Урок «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений».

Метод решения хорош, если с самого начала мы

можем предвидеть – и впоследствии подтвердить

это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц.

Цели: 1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

2. Содействовать развитию математического мышления учащихся.

3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Уметь решать тригонометрические уравнения различными методами.

Знать методы решения тригонометрических уравнений.

Понимать, как искать рациональный метод решения тригонометрических уравнений.

План урока:

Ход урока:

1. Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений.

Рядом с каждым уравнением 1 – 12 указать номер метода, которым можно решить данное уравнение наиболее рационально.

Критерии оценки задания: если правильно выполнены 11-12 з. – 3 балла

8-10 з. – 2 балла

5-7 з. – 1 бал

менее 5 з. – 0 баллов

Первые три из указанных методов являются традиционными для решения тригонометрических уравнений, с ними мы встретимся сегодня при решении различных уравнений. Что касается последнего метода, то он рассматривается достаточно редко. Остановимся на этом методе особо.

В. В чем заключается суть этого метода?

О. Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех х выполняются неравенстваf(x) ≤ a и g(x) ≥ b, и дано уравнение f(x) + g(x) = a + b, то оно равносильно системе f(x) = a,

g(x) = b.

Решим уравнение №1 данным методом: .

Решение: т. к. и , то получим систему:

Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы – квадрат, а второго уравнения точкой - и найдем их общее решение.

Ответ:

Полное решение – 3 балла,

Не найдено решение системы – 2 балла,

Допущена вычислительная ошибка – 1 балл,

Не решено – 0 баллов.

Вспомним суть метода использования условия равенства одноименных тригонометрический функций.

Трое учеников решают уравнения № 10, 8, 11 на доске, остальные учащиеся решают любой из этих номеров.

№ 10. Решите уравнение:

На основании условий равенства двух синусов, имеем:

Ответ: , .

№ 8. Решите уравнение: cos3x = sinx.

Решение: .

Воспользуемся равенством косинусов двух углов, имеем:

Ответ: ,.

№ 11. Решите уравнение: .

Делим обе части уравнения на tg 3x. В данных условиях tg 3x не может равняться 0.

( 1 )

На основании условия равенства тангенсов двух углов, получим:

При каждом значении х из этой серии, каждая из частей уравнения ( 1 ) существует.

Ответ: .

Верное решение – 3 балла

Не полное решение – 2 балла

Вычислительная ошибка – 1 балл

Не решено – 0 баллов

Наибольшее число методов можно применить при решении последнего уравнения. Решим его.

№ 12. Решите уравнение: .

,

Область определения уравнения: .

( 1 )

Пусть sinx + cosx = t, тогда 1 + 2cosxsinx = t²

, подставим в ( 1 )

Вернемся к исходной переменной:

1) sinx + cosx = - 5 → нет решений

2) sinx + cosx = 1

Способы решения полученного уравнения?

Сведение к однородному уравнению: выразить sin x,cos x и 1 через функции половинного аргумента

Преобразование суммы в произведение: выразить cos x через

Введение вспомогательного угла: разделить обе части уравнения на .

Использование формул универсальной подстановки

,

Обращение к функции предполагает, что , т.е. .

Замена cos x выражением .

Применение формулы .

Решаем по вариантам. Затем все решения показываем на тригонометрическом круге цветными точками, отмечаем их совпадение.

Способ 1. 1 ряд, 1 вариант.

Разделим на

Если , то ,

Если , то , .

Ответ: , .

Способ 2. 1 ряд, 2 вариант.

Ответ: .

Способ 3. 2 ряд, 1 вариант.

Ответ: .

Способ 4. 2 ряд, 2 вариант.

или

Ответ: , .

Способ 5. 3 ряд, 1 вариант.

или

Из серии решением является только .

Ответ: , .

Способ 6. 3 ряд, 2 вариант.

Ответ: .

Самостоятельная работа.

Вариант 1 – № 6, № 2.

Вариант 2 – № 7, № 3.

Вариант 1.

№ 6.

или

Ответ: , .

№ 2^*.

1) 1 – cos x > 0 1 > cos x cos x < 1

2) 1 – cos x < 0 – cos x < - 1 cos x > 1 нет решения

Ответ: , .

Вариант 2.

№ 7.

Ответ: , .

№ 3*.

1) 1 + cos x > 0 cos x > - 1 2) cosx < - 1 нет решения

Ответ: , .

Верное решение двух уравнений – 3 балла

Верное решение одного уравнения, допущена ошибка в другом уравнении – 2 балла

Решено одно уравнение – 1 балл

Не решено ни одного уравнения – 0 баллов

Подведение итогов урока: все поставленные цели на уроке были достигнуты.

Домашнее задание: решить уравнения из таблицы №5, №9.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/83487-urok-reshenie-trigonometricheskih-uravnenij-1