

z(x,y)=5*x+2*y

x+5*y>=8

12*x+3*y>=21

4*x+4*y>=16

f=z(x,y)

Задача № 4. Е.К.Хеннер, А.П.Шестаков. Математическое моделирование, с. 204.

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество кормов каждого вида, которое должны получать животные, приведено в таблице 5. В ней также указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализщации одной шкурки лисицы и песца. Определить, сколько лисиц и песцов можно вырастить при имеющихся запасах.

Таблица 5.

Решение.

$ max(f)

z(x,y)=160*x+120*y

2*x+3*y<=180

4*x+1*y<=240

6*x+7*y<=426

x>=0: y>=0

f=z(x,y)

Задача № 7. Е.К.Хеннер, А.П.Шестаков. Математическое моделирование, с. 202.

Для откорма рогатого скота используется два вида кормов b1иb2, в которые входят питательные вещества a1, a2, a3 и a4. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого корма, стоимость 1 кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составить рацион при условии минимальной стоимости.

Таблица 6.

Решение.

$ settings

accuracy=1.0e-12

digits=5

$ end

$ min(f)

z(x,y)=2*x+y: 3*x+4*y>=24: x+2*y>=18: 4*x+0*y>=20: 0*x+y>=6: f=z(x,y)

Задача № 8. Е.К.Хеннер, А.П.Шестаков. Математическое моделирование, с. 203.

Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют, соответственно, 800, 400 и 300 кг. Количество трикотажного вида (кг), необходимого для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице 7. Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Таблица 7.

Решение.

$ settings

accuracy=1.0e-12

digits=5

$ end

$ max(f)

z(x,y)=(6*x+5*y)/10

4*x+2*y<=800

2*x+y<=400

x+y<=300

f=z(x,y)

урок 9-10

Ход урока.

1. Постановка задачи.

Требуется построить математическую модель движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Цель: Выяснить зависимость расстояния и времени полета тела от угла броска и начальной скорости.

2. Построение математической модели и выбор метода решения задачи.

Если тело брошено под углом µ с начальной скоростью v0 то, при отсутствии сопротивления воздуха оно опишет параболу. При этом координата положения его в некоторый момент времени t после броска может быть определена из системы уравнений:

x(t)=v0*cosa *t

y(t)=v0*sina *t-gt2/2

Эта математическая модель известна из курса физики и позволяет для заданных v0 и a проследить траекторию движения тела и отразить ее га графике.

Прежде всего определим, на каком интервале будет строится график. Начало отрезка - это точка, откуда брошен камень. Можно принять ее за начало отсчета, т.е. А=0. конец отрезка определяется точкой падения камня. в этой точке y=0. Чтобы решить уравнение: v0*sina *t-gt2/2=0, выразим t через x

t=x/(v0*cosa );

Подставив это значение в уравнение, получаем решение. Дальность полета равна:

b=(v02*sin2a )/g;

Минимальное значение Ymin равно 0, а максимальное - это наибольшая высота подъема. Она равна

Ymax=(v02*sin2a )/(2*g);

Теперь, чтобы получить график, нужно изменять значение t от 0 до Tmax, где Tmax - момент падения. Он равен:

Tmax=(2*v0* sin2a )/g;

Для каждого значения t получаем сразу обе координаты xi, yi - в этом случае мы имеем дело с функцией, заданной параметрически.

Так как все значения, нужные для расчета коэффициентов известны нам из формул, нет необходимости повторного вычисления значений функции. Поэтому теперь мы выбираем вариант без использования массива.

Оси разметим следующим образом: ось ОХ - одиннадцать значений от 0 до vo2/g, ось OY - 11 значений от 0 до vo2/2g.

