Что делать с ошибками?

ЧТО ДЕЛАТЬ С ОШИБКАМИ

Естественная и зачастую единственная реакция учителя на ошибку ученика - сниженная оценка. Нередко единственная реакция ученика на собственную ошибку - чувство досады... из-за сниженной оценки. Как следствие из года в год ученики старших классов, абитуриенты вузов, студенты младших курсов делают одни и те же ошибки...

Ученик работает у доски и, уловив тень сомнения в глазах учителя, мгновенно стирает написанное. Всё, нет ошибки!.. Но примеры безошибочных решений учитель способен привести и сам. А ученика пригласили к доске, в частности, затем, чтобы оношибался.Он интересен своими ошибками.

Чтобы перестать делать ошибки, существует, по нашему мнению, только один путь: нужноделатьошибки,находитьошибки и исправлятьошибки. Проще говоря, чтобы не делать ошибок, нужно вволю наошибаться. Ошибка, «не убитая» в процессе самостоятельной работы, «убивает» на контрольной или экзамене.

Ученики нередко задают вопрос: «А можноздесь домножить на знаменатель (возвести в квадрат, не делать проверки, сократить и т. п.)?» По существу, подобный вопрос является попыткой переложить ответственность за решение на учителя. В ответ уместно переспросить: «Вы хотите, чтобы я вамразрешилилизапретилсделать то, о чем вы спросили? Сие не в моей власти. Так что адресуйте свой вопрос самим себе!»

Ученик перестанет ошибаться тогда, когда ответственность за полученный результат полностью ляжет на него самого, когда появится ощущение, что только он сам - не приятель, не учитель - может отыскать выход из создавшейся ситуации, что только от качества его собственной работы зависит конечный результат.

Вспоминается расхожая истина - умные люди учатся начужихошибках. Увы, в математике приходится учиться в основном на собственных ошибках. Иными словами, если ученик не ошибается, то он не учится.

Ошибка - вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, умело и грамотно ее использовать.

1. Не знаешь алгебры - займись арифметикой

Нередко ученик использует неверную фор­мулу или, что еще хуже, вообще не отдает себе отчета, чем именно он пользуется. Рассмотрим типичные примеры.

= =

Сколько бы учитель ни заставлял учеников повторять свойства радикалов, рано или поздно кто-нибудь из них напишет нечто подобное.

Если учитель в очередной раз скажет: «Так нельзя!», то долговременного эффекта это не даст. Подсказав или продиктовав некий факт, мы загружаем оперативную память ученика. Последняя - как в компьютере - обновится при новом включении... Чтобы информация попала в «долговременное запоминающее устройство», необходимо добиться понимания,а в данном случае - осознанияучеником его ошибки. Для этой цели пригоден следующий почти универсальный совет:

-Проверьтенаписанное вами равенство при каком-нибудь значениих.Например, при х=1.

Важно, чтобы ученик сам написал = =и получил абсурдный результат = 2 => 2 = 4

Полезен и иной тезис:

-Предложенное Вами преобразование заметно упрощает теорему Пифагора:

с = = =

Последнее равенство опровергается и по­вседневной практикой: шагать по катетам все-таки дальше, чем по гипотенузе.

Интересные свойства рассматриваемой цепочки равенств еще не исчерпаны. При х = -1получим

= = ==

в ошибочности первого равенства ученик уже убедился. Но, оказывается, и второе равенство неверно.

Не стоит жалеть времени на подробное обсуждение и исправление двухсделанных ошибок.

«Почленное деление»:

= =

И в данной ситуации уместно дать ученику тот же совет:

-ПроверьтеВаше равенство, например, при x=l:

= = =

После такого конфуза ученик должен наконец понять, что не учитель, а арифметикане позволяет делать подобные преобразования.

Не лишним будет и еще одно наблюде­ние:

- Посмотрите, при каких значениях хопределено каждое из трех написанных выражений.

В первом выражении x  -1,во втором - x  0,в последнем х - любое число. Тем самым всевыражения различны.

