Задания для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 5 11 классах

Муниципальное бютжетное общеобразовательное учреждение

«Полевской лицей»

Курского района Курской области

Задания для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 5 – 11 классах

Подготовила

учитель математики

Праведникова Галина Викторовна

д. Полевая

2014

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

5 класс

Задания.

На прямой линии посажено 10 кустов так, что расстояние между любыми соседними кустами одно и то же. Найдите это расстояние , если расстояние между крайними кустами 90 дм.

В записи 1 ☼ 2 ☼ 3 ☼ 4 ☼ 5 = 100 замените «☼» знаками действия и расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство.

Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врёт. Как-то его три октябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день он ответил: «Андрей», на второй: «Борис», на третий: «Виктор». Как зовут мальчика? Объясните, как вы рассуждали.

В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью

6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.

Кот Матроскин прикинул, что он может выложить пол квадратной комнаты квадратной плиткой, и ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала он положил плитки по краям комнаты, и на это у него ушло 84 плитки. Сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол?

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Ответ.10 дм.

Решение.Так как посажено 10 кустов, то промежутков между ними будет 9. Поэтому расстояние между соседними кустами будет 90 : 9 = 10дм.

Ответ.1 · ( 2 + 3 ) · 4 · 5 = 100.

Ответ.Борис.

Решение. Так как мальчик дал три разных ответа, то он два раза соврал. Поэтому два дня из трёх, когда мальчику задавали вопросы, пришлись на нечётные числа. Поскольку чётные и нечётные числа месяца чередуются, это должны были быть первый и третий дни. Стало быть, второй день пришёлся на чётное число. В этот день мальчик и назвал своё настоящее имя.

Ответ.На расстоянии 10 км.

Решение. За 3 часа, с 9.00 до 12.00, Юра прошёл 18 км. Если он пройдет еще два километра, то он попадет домой. То есть 18 + 2 = 20 км. – это путь до места разворота и обратно. Значит, он развернулся на расстоянии

20:2 = 10 км от дома.

Ответ.484.

Решение. На каёмке, не считая угловых, лежит 84 – 4 = 80 плиток. Значит, на каждой стороне лежит 20 плиток, не считая угловых, а вместе с угловыми – 22 плитки. Поэтому общее число плиток равно 22 · 22 = 484.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

6 класс

Задания.

Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё два сообщения, которые, как установили учёные, оказались оба ложными:

а) А – не третья планета от звезды;

б) Б – вторая планета.

Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них? Ответ нужно подтвердить вычислениями.

Как разрезать квадрат на семь треугольников, среди которых есть шесть одинаковых?

Есть 24 палочки. Длина первой палочки – 1 см, второй – 2 см, …, двадцать четвёртой – 24 см (длина каждой следующей палочки на 1 см больше длины предыдущей). Как, использовав все эти палочки, составить три различных квадрата? Ломать палочки нельзя, каждая палочка должна входить только в один квадрат.

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Ответ.0 часов. Времени не осталось.

Решение. В сутках 24 часа, из них Стрекоза спала 24 : 2 = 12часов, танцевала 24 : 3 = 8 часов, пела 24 : 4 = 6 часов. Всего на эти дела она потратила

12+ 8 + 6 = 24 часа. Поэтому на подготовку к зиме времени не осталось.

Ответ.Б – первая планета, В – вторая планета, А – третья планета.

Решение.Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, а Б – не второй, поэтому Б – первая планета от звезды. Тогда В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне.

Ответ. Мышь – 140г, сыр – 10г, мышонок – 30г.

Решение. Из условия следует, что удвоенный вес мыши равен 180 + 100 = 280г. Поэтому вес мыши равен 140г. Тогда мышонок и сыр вместе весят 180 – 140 = 40г. А вес сыра, согласно условию, равен четверти этого веса.

Решение. Два способа сделать это показаны на рис.. Есть и другие способы.

Ответ.

Решение. Разобьем палочки на три группы: от 1 до 8, от 9 до 16, от 17 до 24. В каждой группе первую палочку соединим с последней, вторую – с предпоследней, третью – с третьей с конца, оставшиеся две палочки тоже соединим. Получим в каждой группе по четыре одинаковых палки, из которых сложим квадрат. Стороны полученных квадратов: 9, 25, 41.