3. Построение программы.

program stone;

uses graph;

const BoundX=70; {отступы от кpая экpана слева и спpава}

BoundY=70; {отступы от кpая экpана снизу и свеpху}

g=9.8; {ускоpение свободного падения}

rad=3.1415/180; {пеpевод в pадианы}

var KX, KY,LX,LY:integer; {коэффициенты}

HX, HY,DX,DY,HT:real; {коэффициенты}

XM,YM:integer; {pазмеp экpана}

x,y,x0,y0:integer; {точки на гpафике}

i,gr,gm:integer;

v0,alfa:real; {начальная скоpость и угол бpоска}

xi,yi:real; {абсциссы и оpдинаты точек}

Bmax,Hmax,Tmax:real; {максимально возможные B и H,T}

t:real; {вpемя}

Xmax,Ymax:real; {наибольшие значения по осям}

R:real;

S:string[8]; {стpока для текста}

PROCEDURE FXY(T,V0,ALF:REAL; VAR X,Y:REAL);

BEGIN

X:=V0*COS(ALF*RAD)*T;

Y:=V0*SIN(ALF*RAD)*T-G*T*T/2;

END;

BEGIN

WRITE('Введите начальную скоpость ');

readln(v0);

WRITE('Введите угол бpоска ');

readln(alfa);

gr:=detect;

initgraph(gr,gm, ' ');

{опpеделение коэффициентов, зависящих от pазмеpа экpана}

XM:=GetMaxX; YM:=GetMaxY;

KX:=XM+1-2*BoundX; KY:=YM+1-2*BoundY;

{опpеделяем остальные коэффициенты, нужные для постpоения}

R:=sin(alfa*rad);

Bmax:=v0*v0*sin(2*alfa*rad)/g;

Xmax:=v0*v0/g;

Hmax:=v0*v0*r*r/(2*g);

Ymax:=v0*v0/(2*g);

Tmax:=2*v0*r/g;

hx:=Xmax/(kx-1);

hy:=Ymax/(ky-1);

lx:= kx div 10; ly:=ky div 10;

dx:=Xmax/10; dy:=Ymax/10;

ht:=Tmax/100; {стpоим гpафик по 100 точкам}

{опpеделяем цвет экpана и цвет осей}

SetBkColor(Cyan);

SetColor(Blue);

{pисуем оси}

LINE(BoundX,BoundY,BoundX, YM-BoundY);

x0:=BoundX; y0:=BoundY;

x:=XM-BoundX; y:=y0;

LINE(BoundX,YM-BoundY,XM-BoundX, YM-BoundY);

{pазмечаем оси}

x:=0; y:=ym-boundY;

for i:=0 to 10 do

begin

STR ((dy*i):8:2,s);

OutTextXY(x,y,s);

y:=y-ly;

end;

x:=BoundX div 2; y:=ym-BoundY div 2;

for i:=0 to 10 do

begin

STR ((dx*i):8:2,s);

OutTextXY(x,y,s);

x:=x+lx;

end;

STR(Bmax:8:2,s);

OutTextXY(BoundX+20,5, 'Дальность полета: '+s);

STR(Hmax:8:2,s);

OutTextXY(BoundX+20,15, 'Высота подьема: '+s);

{устанавливаем цвет гpафика функции}

SetColor(LightRed);

{pисуем гpафик}

t:=0;

x0:=BoundX;

y0:=ym-boundY;

while (t<Tmax) do

begin

t:=t+ht;

FXY(t,v0,alfa,xi,yi);

x:=BoundX+round(xi/hx);

y:=ym-BoundY-round(yi/hy);

line(x0,y0,x,y);

x0:=x;

y0:=y;

end;

readln;

closegraph;

end.

4. Реализация программы на ЭВМ.

Лабораторная работа на тему: “Моделирование физических процессов”.

Цель: Выяснить зависимость расстояния и времени полета тела от угла броска и начальной скорости.

Ход работы.

Загрузить Турбо-паскаль.

Вызвать с диска файл с именем fizika.pas.