При работе с «многоэтажными» дробями школьники делают отчаянно много ошибок. Например:

И снова нужно посоветовать ученику проверитьнаписанное при конкретных значениях переменных. Так, при а=b=1, с=2 получим

В результате ученик должен сделать вывод, что при работе с «трехэтажными» выражениями лучше добавить скобки, чем сравнивать длины обозначающих дроби «черточек»:

(К слову, последним правилом обычно руководствуются программисты: «Лучше лишние скобки, чем лишние ошибки».) И разумеется, должна появиться верная запись

К сожалению, не редкость и арифметические «фокусы»:

Не исключено, что написавший подобную нелепость ученик в свое время получил пятерку за отменно вызубренное «правило деления дроби на число». Правда, он так и не задумался, из каких соображений предложено именно такое правило, в чем его смысл.Поэтому он не видит никакой конкретики за исходной записью

Впрочем, никогда не поздно объяснить человеку, что, отсыпав половину из мешка, наполненного на одну треть, нельзя, к сожалению, наполнить его на две трети. (В противном случае этим стоило бы заняться.)

«Интересные преобразования» часто встречаются при работе со степенями.

(1)

Это изящное преобразование выполняется следующим способом: слегка удлиняется «палочка» в показателе степени исходного выражения.

Если учитель в очередной раз подскажет, что означает дробь в показателе степени, то это даст лишь сиюминутный результат. Следует вернуть ученика от алгебры карифметике - заставить его самостоятельно проверять написанное при конкретных значениях переменной. Например, при а = 2 получится

Последнего обычно достаточно, чтобы ученик вспомнил определение:

(2)

Если же ученик так и не «пришел в себя», то можно дать еще один совет:

- Вся алгебра держится на возможности проделать с обеими частями равенства одну и ту же операцию. Попробуйте возвести обе части вашего равенства в квадрат:

Зная хоть что-нибудь о свойствах степеней, ученик преобразует левую часть равенства

и получит наконец возможность восстановить определение (2).

Автору преобразование типа (1) встретилось недавно в работе абитуриента в следующей редакции:

Особенно много «интересных преобразований» возникает в тригонометрии.Не найдя, какой бы из имеющихся в шпаргалке формул воспользоваться, ученик начинает изобретать что-то оригинальное. К наиболее ходовым изобретениям такого типа относятся «формулы»:

(3)

(4)

И снова следует предложить ученику проверить написанные формулы при каких-либо «хороших» значениях угла х:0, /6, /4, /3, /2. В частности, «формула» (3) при х = /6приводит к неверному равенству

Впрочем, установить ошибочность формулы не так уж сложно. Заметно сложнее исправитьневерную формулу. Полезно предложить ученику следующую работу:

- Выпишите для известных вам «хороших» углов значения cos(2х)иcos(х)и поищите связь по табл. 1.

Таблица 1

В строке cos(2х) нет радикалов, а в строке cos(x) они есть. Вероятно, чтобы нащупать связь, следует вместо cos(x) рассмотреть cos²(x) (см. табл. 2).

Таблица 2

В строке значений cos²(x) есть знаменатели 4, а среди значенийcos(2х) - только половинки и целые. Видимо, значенияcos²(x) нужно умножить на 2 (см. табл. 3).

Таблица 3

Теперь видно, что все значения во второй строке больше соответствующих значений первой строки на 1. Следовательно, cos(2х) = 2cos²(x) – 1.

Поработаем теперь с “формулой” (4).

При х=/2 получим sin(/2+y) =sin(/2) + sin(y).Придется вспомнить формулу приведения: sin(/2+y)=cos(y). Итак, рассматриваемая формула привела к неверному равенству cos(y) = 1 +sin(y).Последнее равенство наталкивает на мысль, что в правой части формулы долженприсутствовать еще и cos(у), азначит, и cos(х).Попытаемся так составить формулу, чтобы она давала верное равенство хотя бы для углов х = /6их = /3.Из значений

;

удается получить верное равенство следующим способом (иного способа ученики автора до сих пор не предлагали):

.

Тем самым

.

Итак, формула угадана:

.

По поводу проведенных рассуждений уместно сформулировать шуточную, но полезную теорему.

Предложение. Если правдоподобнаятригонометрическая формула выполнена для «хороших» углов/6,/4,/3, то она верна.

Разумеется, существует масса других способов восстановить ту или иную тригонометрическую формулу. Однако простейшим с идейной точки зрения является вычисление значений тригонометрических функций и поиск связи между найденными значениями. Подобную работу ученикам полезно проделать еще до того,как они впервые познакомятся с тойили иной формулой.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/79122-chto-delat-s-oshibkami