Замечание. Есть и другие способы сложить три квадрата.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

7 класс

Задания.

Какие цифры надо поставить вместо букв А и Б, чтобы получилось верное равенство: АБ · А · Б = БББ? (Здесь АБ – двузначное число, БББ – трёхзначное число).

В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

Как разрезать клетчатый квадрат размером 6 × 6клеточек на четыре одинаковых фигуры периметра 16 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.

Можно ли выложить в ряд 30 шариков – белых, синих и красных – так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих подряд – хотя бы один синий, а среди любых пяти идущих подряд – хотя бы один красный? Ответ объясните.

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Ответ.А = 3, Б = 7.

Решение.АБ · А · Б = БББ = Б · 111. Значит АБ · А = 111.

Так как 111 = 37 · 3, тоА = 3, Б = 7.

Решение.При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.

Ответ.s = 75 м, v = 15 м/с.

Решение. Обозначим за s (м) длину поезда, а за v (м/с) – скорость поезда. Тогда время прохождения поезда мимо светофора будет, то есть = 5. Так как с момента вхождения поезда на платформу до момента ухода с неё, последняя точка поезда проходит расстояние

s + 150 (м), то получим второе уравнение = 15. Решив систему данных уравнений, получаем, что s = 75 м, а v = 15 м/с.

Решение.Разрезать квадрат на 2 прямоугольника 6 × 3 клеточек. Затем первый прямоугольник разрезать следующим образом: в первом ряду разрезать 1 и 5 клеточек, во втором – 3 и 3 клеточки, в третьем – 5 и 1 клеточка. Получим 2 одинаковые фигуры с периметром равным 16. Аналогично разрезать второй прямоугольник. Получим 4 одинаковые фигуры.

Ответ.Нельзя.

Первое решение.Допустим, можно. Возьмём красный шарик, не лежащий с краю (такой найдётся хотя бы в пятёрке шариков со 2-го по 6-ой). Соседние с ним шарики должны быть белыми, иначе найдутся два соседних шарика, среди которых нет белых. Но это значит, что мы нашли три подряд идущих шарика, среди которых нет синего.

Второе решение.Разбив 30 шариков на 15 пар соседних шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 15 белых. Разбив их на 10 троек подряд идущих шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 10 синих. Наконец, разбив их же на 6 пятёрок подряд идущих шариков, видим, что среди выложенных шариков не меньше 6 красных. Получается, что шариков должно быть не меньше, чем 15 + 10 + 6 = 31, а их только 30.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

8 класс

Задания.

Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1 – 2 - 4 – 8 – 16 = 19 стало верным.

Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк – за 3 дня, а собака – за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?

Числоaтаково, что прямые y=ax+ 1, y=x+aиy= 3 различны и пересекаются в одной точке. Каким может быть a?

В треугольнике ABC проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABC, еслиADC= 120º, DAB= 60º.

На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 2005 воинов?

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Ответ.|| 1 - 2| - |4 - 8| - 16| = 19.

Ответ. За один день.

Решение.Лев съедает за день овцы, волк - овцы, собака - овцы. Тогда вместе за день они съедят+ + = 1 овца.

Ответ.a= 2.

Первое решение.Заметим, что при x = 1 выполняется ax+ 1 = x + a = a+ 1, так что точка M (1;a + 1) является общей для прямых y = ax + 1 и y = x + a. Так как прямые различны, M– их единственная общая точка. Поэтому прямаяy = 3 тоже должна проходить через неё, откудаa + 1 = 3 и a = 2. Легко видеть, что при a= 2 все три прямые действительно различны.

Второе решение.По условию в точке пересечения a x + 1 = x+ a , тогда (a – 1)( x – 1) = 0. Значит a= 1 или x= 1. Но случайa = 1 невозможен, потому что тогда первые две прямые совпадали бы. Дальше рассуждаем как в первом решении.

Ответ. 90º, 60º, 30º.

Решение. ADB = 180º – ADC = 60º. Тогда ABD = 60º. Значит, треугольник ABD – равносторонний. Откуда AD = BD = DC. То есть треугольник ADC – равнобедренный. Значит, DAC = DCA = 30º. Следовательно, BAC = 90º.

Ответ.1003.

