Исследуем признаки делимости: от 2 до 10 для учеников 6 класса

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

Содержание

Введение……………………………………………………………………

Глава1. Из истории чисел…………..…………………………..….......

Глава 2. Признаки делимости чисел:.................................................

а. Теоретические сведения.............................................................

б. Признаки делимости.................................................................

Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел

при решении задач.................................................................

Заключение……………………………………………………………….14

Библиографический список………………………………………………15-16

Приложения………………………………………………………………..16-18

Введение

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д. Пойа

При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались: - О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Цель исследования – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать вывод.

Глава1. Из истории математики о делимости чисел

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. 
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля».  Умер Паскаль в Париже в 1662 году.

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Глава 2. Признак делимости .

Делители и кратные.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простые и составные числа.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называютсясоставными.

Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами:

1. Если а и р- натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.

Например 15и 11. 15и5.

2.Если М- общее кратное а и b, а т - их наименьшее общее кратное, то М делится на т. Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.

3. Рефлексивность: если а делится на b, то и bделится на а.

Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо

4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с. Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.

Признаки делимости на 2

Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.

Например: В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2.

Признаки делимости на 3

Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы

сумма его цифр делилась на 3.

Например: 513 – 5+1+3=9, значит, число делится на 3.

Признаки делимости на 4

Чтобы число делилось на 4 надо проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:

1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.

Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями. Например: 5500

Признаки делимости на 5

Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на

5 или на 0. Например:405 , 9550 делится на пять.

Признаки делимости на 6

Чтобы проверить делимость числа на 6, надо: Число сотен умножить на 2,

Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.

Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:

138 – число сотен 1*2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.

Признаки делимости на 7

Чтобы узнать делится ли число на 7, надо: Число, стоящее до десятков умножить на два, К результату прибавить оставшееся число.

Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:

46904: 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.

Признаки делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8.

Например: 6709112 : 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.

Признаки делимости на 9

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Например: 598455 : 5+9+8+4+5+5=36:9=4.

Признаки делимости на 10

Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0. Например: 33312890 – делится на 10.

Признаки делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

Испытаем число 100397. Нумерация идет слева направо.

1+0+9=10 и 0+3+7=10

10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Например, испытаем число 15235. Разбиваем на группы и складываем их:

1+52+35=88.

88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признаки делимости на 12

Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например: 858 делится на 13, так как делится на 13.

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример:

Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признаки делимости на 15

Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например:

1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Признаки делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:

Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

Признаки делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

Например: 957200, 67906850.

Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача1 . Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

 Решение:  Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.        

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?        

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические  отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.  Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

 Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

 Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение:     НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков),  тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов);   240: 40 = 6 (конфет);   200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение:    НОК(48, 72) = 144 (мин).     144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ:   Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 7.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ:   Наибольшее – 987652413,  наименьшее – 102347586.

Задача 8.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167,  257, 347, 527.

Задача 9.

Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!

Ответ. а) 8; б) 2, 5 или 8.

Решение.Сумма известных цифр числа равна 37.

a) Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 9. Это возможно, только если на месте звёздочки стоит цифра 8.

б) Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 3. Это возможно, только если на месте звездочки стоит одна из цифр 2, 5, 8.

Задача10.

Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?

Ответ. Составное; не изменится.

Решение. Легко проверить, что сумма цифр этого числа равна 45 и делится на 9. Значит, в силу признака делимости на 9 и само число делится на 9 и потому составное. При любой перестановке цифр числа сумма этих цифр не изменяется, поэтому число будет по-прежнему делиться на 9 (а значит, будет составным).

Задача11.

Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:

а)с помощью признака делимости на 4;

б)с помощью признака делимости на 3.

Ответ. Не делится.

Решение.

а) Число оканчивается на 98, а 98 не делится на 4. Поэтому по признаку делимости на 4 число на делится на 4. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 4.

б) Сумма цифр числа равна 40, а 40 не делится на 3. Поэтому по признаку делимости на 3 число на делится на 3. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 3.

Задача12

Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника?

Ответ. Таня.

Решение.У Тани есть следующая выигрышная стратегия: после очередного хода Даши она должна дописать к числу такую цифру, чтобы в результате сумма цифр числа делилась на 3. Это всегда можно сделать (более того, для этого Тане достаточно использовать цифры 0, 1 и 2). Тогда после каждого хода Тани (в том числе после последнего) написанное на доске число будет делиться на 3, и Таня выиграет.

Задача13

В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

Ответ. Нельзя.