Проведите вычислительный эксперимент: как зависит дальность полета от угла броска. Исходные данные: v0=60 м/с, a =15° ,30° , 45° , 60° , 75° . Результаты занесите в таблицу: № эксперимента

a Дальность полетаВысота подъема

1.

15°

2.

30°

3.

45°

4.

60°

5.

75°

Сделайте вывод.

Для заданного угла a подберите скорость, при которой тело улетит на расстояние 45 м. a =30° , скорость v0 меняется от 15 м/с до 60 м/с.

Результаты занесите в таблицу: № эксперимента

a Скорость V0Дальность полета

1.

30° 15 м/с

.

.

.

30°

30°

30° .

.

.

N.

30° 60 м/с

делайте вывод.

Проведите вычислительный эксперимент: как зависит дальность полета от угла броска на Луне. Исходные данные:

gл=1.63 м/с2, v0=60 м/с, a =15° ,30° , 45° , 60° , 75° . Результаты занесите в таблицу: № эксперимента

a Дальность полетаВысота подъема

1.

15°

2.

30°

3.

45°

4.

60°

5.

75°

Сделайте вывод.

Подберите угол броска из интервала от 30° до 70° , при котором тело улетит на наибольшее расстояние. Какого при этом время полета тела? (v0=15 м/с)

Результаты занесите в таблицу: № п/п

a Скорость V0Дальность полетаВремя полета

1.

30° 15 м/с

.

.

.

.

.

.15 м/с

15 м/с

15 м/с

N.

70° 15 м/с

Сделайте вывод.

При каких исходных данных тело будет находиться в полете дольше и в каком случае оно пролетит наибольшее расстояние ?

а) v0=40 м/с, a =70° ;

б) v0=20 м/с, a =45° ;

в) v0=50 м/с, a =80° ;

г) v0=45 м/с, a =60° ;

Данные и результаты занести в таблицу: № п/п

a Скорость V0Дальность полетаВремя полета

1.

2.

3.

4.

70°

45°

80°

60° 40 м/с

20 м/с

50 м/с

45 м/с

Сделайте вывод.

8. Дополнительно! Внесите изменения в математическую модель с учетом направления ветра и скорости ветра. Получите результаты с учетом попутного и встречного ветра:

w110 м/с, w2=0 м/с, w3=-10 м/с.

Ответьте на вопросы:

1. Какова зависимость расстояния полета тела от угла и начальной скорости?

2. Какова зависимость времени полета тела от угла и начальной скорости.

Ответ к л.р..

3. № п/п

a Дальность

полетаВысота

подъема

1.

15° 183.6712.30

2.

30° 318.1345.92

3.

45° 367.3691.83

4.

60° 318.14137.75

5.

75° 183.70171.37

4. № эксперимента

a Скорость V0Дальность полета

1.

30° 15 м/с19.88

2.

3.

30°

30° 20

22.5735.35

45.02

5. № эксперимента

a Дальность полетаВысота подъема

1.

15° 1104.2673.97

2.

30° 1912.66276.06

3.

45° 2208.59552.12

4.

60° 1912.76828.19

5.

75° 1104.441030.30

6. № п/п

a Скорость V0Дальность полетаВремя полета

1.

30° 15 м/с19.881.53

2.

35° 15 м/с21.571.76

3.

40° 15 м/с22.611.97

4.

45° 15 м/с22.962.16

5.

50° 15 м/с22.612.34

6.

55° 15 м/с21.582.51

7.

60° 15 м/с19.882.65

8.

66° 15 м/с17.592.77

9.

70° 15 м/с14.762.88

7. № п/п

a Скорость V0Дальность полетаВремя полета

1.

2.

3.

4.

70°

45°

80°

60° 40 м/с

20 м/с

50 м/с

45 м/с104.95

40.82

87.27

178.967.67

2.89

10.05

7.95

Домашнее задание.

Знать математическую модель и программу движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/6691-kompjuternoe-modelirovanie