Решение. Заметим, что два воина, стоящие рядом, не могли оказаться рыцарями. Действительно, если бы они оба были рыцарями, то они оба сказали бы неправду. Выберем воина, стоящего слева, и разобьем ряд из оставшихся 2004 воинов на 1002 группы по два рядом стоящих воина. В каждой такой группе не более одного рыцаря, т. е. среди рассматриваемых 2004 воинов не более 1002 рыцарей, т. е. всего в шеренге не более 1002 + 1 = 1003 рыцарей.

Рассмотрим шеренгу РЛРЛР...РЛРЛР. В такой шеренге стоит ровно 1003 рыцаря.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

9 класс

Задания.

Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?

На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?

В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

Угол между двумя высотами остроугольного треугольника ABC равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Ответ.Уменьшится на 2013.

Решение. Пусть изначально были числа xи y(с произведениемxy ). После того как первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось (x + 1)(y - 1) = xy + y – х - 1. Произведение увеличилось на 2011, то естьy – x - 1= 2011 или у - x= 2012 . Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится

(x - 1)( y + 1) = xy - y + х - 1. Заметим, что

xy - y + х – 1 = xy - (y – х) - 1 = xу – 2012 – 1 = xу - 2013 . То есть произведение уменьшилось на 2013.

Ответ.Лошадь купили за 40 или 60 пистолей.

Решение. Пусть х пистолей стоила лошадь. Учитывая, что при продаже было потеряно х% составим уравнение: х - = 24. Решая его, получаем х = 40 или х = 60.

Ответ.1200 человек.

Решение.Пусть х – количество мужчин, у - количество женщин на этом острове. Из условия задачи следует, х = у и х + у = 1900. Решая эту систему, получаем: х = 900, у = 1000. Значит количество женатых мужчин 600, а количество жителей состоящих в браке равно 1200.

Ответ.Вася.

Решение. После каждого забега разность количества конфет, полученных любыми двумя из присутствовавших на уроке школьников, делится на 3 (эта разность равна 0 или 3). Значит, и в конце четверти разность количеств конфет, полученных любыми двумя из посетивших все уроки физкультуры школьников, делится на 3. А из данных чисел 29, 32, 37 разность, делящуюся на 3, дают только числа 29 и 32. Значит, пропустил урок тот школьник, который заработал 37 конфет.

Решение.ПустьADиСЕ– высоты треугольника ABC,О– точка их пересечения . Из того, что в прямоугольном треугольнике АОЕуголАОЕравен 60°, следует, что ОЕ=АО/2, т. е. ОЕ=OD. Значит, прямоугольные треугольникиОЕВиODBравны (ВО– общая гипотенуза). Тогда BE=BD, откуда следует, что ∆ABD= ∆СВЕ(ABC– общий). Отсюда АВ=ВС. С другой стороны, ABC= 90° – BAD=AOE= 60°. Значит, треугольник ABCравносторонний.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

10 класс

Задания.

Натуральное число п умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа п.

При каких значениях параметра ауравнения2х + а² – 4 = 0 и

2х² + (а² – 4) х + а = 0 будут иметь общий корень? Найдите этот корень.

Найдитепроизведение

(sin0º – cos0º)(sin1º – cos1º)…(sin89º – cos89º)(sin90º – cos90º).

В школьном туре по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. Перед началом турнира в нём решила принять участие ещё одна команда, в результате чего количество встреч, необходимых для проведения турнира, увеличилось на 20 %. Сколько команд участвовало в турнире?

На сторонах BCиBAтреугольникаABCвыбраны соответственно точки DиEтак, что DEAC. Оказалось, что биссектрисы углов AEDиEDCпересекаются в точке F, лежащей на стороне AC. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, является центром окружности, описанной около треугольника EDF.

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Ответ.125 и 1000.

Решение. Раскладывая 1000 в произведение двух множителей: 1000 × 1,

500 × 2, 250 × 4, 200 × 5, 125 × 8, 100 × 10, 50 × 20, 40 × 25 мы получаем два варианта ответа.