Решение. Город 9 соединён авиалиниями только с городами 3 и 6, а города 3 и 6 соединены только между собой и с городом 9. (Это можно проверить непосредственно, а можно упростить проверку, пользуясь признаком делимости на 3.) Поэтому от города 9 нельзя добраться до города 1. Стало быть, невозможно добраться и из города 1 в город 9.

Задача14

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на 3, и на 4. Какой код может открывать сейф?

Решение.В силу признака делимости на 4 код может оканчиваться только цифрами 32 (другие двузначные числа, составленные из цифр 2 и 3, не делятся на 4).

Двоек в коде больше, чем троек; значит, двоек не меньше четырёх, а троек не больше трёх. Если в коде четыре двойки и три тройки, то сумма цифр кода равна 2 · 4 + 3 · 3 = 17 и не делится на 3, поэтому и сам код не делится на 3. По аналогичной причине код не может состоять из пяти двоек и двух троек (тогда сумма цифр была бы равна 2 · 5 + 3 · 2 = 16). Значит, код может состоять только из одной тройки и шести двоек (тогда сумма цифр равна 2 · 6 + 3 · 1 = 15 и код делится на 3). Положение единственной тройки в коде мы уже определили, а остальные цифры · двойки. Значит, подходит только код 2222232.

Задача15.

Замените звездочки в записи числа 72*4* цифрами так, чтобы это число делилось на 45. Укажите все возможные варианты!

Ответ. 72540, 72045, 72945.

Решение.

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9 (докажите это с помощью основной теоремы арифметики). Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть равна 0 или 5.

Пусть последняя цифра числа равна 0, тогда сумма известных нам цифр числа равна 7 + 2 + 4 + 0 = 13. Чтобы число делилось также и на 9, нужно дополнить сумму цифр до числа, кратного 9. Это удастся сделать, только если взять в качестве третьей цифры числа цифру 5. Этот случай даёт нам число 72540.

Пусть теперь последняя цифра числа равна 5, тогда сумма известных нам цифр числа равна 7 + 2 + 4 + 5 = 18 и уже делится на 9. Чтобы число делилось также и на 9, нужно, чтобы после дописывания ещё одной цифры сумма цифр числа по-прежнему была кратна 9. Это условие будет выполнено, только если взять в качестве третьей цифры числа цифру 0 или цифру 9. Таким образом, этот случай даёт нам ещё два числа: 72045 и 72945

Задача16.

Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на четыре.

Решение. Достаточно доказать, что среди любых 7 различных цифр найдутся две, из которых можно составить число, кратное 4. Тогда это число можно будет поставить в конец числа, а остальные цифры расставить в произвольном порядке перед ними. Полученное число будет делиться на 4 в силу признака делимости на 4.

Среди 7 различных цифр обязательно найдутся по крайней мере две чётных (иначе среди них было бы по крайней мере 6 нечётных цифр, а нечётных цифр всего 5). Числа, кратные 4, можно составить из «хороших» пар чётных цифр (0, 2), (0, 4), (0, 6), (0, 8), (2, 4), (2, 8), (4, 6), (4, 8) и (6, 8). Остаётся ещё «плохая» пара (2, 6). Если других чётных цифр в наборе нет, то в нём должны содержаться все нечётные цифры (в том числе 1). Тогда, используя имеющиеся в наборе в этом случае цифры 1 и 6, можно составить число 16, кратное 4. Если же в наборе есть другие чётные цифры, то есть по крайней мере одна из «хороших» пар чётных цифр, а этот случай рассмотрен выше.

Т.о, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Заключение.

В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости.  Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000., чему нашла подтверждение из дополнительной литературы.   Рботая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Из дополнительной литературы нашла задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления,  экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложны. Может быть,

Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

В дальнейшем можно рассмотреть такие вопросы:

- вывод признаков делимости;

- выяснить, существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у меня не хватает пока знаний?

Библиографический список

И. Я. Депман «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение».

Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение».

«1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»..

Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
издательство «Наука», 1988.

.И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.

М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней школе» М. Просвещение. 1965 г. стр.37..

Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.

Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

Заключение.

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать - с целью подготовки к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел

подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.

Я хочу, чтобы каждый мой одноклассник, которому это интересно, мог взять мою работу и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

Приложения

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Задача № 2.

Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

А) число которое делиться на 10;

Б) четное число;

В) число, кратное 5;

Г) нечетное число.

Задача № 3

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 4

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

(Нужно знать признак делимости на 11).

Ответ: 987652413

102347586

Задача № 5

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.

Задача № 6

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/79981-nauchnaja-rabota-po-teme-priznaki-delimosti-c