Декартовы координаты

Геометрия

Зотова Ирина Валерьевна

Программно – методическое обеспечение:

программа – базовый уровень

учебник – А.В. Погорелов, Геометрия 10-11, М.: Просвещение, 2002

Тема урока:Декартовы координаты в пространстве

Цели урока:

образовательные: 1) повторить и обобщить знания учащихся по темам:

- координаты на прямой;

- координаты на плоскости;

- формулы координат середины отрезка и расстояния между точками на плоскости;

2) ввести декартовы координаты в пространстве, формулы координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве.

развивающие:

развитие мыслительных операций: аналогии и обобщения;

развитие интереса к предмету;

в оспитательные:

воспитание трудолюбия, внимательности.

Оборудование:

Таблица «Декартовы координаты в пространстве»

Модель трёхмерной системы координат

Чертежные инструменты

Портрет Р. Декарта

Ход урока

I Введение

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:

Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.

Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.

Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.

II. Повторение. Актуализация знаний

1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.

Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.

О А(х)

= ОА

^{0 1 х}

Координатой точки Аназывают число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки А.

Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.

2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно. Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.

y О – начало отсчета.

(Повторить определение абсциссы и

А_y А(х,y) ординаты точки на плоскости).

ОА_х = , ОА_y = ,

1 А (х;y), А_х (х;0), А_y (0;y )

О 1 А_х х

III. Введение координат в пространстве

Первое определениеIX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее, есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и широко использовалась.

z (Объяснение с опорой на трехмерную модель и

А_z A_yz таблицу №21).

Система координат в пространстве представляет

A_xz A собой три взаимно перпендикулярные прямые

х,y,z, пересекающиеся в одной точке.

О – начало отсчета,

О А_у у x,y,z – координатные оси,

A_x A_xy xy,yz,xy – координатные плоскости.

x Координатные плоскости делят все пространство

на 8 октантов.

Определим координаты точки А на плоскости.

Через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz. Она пересекает ось x в точке А_x . Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА_х: положительное, если точка А_xлежит на положительной полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если А_xсовпадает с точкой О, то полагаем х = 0. Аналогично определяются и другие координаты. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x;y;z). (Название координаты z найти самостоятельно).

Рассмотрим частные случаи расположения точек в пространстве.

- Назовите координаты точек, лежащих на координатных осях.

(А_х (х;0;0), А_y (0;y;0), А_z (0;0;z)).

- Назовите координаты точек, лежащих в координатных плоскостях.

(А_хy (х;y;0),А_yz (0;y;z), А_хz (х;0;z)).

- Назовите координаты точки, совпадающей с началом координат.(О (0;0;0)).

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4 (см. рисунок). Определите координаты его вершин.

z

В₁ С₁ Ответы:

А₁ D₁ А (4;0;0)А₁ (4;0;4)

В (0;0;0)В₁ (0;0;4)

В СyС (0;4;0)С₁ (0;4;4)

D (4;4;0)D₁ (4;4;4)

А D

x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4 (см. рисунок). Определите координаты его вершин.

В₁ z С₁

Ответы:

А₁ D₁

А (2;-3;0)А₁ (2;-3;4)

В СВ (-2;-3;0)В₁ (-2;-3;0)

А D y С (-2;3;0)С₁ (-2;3;4)

D (2;3;0)D₁ (2;3;4)

x

IV. Приложение метода координат.

В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.

Задача на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

(Проверку работ осуществить на боковых досках).

Аналогичные формулы применяются в пространстве. По учебнику прочитать п.153, 154 и выписать формулы в тетрадь. Два ученика получают на дом задание - вывод формул.

Задача №3. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С ( ;;), С (2;0;0)

2). АВ = = = 2 .

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание: п. 157 – 159, вопросы № 1 – 3, № 3, 9.

Два ученика получают индивидуальное задание: вывод формул.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/86885-dekartovy-koordinaty