Ответ.а = 0, х = 2

Решение.Еслих – корень уравнения2х + а² – 4 = 0, то он также и корень уравнения х(2х + а² – 4) = 0 , то есть 2х² + (а² – 4) х = 0. Кроме того, по условию, х – корень уравнения2х² + (а² – 4) х + а = 0 . значит х – корень уравнения (2х² + (а² – 4) х + а) – (2х² + (а² – 4) х ) = 0, то есть а = 0. Осталось проверить, что при таких а оба уравнения имеют общий корень х = 2.

Ответ. 0.

Решение. Среди сомножителей есть разность sin45º – cos45º, равная 0, поэтому произведение равно 0.

Ответ.12 команд после включения в турнир новой команды.

Решение. В турнире с участием п команд проводится игр (каждая из п команд сыграла п – 1 игру, и при этом каждая игра получилась сосчитанной дважды). Поэтому условие можно записать так: = 1,2 , откуда п = 11.

Решение. Из параллельности следует, что AFE=FED=AEF. Значит, треугольник AEF– равнобедренный: AE=AF. Значит, биссектриса угла EAFявляется медианой и высотой треугольника AEF, то есть серединным перпендикуляром к стороне EF. Аналогично, биссектриса угла DCFявляется серединным перпендикуляром к сторонеDF.

Центр окружности, вписанной в треугольник ABC– это точка пересечения упомянутых биссектрис, а центр окружности, описанной около EDF– это точка пересечения упомянутых серединных перпендикуляров. Значит, эти точки совпадают.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

11 класс

Задания.

Постройте график функции

у = .

Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения

х² + ( 2 – а ) х – а – 3 = 0 была наименьшей.

Числаx,y,zиtтаковы, что x>y³,y>z³,z>t³,t>x³. Докажите, что xyzt> 0 .

Может ли сумма 100 последовательных натуральных чисел оканчиваться той же цифрой, что и сумма следующих 98 чисел?

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. На продолжении диагонали BD за точку D выбрана точка F такая, что AFBC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника ADF , касается прямой AC.

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

Решение.у = ,

у = ,

у = = 2 sin²x + 1 + 2 cos²x + 1 = 4.

Поэтому графиком функции будет прямая, заданная уравнением у = 4.

Ответ.a = 1.

Решение.Найдём сумму квадратов корней уравнения : x₁² + x₂² =

( x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = ( 2 – a)² + 2(a + 3) = a² – 4a + 4 + 2a + 6 =

a² – 2a + 10 = (a – 1)² + 9. Значение данного выражения будет наименьшим при a = 1. При этом значении aдискриминант левой части уравнения положителен, поэтому корни существуют.

Решение.Пустьx< 0 , тогда из первого неравенства следует, что y³< 0, то есть y< 0 .Далее аналогично z< 0 и t< 0 . Значит, все четыре числа отрицательны, и их произведение положительно.

Если x> 0, то из последнего неравенства t> 0 , и далее аналогично z> 0 и y> 0 , откудаxyzt > 0 .

Если же x= 0 , то тогда из первого неравенства следует, что y³< 0, то есть y < 0 . Далее аналогично z< 0 и t< 0 . После этого из последнего неравенства следует, что x < 0 ;противоречие. Итак, случай x= 0 невозможен.

Ответ.Не может.

Первое решение.Заметим, что сумма 100 последовательных натуральных чисел является чётным числом, так как содержит ровно 50 нечётных слагаемых. А сумма 98 последовательных натуральных чисел является нечётным числом, так как содержит ровно 49 нечетных слагаемых. Поэтому эти суммы оканчиваются на цифры разной чётности.

Второе решение.Заметим, что сумма 100 последовательных натуральных чисел оканчивается на 0, а сумма никаких двух подряд идущих чисел на 0 не оканчивается. Значит, не заканчивается на 0 и сумма никаких 98 подряд идущих чисел.

Решение. Условие касания равносильно тому, что угол CAD между прямой CA и хордой AD равен половине градусной меры дуги AD , то есть вписанному углу AFD, опирающемуся на эту дугу .

Но из параллельности прямых BC и AF следует, что AFD=DBC =CAD (последнее равенство вытекает из того, что вписанные углы DBC и CAD опираются на одну дугу CD), что и требовалось.

Список использованной литературы

Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Рекомендации по проведению школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по матаматике в 2013/2014 учебном году – Москва, 2013.

Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5 – 11 класс. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/92415-zadanija-dlja-provedenija-shkolnogo-jetapa-vs